INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaC

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: SÉRIES DE NÚMEROS COMPLEXOS

1) Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz mostre que se ∑_{n} |a_{n}| < ∞ as seguintes séries são convergentes

∑_{n} |a_{n}a_{n+1}|^{1/2},  ∑_{n≥1} \frac{|a_{n}|^{1/2}}{n} ,  ∑_{n≥1} \frac{|a_{n}|^{1/2}}{n^{1/2+p}} ,  p > 0.

Voce poderia dar uma demonstração mais elementar ?

2) Mostre com todos os detalhes que se ∑ a_{n}, ∑ b_{n} são duas séries que convergem absolutamente então o produto das séries converge absolutamente e temos que

(∑_{n} a_{n}) (∑_{n} b_{n}) = ∑_{n} c_{n}

onde c_{n} = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n−1} + ⋯ + a_{n}b_{0}.

a) Considerando a função exponencial e^{z} := ∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} , a função cosseno dada

por cos z := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!} e a função seno dada por sen z := ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)!},

usando o resultado sobre produto de séries, mostre que

a) 2sen z cos z = sen 2z.

b) cos^{2} z + sen^{2}z = 1.

c) f(z) = e^{z −1/z} é holomorfa em ℂ^{∗} e que

e^{z −1/z} = ∑_{n=−∞}^{∞} ( ∑_{{m⩾0 \atop m⩾n}}^{∞} \frac{1}{m!} \frac{(−1)^{m−n}}{(m − n)!} ) z^{n}

sendo a série absolutamente convergente para |z| > 0. b) Mostre que a série abaixo converge para p > 0 e converge absolutamente

para p > 1.

∑_{n=0}^{∞} a_{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n + 1)^{p}}

i) Mostre que a série ∑ c_{n} diverge para 0 < p ⩽ 1/2, onde

c_{n} = ∑_{k=0}^{n} a_{k} a_{n−k} = (−1)^{n} ∑_{k=0}^{n} ((k + 1) (n − k + 1))^{−p}

3) Considere a função

f(z) = cos (\sqrt{z}) cos (\frac{1}{\sqrt{z}} ) , z ∈ ℂ^{∗}

a) Mostre com certo detalhe que f(z) está bem definida e é holomorfa em ℂ^{∗}.

b) Escreva o desenvolvimento de f(z) numa “série de potências” em z^{n} e

(\frac{1}{z})^{n} , chamada de desenvolvimento de Laurent de f(z), absolutamente

convergente para |z| > 0, i.e f(z) = ∑_{N=−∞}^{N=∞} a_{N}z^{N} obtendo

i) Os termos a_{1}, a_{0}, a_{1} explicitamente efetuando o produto. Mais geralmente obtenha

ii)

cos (\sqrt{z}) cos (\frac{1}{\sqrt{z}} ) = ∑_{N=−∞}^{N=∞} ∑_{{m⩾N \atop m⩾0}} \frac{(−1)^{N}}{(2m)! (2m − 2N))}z^{N}

4) Determine o raio de convergência das séries de potências, determinando o disco de convergência. Determine um domínio compacto em que a série converge normalmente.

a) ∑_{n} n^{α}z^{n}, α ∈ IR.

b) ∑_{n} n!(z/n)^{n}.

c) ∑_{n} α^{n^{2}}z^{n}, α ∈ ℂ.

d) ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α + 1) ⋯ (α + n)z^{n}, α ∈ ℂ; ∑_{n} \frac{1}{n!}α(α − 1) ⋯ (α − n)z^{n}, α ∈ ℂ.

Sugestão: Considere o caso α ∈ {0, ±1, ±2, ±3, …, } separadamente. e) ∑_{n}(log n)^{2}z^{n}. Resposta: 1.

f) ∑_{n} n!/(n^{n})z^{n}. Sugestão: Considere a fórmula de Stirling n! = n^{n}e^{−n}u_{n} com lim_{n→∞} u_{n}^{1/n} = 1. Resposta: e

g) ∑_{n} z^{2^{n}}/(n!). 5)

a) Sejam a, b, c números complexos. Suponha que c não é um inteiro ⩽ 0. Mostre que o raio de convergência da série abaixo é 1, disco de convergência. Determine um domínio compacto em que a série converge normalmente.

