INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaE

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: SÉRIES DE TAYLOR E CONTINUAÇÃO ANALÍTICA

Seja f(z) = 1/z(z − 1), z ∈ ℂ \ {0, 1}. Obtenha o desenvolvimento de f(z) em z = 2, usando a seguinte técnica

f(z) = − \frac{1}{z} + \frac{1}{z − 1} = −\frac{1}{2}(1 + \frac{z − 2}{2})^{−1} + (1 + (z − 2))
= − \frac{1}{2}\{1 − \frac{z − 2}{2} + (\frac{z − 2}{2})^{2} − ⋯\} + \{1 − (z − 2) + (z − 2)^{2} − ⋯\}
=\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} − 1) (z − 2) + ⋯ + (−\frac{1}{2} · \frac{(−1)^{n}}{2^{n}} + (−1)^{n})(z − 2)^{n} + ⋯
= ∑_{n⩾0}(−1)^{n} (1 − \frac{1}{2^{n+1}} ) (z − 2)^{n}

.

Qual é o raio de convergência da série acima ? Discuta isto!

1) Considere

f(z) = z^{2}/(z − 2), z ≠ 2

a) Mostre que f(z) é holomorfa. Encontre os termos de ordem ⩽ 3 do desenvolvimento em série de potências da função f(z) em z = 1.

Resposta : −1 − (1 + 2)(z − 1) − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{2} − (1 + 2 + 1)(z − 1)^{3}.

b) Agora, aplicando a técnica acima desenvolvida em sala de aula, obtenha

a série de Taylor de f(z) em z = 1. Daí calcule f^{(n)}(1), n ⩾ 0

2) Considere a função

f(z) = \frac{2z}{z^{2} − 3z + 2}, z ≠ 1, 2

a) Obtenha o desenvolvimento de Taylor de f(z) em z = 0, determinando o termo geral da série. Calcule o raio de convergência da série de Taylor. b) Obtenha o desenvolvimento de Taylor de f(z) em z = 3/2, determinando o termo geral da série. Calcule o raio de convergência da série de Taylor.

3) Idem item 2) com respeito a função f(z) = z/((z + 1)^{2}(z − 3).

4) Idem item 2) com respeito a função f(z) = z/(z^{2} + 1)(z − 1)^{2}.

5) Seja f(z) := \frac{e^{z}}{(1 − z)}, para |z| < 1. Mostre que f(z) é analítica. Seja ∑_{n⩾0} a_{n}z^{n} o desenvolvimento de Taylor da função dada na origem. Use a fórmula de multiplicação de séries para calcular a_{n} (e deduzindo analiticidade) mostrando que

a_{n} = (1 + ⋯ + \frac{1}{n!}) , n ⩾ 1, a_{0} = 1

6) Mostre que f(z) = \frac{1}{z^{2} + 1} + \frac{i/2}{(z − i)}(z ≠ i) e f(i) = 1/4, é holomorfa para |z − i| < 2, deduzindo que

f(z) = ∑_{n⩾0} \frac{1}{4} (\frac{i}{2})^{n} (z − i)^{n}, |z − i| < 2

7) Considere a função

(∗)  f(z) = \frac{1}{1 + z + z^{2}}

Seja ∑ a_{n}z^{n} o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem.

a) Mostre que os coeficientes a_{n} satisfazem uma relação de recorrência que dá a seguinte equação de diferenças linear de primeira ordem:

a_{n+1} + a_{n} + a_{n−1} = 0, a_{0} = 1, a_{1} = −1

b) Calcule a_{n}, mostrando que

a_{n} = \frac{i}{\sqrt{3}} eπi(2n − 1)/3 −\frac{i}{\sqrt{3}} e−πi(2n − 1)/3

c) Calcule f^{(n)}(0), a derivada de ordem n de f(z) na origem.

d) Determine o desenvolvimento de Taylor de f na origem, verificando que a função racional (∗) acima dá a forma fechada de tal desenvolvimento, verificando o seu resultado. e) Calcule o raio de convergência da série de Taylor. f ) Mostre que f(z) satisfaz uma equação diferencial de segunda ordem (en-

volvendo f(z), f′(z), f′′(z)) não linear.

