INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaD

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: SÉRIES DE FUNÇÕES COMPLEXAS E CONVERGÊNCIA UNIFORME

1) Seja f_{n}(z) = 1/(z + n), n ∈ IN. Mostre que

a) lim_{n→∞} f_{n}(z) = 0, z ∈ ℂ.

b) Seja A_{α} = {z; ℜz ⩾ α, z ∉ −IN}. Mostre que f_{n} ⟶ 0(n → ∞) uniformemente em A_{a}, onde α é um número real qualquer. Mais precisamente, mostre que

sup_{z∈A_{α}} |f_{n}(z)| ⩽ \frac{1}{α + n} se n > −α

c) Mostre que se A = {z; Im z ⩾ 1}, então f_{n} ↛ 0, uniformemente em A,

mostrando que sup_{z∈a} |f_{n}(z)| ⩾ 1, n ∈ IN.

2) Seja a_{n}(z) = 1/(z + n^{2}), n ∈ IN. Seja S = {−n^{2}; n ∈ IN}. Considere

f(z) = ∑_{n⩾0} a_{n}(z), z ∉ S.

a) Mostre que ∑_{n⩾0} |a_{n}(z)| < ∞, z ∉ S.

b) Mostre que a série é uniformemente convergente em A_{α} (cf Ex 1 b)).

c) Mostre que se α ⩽ 0, a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) não é normalmente convergente

em A_{α} (Ex 1 c)), mostrando que ∥a_{n}∥_{A_{α}} = ∞, para n^{2} ⩽ −α.

d) Mostre que a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) não é uniformemente convergente em A (Ex

1 c)).

e) Mostre que a série ∑_{n⩾0} a_{n}(z) é uniformemente convergente em todo com-

pacto K ⊂ ℂ \ S; conclua que f é contínua em ℂ \ S.

f) Discuta as relações entre séries normalmente convergentes, absolutamente convergentes e uniformente convergentes. Discuta como isto foi aplicado no teorema de séries de potências que relacionou o raio de convergência da série e da série de potências obtida da original derivando-se termo a termo.

g) Considere e^{z} := Σ \frac{z^{k}}{k!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + · · · . Mostre que

|e^{z} − Σ_{0}^{n−1} \frac{z^{k}}{k!} | ⩽ \frac{2}{n!}|z|^{n}  para n ⩾ 1  |z| ⩽ 1 + \frac{1}{2}(n − 1)

O quê você pode concluir da estimativa acima com respeito à convergência da soma parcial da série dada por e^{z} ? Você tem outra maneira de ver isto ?

3) Seja X um conjunto e sejam f_{n}, n = 1, 2, …, f funções complexas definidas em X. Mostre que f_{n} ⟶^{u} f (n → ∞) ⇔ lim_{n→∞} (f_{n}(x_{n}) − f(x_{n})) = 0, para toda seqüência {x_{n}}_{n⩾1} em X.

4) Seja f_{n}(x) = nx(1 − x)^{n} (o ⩽ x ⩽ 1, n = 1, 2, …,). Verifique que as funções contínuas f_{n} convergem (quando n → ∞) pontualmente à uma função contínua f ≡ 0 em [0, 1], sem que a convergência seja uniforme, mostrando que

∥f_{n}∥_{[0,1]} ⟶ \frac{1}{e} ≠ 0 (n → ∞).

5) Sejam a_{n} : X → ℂ, n ∈ IN, onde X é um conjunto e {b_{n}} uma seqüência monótona tendendo à zero. Seja A_{n}(x) := a_{0} + ⋯ + a_{n}(x), x ∈ X. Suponha

que sup_{n⩾0} ∥A_{n}∥ < ∞.

a) Seguindo o raciocínio do critério de Dirichlet (veja Lista 1), mostre que ∑_{n} a_{n}(x)b_{n} converge uniformemente em X. Conclua que a série ∑_{ν⩾1} b_{ν} cos νx (cf Lista 1) converge uniformemente em x ∈ [α, β], onde 0 < α < β < π.

6) Determine um domínio compacto, em cada item dos exercs. 3), 4), 5) da listaC, de maneira as série dada no item converge normalmente no domínio determinado.

7) Defina para s ∈ ℂ e n ∈ IN^{∗}

n^{s} := e^{s ln n}

Considere uma série da forma

(∗)  ∑_{n⩾1} \frac{a_{n}}{n^{s}} ,  a_{n} ∈ ℂ, s ∈ ℂ

chamada usualmente de série de Dirichlet i) Será que se (∗) converge absolutamente para s = a + ib, então a

série converge normalmente para ℜs ⩾ a, e vale que (∗) define uma função contínua neste semi-plano fechado ?