1 + \frac{ab}{c}z + \frac{a(a + 1) · b(b + 1)}{2!c(c + 1)}z^{2} + ⋯

+ \frac{a(a + 1) … (a + n − 1) · b(b + 1) … (b + n − 1)}{n!c(c + 1) … (c + n − 1)}z^{n} + ⋯

6) Mostre que as séries de números complexas abaixo, convergem nos conjuntos C dados

a) ∑_{n} (z/(1 + z))^{n}. C = {z; ℜz > −1/2}. Determine um domínio compacto em que a série converge normalmente. Sugestão: Você terá que mostrar que z ↦ \frac{z}{1 + z} leva o semi-plano \{z; ℜz > −1/2\} no disco unitário centrado na origem.

b) ∑_{n} z^{n}/(1 + z^{n}). C = {z; |z| < 1}.

c) ∑ (\frac{z − 1}{z + 1})^{n} . C = \{z, ℜz > 0\}. Sugestão: Veja sugestão para o item a).

d) O quê você pode dizer sobre convergência normal das séries dos itens anteriores ?

Classicamente, o domínio limitado pelas chamadas curvas de Cassini, dadas por

|z − a| |z + a| = R^{2}, a, R > 0

são chamados de domínios de Cassini. Para a = R, a origem é um ponto duplo, para a > R tem duas componentes conexas e para a < R é um domínio estrelado cujo centro é a origem. e) Mostre que a série ∑_{n} (\frac{1}{2}z(z − 1))^{2^{n}} , converge em certo domínio de

Cassini.

d) O quê você pode dizer sobre convergência normal das séries dos itens

anteriores ?

7) Seja R o raio de convergência da série ∑_{n⩾0} a_{n}z^{n}. Mostre que o raio de

convergência R̃ da série

∑_{n⩾0} \frac{a_{n}}{1 + |a_{n}|}z^{n}

é dado por R̃ = max(R, 1)

8) Determine os raios de convergência das séries. Indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente:

a) ∑_{n⩾0}(−1)^{n}2^{n}z^{2n+2}.

b) ∑_{n⩾0} 2^{log n}z^{n}.

c) ∑_{n⩾0}(sin n)z^{n}.

9) Sejam {α_{n}} e {β_{n}} duas seqüências de números reais. Seja δ > 0. Assuma que (sin α_{1} + ⋯ sin α_{n})^{2} + (cos β_{1} + ⋯ + cos β_{n})^{2} ⩾ δ. O que você pode dizer sobre o raio de convergência das séries ∑ a_{n}z^{n}, onde

os coeficientes a_{n} estão dados abaixo ?

a) Sejam {α_{n}} e {β_{n}} duas seqüências de números reais. Seja δ > 0. Assuma que (sin α_{1} + ⋯ sin α_{n})^{2} + (cos β_{1} + ⋯ + cos β_{n})^{2} ⩾ δ. Defina: a_{n} := (sin α_{1} + ⋯ sin α_{n})^{2} + (cos β_{1} + ⋯ + cos β_{n})^{2} , onde os α_{i} e os β_{j} são reais. Sugestão: Faça a comparação das médias geométricas e aritméticas de uma certa maneira ou utilize a desigualdade de Cauchy, mostrando que (sin α_{1} + ⋯ sin α_{n})^{2} + (cos β_{1} + ⋯ + cos β_{n})^{2} ⩽ n.

b) a_{n} = \frac{1^{k}}{n^{k+1} + 1} +⋯+ \frac{n^{k}}{n^{k+1} + n}, k > 0.Sugestão: Compare com a soma de Riemann da função f(x) = x^{k}, x ∈ [0, 1], observando que