8) Considere

J(z) = Σ_{0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(n!)^{2}} (\frac{z}{2})^{2n}

Qual é o raio de convergência da série ? Indique um domínio compacto no qual a série converge normalmente.

Mostre que J(z) satisfaz a equação diferencial (Veja num livro outros exemplos de equações lineares complexas, regulares e singulares-regulares, de segunda ordem)

z^{2}J′′(z) + zJ′(z) + z^{2}J(z) = 0

9) Sejam a, b, k constantes reais, com k ≠ 0. Define-se uma seqüência {a_{n}} pela relação de recorrência (equação de diferenças linear de segunda ordem):

a_{0} = a, a_{1} = b, ka_{n+2} − (1 + k^{2})a_{n+1} + ka_{n} = 0

Considere a série

f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n} \frac{z^{n}}{n!}

a) Mostre que f(z) satisfaz a uma equação diferencial linear de segunda ordem. Encontre uma expressão explícita para f(z) e em seguida encontre uma expressão para os a_{n}. Analise os casos k = ±1, separadamente.

10) Considere {a_{n}} uma seqüência satisfazendo a equação de diferenças de se-

gunda ordem

a_{n} = \frac{a_{n−2} + a_{n−1}}{2} , n ⩾ 1

com condições iniciais a_{1} = 0, a_{2} = 1. Considere a série de potências

f(z) = ∑_{1}^{∞} a_{n}z^{n}

a) Mostre que a série define uma função holomorfa f(z) numa vizinhança da origem. b) Determine f(z) numa “closed form”, i.e na forma de uma fração racional,

obtendo f(z) = \frac{2z^{2}}{2 − z − z^{2}} .

c) Calcule f^{(n)}(0), n ⩾ 0, e calcule o raio de convergência da série, mostrando

que a_{n} = \frac{2}{3} + \frac{(−1)^{n}}{2^{n−1}} · \frac{2}{3}

11) Considere a equação de diferenças

a_{n} = a_{n−1} + a_{n−2}, n ⩾ 2

satisfazendo as condições iniciais a_{0} = a_{1} = 1. Esta é uma equação linear de diferenças de segunda ordem com coeficientes constantes. Você deveria saber resolver isto com os métodos do Cálculo IV! Vamos propor outra solução via a teoria das funções analíticas. À propósito: Tal seqüência é chamada de seqüência de Fibonacci.

a) Mostre que A(z) := ∑ a_{n}z^{n} tem raio de convergência R > 0.

b) Mostre que A(z) = \frac{1}{1 − z − z^{2}} , concluindo que A(z) tem raio de con-

vergência R = \frac{\sqrt{5} − 1}{2}.

c) Mostre que

a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n+1} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n+1})

O número \frac{1+\sqrt{5}}{2} =≈ 1, 618 … é o número áureo dos gregos da antiguidade.

12) Verifique (ou obtenha) os desenvolvimentos de Taylor das funções abaixo , justificando a convergência ( raio e disco de convergência) em cada caso. Discuta convergência normal.

a) \frac{1}{(1 − z)^{2}} = ∑_{n=0}^{∞}(n + 1)z^{n},  |z| < 1.

b) \frac{1}{(1 − z)^{m+1}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(n + 1) ⋯ (n + m)}{m!}z^{n}, |z| < 1, m ∈ IN.

c) sin (αz) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{α^{2n+1}}{(2n + 1)!}z^{2n+1}, z ∈ ℂ.

d) cos z^{1/2} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{n}}{(2n)!}, z ∈ ℂ.

e) \frac{1}{z^{2} + 1} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin(n + 1)\frac{π}{4}}{(\sqrt{2})^{n+1}} (z − 1)^{n}, |z − 1| < \sqrt{2}.

f) \frac{1}{1 − 2z cos θ + z^{2}} = ∑_{0}^{∞} \frac{e^{(n+1)iθ} − e^{−(n+1)iθ}}{e^{iθ} − e^{−iθ}} z^{n}, |z| < 1

g) Exiba as séries abaixo escrevendo uma expressão numa “forma fechada” (s ∈ IR)

∑_{n⩾0} z^{n} cos ns

∑_{n⩾0} z^{n} sin ns

13) Considere a função f(z) = \frac{e^{−z}}{1 + z} .

a) Encontre o desenvolvimento de Taylor de f na origem, determinando os coeficientes da série.

b) Calcule o raio de convergência por dois métodos distintos.

c) Calcule f^{(n)}(0).