Sugestão: Compare a série de funções com uma série de números reais no semi-plano indicado e aplique o teste M de Weierstrass.

Para responder ao próximo exercício você vai precisar utilizar o chamado teorema de convergência de Weierstrass que diz o seguinte: Seja U um aberto (não vazio) de ℂ, e seja {f_{n}(z), z ∈ U} uma seqüência de funções holomorfas definidas em U. Se {f_{n}} converge uniformemente localmente em U à uma função f : U → ℂ, então f(z) é holomorfa e

lim_{n→∞} f_{n}^{(k)}(z) = f^{(k)}(z), z ∈ U

sendo a convergência uniforme em compactos de U. No caso de séries de funções holomorfas convergindo uniformemente, é válido derivação termo a termo. Para demonstrar este resultado você terá que estudar a teoria da integração complexa, incluindo a fórmula de Cauchy e variantes. Assumindo isto responda ao seguinte:

ii) Será que se (∗) converge absolutamente para s = a+ib, então a série define uma função holomorfa no semi-plano {ℜs > a} satisfazendo

f^{(k)}(s) = ∑_{n⩾1} a_{n}n^{−s} (− ln n)^{k} , k ∈ IN^{∗}

neste semi-plano ? iii) Considere agora o caso de que a_{n} = 1, ∀n. Neste caso a série é a

famosa função zeta de Riemann dada por

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}}

Assumindo o teorema de Weierstrass enunciado acima responda ao seguinte:

Será que ζ(s) é holomorfa para ℜs > 1 ?

Finalmente, será que a função ζ(s) possui alguma simetria ?

Note que

ζ(2) = ∑_{n=1}^{∞} = \frac{π^{2}}{6}

8) Considere f(z) = z + ∑_{2}^{∞} a_{n}z^{n}. Assuma que

∑_{2}^{∞} n|a_{n}| ⩽ 1

a) Mostre que f é contínua em \overline{△} := \{|z| ⩽ 1\}. Com base no que foi dito acima sobre o teorema de convergência de Weier-

strass, b) Mostre que f é holomorfa em △.

9) Considere a seqüência a_{n}(z) := {z^{n}/(1 + z^{n})}, z ∈ ℂ.

(a) Deduza que para valores z ∈ ℂ tais que |z| < 1, tem-se a_{n}(z) →^{p} 0 (n → ∞), i.e a_{n}(z) converge pontualmente a zero, quando n vai para infinito.

(b) Encontre uma seqüência {α_{n}}, |α_{n}| < 1, satisfazendo |α_{n}| → 1 com a_{n}(α_{n}) ↛ 0 (n → ∞). Deduza daí a não convergência uniforme de a_{n}(z) no disco unitário |z| < 1.

(c) Mostre que a série ∑_{n} z^{n}/(1+z^{n}) converge absolutamente em {z; |z| < 1}. Mostre que a série ∑_{n} z^{n}/(1 + z^{n}) converge uniformemente em {z; |z| ⩽ r < 1}.

Nota cultural matemática:

i) A série de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1} em torno da origem está definida por

\frac{z}{e^{z} − 1} = Σ_{0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k}, B_{k} ∈ ℂ

Valem as seguintes afirmações i) B_{1} = 0 e B_{2k+1} = 0 para k ⩾ 1. ii)

\binom{n}{0}B_{0} + \binom{n}{1}B_{1} + \binom{n}{2}B_{2} + ⋯ + \binom{n}{n − 1}B_{n−1} = 0

Os números acima são chamados de números de Bernoulli. Determine-os recursivamente, calculando

B_{0} = 1, B_{2} = 1/6, B_{4} = −1/30, B_{6} = 1/42
B_{8} = −1/30, B_{10} = 5/66, B_{14} = 7/6
Curiosidade: B_{26} = 8553103/6 …

Para entender o desenvolvimento acima, considere 1 = \frac{e^{z} − 1}{z} · \frac{z}{e^{z} − 1} , assim como o desenvolvimento de Taylor da função exponencial, e o resultado sobre produtos e divisões de séries de potências (veja listaC).

ii)) Existe uma relação entre os números de Bernoulle e a função zeta de

Riemann

B_{2n} = \frac{(−1)^{n+1}(2n)! ζ(2n)}{2^{2n−1}π^{2n}}

iii) A função zeta de Riemann admite um prolongamento analítico à

ℂ \ {1}, sendo z = 1 um pólo simples de resíduo 1. iv) A hipótese de Riemann é um dos problemas do milênio que diz o seguinte: “Os zeros de ζ(z) na faixa crítica 0 ⩽ ℜz ⩽ 1 estão todos na reta ℜz = \frac{1}{2} (já se sabe que existem uma infinidade de tais zeros)”