\frac{1^{k} + ⋯ + n^{k}}{n^{k+1} + n} ⩽ a_{n} ⩽ \frac{1^{k} + ⋯ + n^{k}}{n^{k+1} + 1} .

c) a_{n} = \frac{b_{n}}{n^{n}} , onde b_{n} b_{n} satisfaz a equação de diferenças

b_{n+1} − (n + 1)b_{n} = 2^{n}(n + 1)! b_{0} = 1

mostrando que b_{n} = n! 2^{n}. d) a_{n} satisfaz a equação de diferenças de primeira ordem

a_{n+1} (a + ba_{n}) = ca_{n}, a, b, c > 0, a_{0} > 0

mostrando que x_{n} = 1/a_{n} satisfaz uma equação de diferenças linear de primeira ordem.

10) Neste exercício você precisará fazer uso de certas desigualdades clássicas. Sejam {α_{n}} e {β_{n}} duas seqüência de números reais positivos satisfazendo certas condições. Considere a série de potências

f(z) = ∑ a_{n}z^{n}

Discuta o raio de convergência da série sabendo que a_{n}, α_{n}, β_{n} satisfazem às seguintes condições abaixo.

a) a_{n} := (α_{n} + β_{n})^{α_{n}+β_{n}} , onde

α_{n}^{α_{n}}β_{n}^{β_{n}} = O(2^{n}) (n → ∞)

Mostre primeiramente que (por exemplo com a ajuda da desigualdade de Young)

a^{a} b^{b} ⩾ \frac{(a + b)^{a+b}}{2} , a ⩾ b > 0

b) a_{n+1} := α_{n+1}β_{n+1}^{n}, onde

\frac{α_{n+1} + nβ_{n+1}}{n + 1} = O(1) (n → ∞)

Aqui você precisa comparar as quantidades \frac{α_{n+1} + nβ_{n+1}}{n + 1} e α_{n+1}β_{n+1}^{n} via a desigualdade da média,

11) Considere n um inteiro positivo. Defina N(n) o número de algarismos de n. Defina também S(n) a soma dos algarismos de n. Escreva uma relação de desigualdade entre log_{10} n(logaritmo na base 10) e S(n). Levando em conta isso, determine o raio de convergência da série

∑_{1}^{∞} S(n)z^{n}

12) Seja {a_{n}, n = 2, 3, …} uma seqüência de números complexos não nulos satisfazendo

(∗)  ∑_{2}^{∞} n|a_{n}| < 1

a) Discuta sobre o disco de convergência da série

(∗∗)  z + ∑_{2}^{∞} ((n − 1))^{n} (ln 2)a_{2}(ln 3)a_{3} ⋯ (ln n)a_{n}z^{n}

Você precisa usar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica, levando em conta (∗∗).

b) Agora suponha Re a_{n} > 0, n = 2, 3, …. i) Discuta, com todos os detalhes, o raio de convergência da série

∑_{2}^{∞} \frac{a_{n}^{2^{n}}}{1 + n a_{n}} z^{n 2^{n}}

Aqui você terá que observar que a série apresenta “gaps” e tome cuidado com potenciação para aplicar o critério de Cauchy (raiz). ii) Dê exemplos de tais a_{n} satisfazendo (∗) e assim exemplos de séries

satisfazendo o item i).

13) Seja {a_{n}} uma seqüência dada por a_{n} = 1, se n = 2^{k}, k ∈ IN e a_{n} = 0, n ≠ 2^{k}. Seja m > 0. Discuta com detalhes o raio de convergência da série

∑_{n=0}^{∞} a_{n} e^{−\sqrt{n}} e^{mn} z^{n}

Novamente você terá que observar que a série apresenta “gaps” e tome cuidado com potenciação para aplicar o critério de Cauchy (raiz).

14) Seja a = α + iτ, α, τ ∈ IR, τ > 0. Considere a série

f(z) = ∑_{n} log n a^{n}z^{n^{2}}

Determine o raio de convergência e o disco de convergência. Calcule f^{(n)}(0).