Doravante, vamos ter como base o seguinte resultado fundamental enunciado em sala de aula:

analiticidade é equivalente a holomorfia

14) Responda verdadeiro ou falso. Caso verdadeiro esboce uma dedução sucinta. Caso falso esboce um contra-exemplo.

a) Seja f : Ω ⊂ ℂ → ℂ uma função holomorfa definida num domínio Ω. Seja c_{n}, n = 0, 1, 2 …, uma seqüência de pontos de Ω com c_{n} → c (n → ∞). Assuma que f(c_{n}) = 0. Segue então que f ≡ 0 em Ω.

b) Seja f : Ω ⊂ ℂ → ℂ uma função anti-holomorfa definida num domínio Ω. Seja c_{n}, n = 0, 1, 2 …, uma seqüência de pontos de Ω que possui um ponto de acumulação pertencendo ao domínio Ω. Assuma que f(c_{n}) = 0. Segue então que f ≡ 0 em Ω.

15) Verificar as afirmações abaixo com respeito a existência de uma função analítica f definida numa vizinhança (aberta) de z = 0.

a) f (\frac{1}{n}) = cos nπ, n = 1, 2, …, é impossível. b) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} sin (\frac{nπ}{2} ) , n = 1, 2, …, é impossível.

c) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1}, n = 1, 2, …, implica que f(z) = z/(z + 1).

d) f (\frac{1}{n}) = \frac{n^{2} sin(π/n)}{n + 1}, n = 1, 2, …, implica que f(z) = sin(πz)/z(z+1), com f(0) = π.

e) f (\frac{1}{n}) = f (\frac{1}{2n}) , n = 1, 2, …, implica que f é constante.

f)

an^{−5/2} ⩽ |f (\frac{1}{n})| ⩽ bn^{−5/2}

onde a, b são constantes ⩾ 0,implica que f é identicamente nula.

g) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{2n + 1}, n = 1, 2, …, implica que f(z) = z/(z + 2).

h) f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{2n + cos(nπ)} é impossível.

16) Seja Ω um domínio e sejam f e g duas funções holomorfas definidas em Ω.

a)

i) Assuma que f(z)g(z) = 0 para todo z ∈ Ω. O que você pode dizer de f e de g ?

ii) Assuma que f(z)\overline{g(z)} = 0 para todo z ∈ Ω. O quê você pode dizer

de f e de g ?

b) Suponha que f^{2}(z) = z e que g^{2}(z) = z para todo z ∈ Ω. O que você

pode dizer de f e de g ?

17) Seja u = u(x+iy) uma função harmônica definida num domínio Ω. Assumindo que localmente uma função harmônica é parte real de uma função holomorfa, o que você pode dizer do conjunto C = {u_{x} = u_{y} = 0} ?

18) Verifique se existem funções holomorfas definidas num domínio contendo a origem que satisfaçam a condição abaixo.

a) f(\frac{1}{n^{2}} ) = e^{−\sqrt{n}}, onde n ∈ IN^{∗}.

∗  ∗  ∗

O seguinte problema para equações diferenciais ordinárias holomorfas de primeira ordem é fundamental

Considere f(z, w) uma função holomorfa nas variáveis z, w, para z numa vizinhança de a e w numa vizinhança de b. Considere o seguinte problema com condição inicial

\{ \begin{matrix}\frac{dw}{dz} & = f(z, w) \\ w(a) & = b \end{matrix}  (∗)

O seguinte resultado é fundamental: O problema acima (∗) possui uma e apenas uma solução.

