INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaB

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: DIFERENCIABILIDADE

1) Mostre a seguinte regra da cadeia: Seja A um conjunto aberto de ℂ e seja f ∈ C^{1}(A). Se B é um aberto de ℂ tal que f(A) ⊂ B e g ∈ C^{1}(B), então g ∘ f ∈ C^{1}(A) e a)

\frac{∂(g ∘ f)}{∂z} = [(\frac{∂g}{∂z} ) ∘ f]\frac{∂f}{∂z} + [(\frac{∂g}{∂z} ) ∘ f]\frac{∂\overline{f}}{∂z}

\frac{∂(g ∘ f)}{∂z} = [(\frac{∂g}{∂z} ) ∘ f]\frac{∂f}{∂z} + [(\frac{∂g}{∂z} ) ∘ f]\frac{∂\overline{f}}{∂z}

Mostre que

\frac{∂g}{∂z} = \overline{(\frac{∂\overline{g}}{∂\overline{z}} )}

0) Seja g(z) é uma função anti-holomorfa definida num aberto A do plano complexo ℂ. Estabeleça a equação diferencial complexa de primeira ordem que g(z) satisfaz. Mostre que se g(z) toma apenas valores imaginários puros então g(z) é constante.

i) Calcule

\frac{∂}{∂z} (3\overline{z}^{3} − z^{2} + 1)  \frac{∂}{∂\overline{z}} (z^{8} + 2z^{3}\overline{z}^{6})
\frac{∂^{5}}{∂z^{3}∂\overline{z}^{2}} (\overline{z}^{11}z^{7} + z^{8} + 2\overline{z}^{3})  \frac{∂^{5}}{∂x^{3}∂y^{2}} (\overline{z}^{11}z^{7} + z^{8} + 2\overline{z}^{3})
\frac{∂^{5}}{∂z^{3}∂\overline{z}^{2}} (x^{11}y^{7} + x^{8} + 2y^{3})  \frac{∂^{5}}{∂x^{3}∂y^{2}} (2\overline{z}^{6}z^{6} + z^{5} + 2\overline{z}^{7})

b) Mostre que \frac{∂(log |z|)}{∂z} = \frac{1}{2z} e \frac{∂(log |z|)}{∂z} = \frac{1}{2z}

c) Se △ é o laplaciano usual então

△ = 4\frac{∂}{∂z} \frac{∂}{∂z} = 4\frac{∂}{∂z} \frac{∂}{∂z}

d) Se λ(z) = \frac{2}{1 − |z|^{2}} , |z| < 1, então ds^{2} = λ^{2}|dz|^{2} é a métrica hiperbólica no disco unitário aberto D = {|z| < 1}. Mostre que a curvatura de Gauss K dada por K(z) = \frac{−△ log λ}{λ^{2}} é identicamente igual a −1.

e) Mostre rigorosamente que as funçõesf(z) e \overline{f(z)} são simultâneamente holomorfas.

f) Seja f uma função holomorfa num aberto U ⊂ ℂ. Suponha que f não se anule. Mostre que

△ (|f|^{p}) = p^{2}|f|^{p−2}|\frac{∂f}{∂z} |^{2}, para p > 0

g) Mostre que se f é harmônica tomando valores reais no aberto U, e se f não se anula, então

△ (|f|^{p}) = p(p − 1)|f|^{p−2}|∇f|^{2}, para p ⩾ 1

h) Mostre que o laplaciano em coordenadas polares é escrito da forma

△ = \frac{1}{r} \frac{∂}{∂r} (r \frac{∂}{∂r} ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}}{∂θ^{2}}

i) Seja P : ℂ → ℂ um polinômio. Suponha que

\frac{∂^{2}}{∂z^{2}} P = 0

para todo z ∈ ℂ. Mostre que

P (z, \overline{z}) = z · G(\overline{z}) + H(\overline{z})

para polinômios G e H que dependem apenas de \overline{z}.

2) Seja f uma função holomorfa definida num domínio Ω de ℂ. a) Demonstre que f é constante se uma das condições seguintes são verifi-

cadas:

(i) Ref é constante (ii) Im f é constante (iii) aRef + b Im f + c = 0,

onde a, b, c ∈ IR, a^{2} + b^{2} > 0. (iv) |f| é constante.

b) Mostre as mesmas afirmações do item a) assumindo que f(z) é antiholomorfa.

c) Mostre que ∀z ∈ Ω

△(|f(z)|^{2}) = 4|f′(z)|^{2}

admitindo o fato de que f = u + iv, u, v ∈ C^{2}(Ω).

(v) Seja f(z) = u(z) + iv(z), ℜf = u, Im f = v uma função holomorfa num domínio Ω satisfazendo

2u^{2}(z) + v^{2}(z) = 1, ∀z ∈ Ω

Determine todas tais f(z). Generalize quando u(z) e v(z) satisfazem a equação geral do segundo grau

au^{2} + 2buv + cv^{2} + du + ev + k = 0 (a, b, c, d, k ∈ IR)

3) Seja Ω um domínio do plano complexo. Sejam f e g funções holomorfas em Ω. Assuma que g nunca se anule em Ω e que \frac{f(z)}{(\overline{g(z)})} ∈ IR, para todo z ∈ Ω.

O que você pode dizer da relação entre f e g ?

(4) Seja C uma curva contida no w-plano complexo ℂ determinada implicitamente

pela equação

φ(u, v) = 0

a) Suponha que f(z) = u(z) + iv(z) seja uma função holomorfa definida num aberto A de ℂ satisfazendo φ(u(z), v(z)) = 0, ∀z ∈ A. O que você pode dizer sobre f?

b) Idem item a) assumindo que f(z) é anti-holomorfa.

(5) Considere a equação diferencial complexa de segunda ordem dada por

(∗)  E_{z\overline{z}} = \frac{\overline{E}}{1 + E\overline{E}} E_{z}E\overline{z}

Encontre duas famílias de soluções da equação (∗).

(6) Sejam f, g duas funções holomorfas definidas num aberto A de ℂ não se anulando simultaneamente. Seja

H(z) := log (\frac{1}{|f(z)|^{2} + |g(z)|^{2}} )

Mostre que H(z) é superharmônica em A.