O mesmo resultado vale para equações diferenciais ordinárias holomorfas de ordem superior:

\{ \begin{matrix}\frac{d^{n} w}{dz^{n}} & = f(z, w, w′, …, w^{(n−1)}) \\ w(a) & = b \\ w′(a) & = b_{1} \\ w′′(a) & = b_{2} \\ ⋯ \\ w^{(n−1)}(a) & = b_{n−1} \end{matrix}  (∗∗)

Quando a equação é linear um pouco mais pode ser dito: Considere

w′′ + p(z)w′ + q(z)w = 0 (∗∗)

onde p(z) e q(z) são holomorfas para |z − a| < R, R > 0. Segue então que a solução geral de (∗∗) é combinação linear de duas soluções linearmente independentes holomorfas para |z − a| < R.

19) Os próximos exercícios dizem respeito ao que foi dicutido acima: a) Considere a equação diferencial abaixo

w′(z) + 2zw(z) = z^{2}  (∗)

i) Mostre que toda solução de (∗) é inteira e que sempre existe tal solução.

ii) Seja w(z) = ∑ a_{n}z^{n}, uma solução de (∗). Mostre que os coeficientes a_{n} satisfazem uma equação de diferenças linear de segunda ordem, usualmente chamada de relação de recorrência. Resolva esta equação calculando os coeficientes. Determine a solução geral da equação. b) Considere a equação diferencial

\{ \begin{matrix}(z^{2} − 2z − 3)\frac{d^{2} w}{dz^{2}} + 3(z − 1)\frac{dw}{dz} + w = & 0 \\ w(1) = 4 \\ w′(1) = 1 \end{matrix}  (∗)

i) Dê uma argumento, sem fazer conta, que (∗) possui uma solução que é dada por uma série de potências f(z) = ∑ a_{n}(z − 1)^{n}, de raio de convergência R igual a 2.

ii) Encontre a equação de diferenças satisfeita pelos coeficientes a_{n},

referidos no item i). iii) Encontre uma fórmula para os coeficientes a_{n} em função de n. iv) Fazendo obrigatoriamente dois cálculos distintos, calcule de duas

maneiras distintas explicitamente o raio de convergência da série.

v) Calcule f^{(2004)}(1). vi) Encontre a solução da equação diferencial

\{ \begin{matrix}(z^{2} − 2z − 3)\frac{d^{2} w}{dz^{2}} + 3(z − 1)\frac{dw}{dz} + w & = 1 + z + z^{2} \\ w(1) = 4 \\ w′(1) = 1 \end{matrix}

20) Considere a equação diferencial complexa de segunda ordem dada por (veja listaB (5)):

(∗)  E_{z\overline{z}} = \frac{\overline{E}}{1 + E\overline{E}} E_{z}E\overline{z}

Dizemos que uma função E : U → ℂ de classe C^{2} definida num domínio U ⊂ ℂ é uma solução trivial da equação (∗), se E é holomorfa ou anti-holomorfa. Sejam f(z) e g(z) funções holomorfas em U. a) Assuma que E(z) = f(z)\overline{g(z)} seja uma solução de (∗). Mostre que E é

uma solução trivial de (∗).

b) Assuma que E(z) = f(z) + \overline{g(z)} seja uma solução de (∗). Mostre que E é uma solução trivial de (∗).

Sugestão: Faça primeiramente o exercício 16) item a).

21) Seja f(z) uma função analítica definida numa vizinhança da origem. Mostre

que se f(z) satisfaz

f(2z) = 2f′(z) · f(z)

então f(z) é uma função inteira, i.e definida em todo plano complexo ℂ. Dê exemplos de funções elementares que satisfazem a igualdade acima.

No próximo exercício você vai ter que assumir o fato de que uma aplicação analítica é aberta.

22) Considere φ(z) = u(z) + iv(z) uma função complexa de classe C^{1} definida em um domínio Ω. Relembre do fato deduzido no exercício 1) da listaB que

\frac{∂φ}{∂z} = \overline{(\frac{∂φ}{∂\overline{z}})}

a) Suponha agora que φ seja analítica em Ω. Suponha ainda que existe uma vizinhança aberta V ⊂ Ω, tal que \overline{φ(z)} ∈ Ω, ∀z ∈ V. Mostre que w = \overline{φ (φ(z))} é uma função holomorfa num aberto de Ω. (Sugestão: use o fato que uma aplicação analítica é aberta e a observação anterior). Considere o conjunto A = {z ∈ V, z = φ(z)}. Suponha finalmente que a ∈ A seja um ponto de acumulação de A. Mostre que z ≡ \overline{φ (\overline{φ}(z))} em V. Conclua que |φ′(a)| = 1.

23) Seja f(z) uma função holomorfa no disco unitário aberto centrado na origem. Suponha que para −1 < x < 1 (x ∈ IR), u = f(x) satisfaça a equação diferencial

u′(x) = \frac{2u(x)}{1 − x} + \frac{1}{(1 − x)^{2}}

Assuma que f(0) = 0. Encontre f(z). Calcule f^{(n)}(0).

∗  ∗  ∗

Nota cultural matemática:

Seja f uma função holomorfa num disco Ω de ℂ. Diz-se que Ω é o domínio de holomorfia de f se f não possui nenhum prolongamento à um domínio Ω̃ contendo Ω com Ω̃ ≠ Ω. Pode-se mostrar que para todo domínio Ω de ℂ, existe uma função holomorfa f definida em Ω para a qual Ω é seu domínio de holomorfia. Neste caso o bordo ∂Ω de Ω é chamado de fronteira natural de holomorfia de f e os pontos de ∂Ω são chamados de pontos singulares de f, ou seja, f não admite prolongamento analítico a nenhum aberto U contendo um ponto ζ qualquer de ∂Ω.

• Note que todos os pontos do bordo do disco de convergência da séria abaixo são pontos singulares, i.e o círculo S^{1} = ∂Ω é a fronteira natural de f e o disco de convergência é o domínio de holomorfia de f:

f(z) = z + z^{2} + z^{4} + ⋯ = ∑_{n=0}^{∞} z^{2^{n}}.

OBS: : para ver isto note que o limite radial quando o raio tende à 1 é ∞. Mais precisamente, note primeiramente que

lim_{t→1} |f(re^{it})| = ∞

quando cada t é da forma 2πk/2^{ℓ}, k ∈ ℤ, ℓ ∈ IN. Em seguida note que isto é suficiente para mostrar que um ponto ζ qualquer de ∂Ω é um ponto singular de f.

•• Note que sempre tem um ponto singular no bordo do disco de convergência de uma função analítica.

• • • Seja R, 0 < R < ∞ o raio de convergência de série

∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − a)^{n}

O teorema de Abel diz o seguinte: Se ζ é um ponto da fronteira do disco de convergência |z −a| < R, se a série converge para z = ζ, então o limite radial existe em z = ζ, isto é ( mas, o limite, em geral não existe !)

lim_{{t→1 \atop 0⩽t<1}} f (a + t(ζ − a)) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(ζ − a)^{n}.  (∗)

Professor Ricardo Sa Earp 11

Usando o teorema de Abel note que

log 2 = lim_{{t→1 \atop 0⩽1}} log(1 + t) = ∑_{n⩾1} \frac{(−1)^{n−1}}{n} .

Conclua que, de fato, tem-se que

log 2 = lim_{z→1} log(1 + z) = ∑_{n⩾1} \frac{(−1)^{n−1}}{n} .

Seja

f(z) = z − \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} − ⋯ = ∑_{n⩾0}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{2n + 1}, |z| < 1

verificar que o raio de convergência da série é 1 e que f′(z) = \frac{1}{(z^{2} + 1)}, |z| < 1. Deduzir que para t real em (−1, 1), f(t) = arctan t. Pelo teorema de Abel conclua que ( série de Gregory e Leibniz)

\frac{π}{4} = ∑_{n⩾0} \frac{(−1)}{2n + 1} = 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{5} − ⋯