INTROD. VCOMPLEXAS- AGOSTO DE 2004–ListaF

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: FUNÇÕES ANALÍTICAS ELEMENTARES

1) Mostre que se 0 < a < 1, então

2πie^{iπa} / (e^{2πai} − 1) = \frac{π}{sin aπ}

Para que valores a ∈ ℂ a igualdade acima é verdadeira ?

2) Mostre que se q = e^{iπτ} , Im τ > 0 e se θ = e^{iπu}, então

\frac{sin π(nτ − u) · sin π(nτ + u)}{sin^{2}(πnτ)} = \frac{(1 − q^{2n}θ^{−2})(1 − q^{2n}θ^{2})}{(1 − q^{2n})^{2}}

3) Seja

f(z) = asen z − e^{z}, z ∈ Ω := {z; |ℜz| ⩽ π/2, | Im z| ⩽ π/2}

a) Calcule

max_{∂Ω} |f(z)|

Será que max_{Ω} |f(z)| = max_{∂Ω} |f(z)| ?

4) Mostre que a função w = e^{1/z^{k}}, k ∈ IN^{∗} em qualquer disco perfurado da origem, toma todos os valores complexos w uma infinidade de vezes, exceto w = 0. Idem para w = sin (1/z) . Nota cultural matemática: relacione com o grande teorema de Picard.

5) Seja f(z) = exp(az) + exp(bz), onde a, b são constantes complexas e z ∈ ℂ. Mostre que f é periódica ⇔ a = b = 0 ou b = ra, onde r é um número real racional.

6) Mostre que a) | exp z^{2}| → ∞ se |z| → ∞, | arg z| ⩽ α < π/4.

b) cos z é real ⇔ y = 0 ou x = nπ, n ∈ ℤ. c) sin z é imaginário puro ⇔ x = nπ, n ∈ ℤ.

d) exp ((1 + i)z) = ∑_{n⩾0} 2^{n/2} exp (\frac{inπ}{4} ) \frac{z^{n}}{n!} , ∀z ∈ ℂ.

e) exp(cos z) cos(sin z) = ∑_{n⩾0} \frac{cos nz}{n!} , ∀z ∈ ℂ. Sugestão: Verifique que

exp(exp ±iz) = ∑_{n} \frac{exp(±inz)}{n!} = ∑_{n} \frac{cos nz}{n!} ± ∑_{n} i\frac{sin nz}{n!}

e que exp(exp ±iz) = exp(cos z) exp(±i sin z).

f) cos i + i sin i = e^{−1}.

g) log exp(1 + 4i) = 1 + (4 − 2π)i.

h) ∀z ∈ ℂ, | cos z| ⩽ cosh |z| e que | sin z| ⩽ sinh |z|. Deduza que para

|z| < 1, | cos z| < 2 e | sin z| ⩽ 6|z|/5. 7)

a) Seja f ∈ H(ℂ) uma função inteira tal que f(0) = 1. Mostre que se f(z + w) = f(z)f(w), ∀z, w ∈ ℂ; então f(z) = e^{αz}, ∀z ∈ ℂ, α ∈ ℂ.

b) Seja f uma função contínua tal que

f(z + w) = f(z) + f(w), z, w ∈ ℂ.

Mostre que

f(z) = az + bz̄, z ∈ ℂ, para, a, b ∈ ℂ.

8) Verificar que cos z = w, implica que

z = −i log (w ± \sqrt{w^{2} − 1}) + 2nπ, n ∈ ℤ.

Em particular, concluir que cos : ℂ → ℂ é sobrejetiva.

9) Verificar que sin z = w, implica que

z = −i log (iw ± \sqrt{1 − w^{2}}) + 2nπ, n ∈ ℤ.

Em particular, concluir que sin : ℂ → ℂ é sobrejetiva.

10) Verificar todas as determinações de a) 2^{i}. Resposta: e^{−2nπ}{cos(log 2) + i sin(log 2)}, n ∈ ℤ.

b) i^{i}. Resposta: exp \{−π (2n + \frac{1}{2})\} , n ∈ ℤ.

11) Encontrar todos os números a e z complexos tais que:

a) Toda determinação de a^{z} são reais.

b) Toda determinação de a^{z} seja de valor absoluto 1. Sugestão: Seja z =

x + iy, x, y reais e a = re^{iθ}, r > 0, θ ∈ (−π, π].

12) Sejam α = a + ib, a, b reais e z ∈ ℂ^{∗}. Verifique que

|z^{α}| = |z|^{a}e^{−b arg z}

deduza que

a) lim_{z→0} |z^{α}| = 0 ⇔ ℜα > 0.

b) lim_{z→0} |z^{α}| = ∞ ⇔ ℜα < 0.

13) Verificar que, se |z| < 1,

\frac{1}{2} + z + z^{2} + ⋯ = \frac{1}{2} · \frac{1 + z}{1 − z}

colocando z = re^{iθ}, 0 ⩽ r < 1, deduza:

\frac{1}{2} + ∑_{n=1}^{∞} r^{n} cos nθ = \frac{1}{2} \frac{1 − r^{2}}{1 + r^{2} − 2r cos θ}

deduza ainda fórmula análoga trocando-se cos por sin na expressão a esquerda da igualdade.

14) Seja z = x + iy, com x, y reais. Verifique que | sin nz| ⩽ e^{n|y|}, n = 1, 2, …; deduza que ∑_{n⩾1} 2^{−n} sin nz converge absolutamente se | Im z| < log 2. Por outro lado se | Im z| ⩾ log 2, mostre que |2^{−n} sin nz| ↛ 0, quando n → ∞ (veja o exercício seguinte), de modo que ∑_{n⩾1} 2^{−n} sin nz diverge se | Im z| ⩾ log 2.

15) Mostrar que a série ∑_{n⩾1} n^{−2} sin nz converge apenas para z real, mostrando

que

| sin nz| ⩾ \frac{1}{2} (e^{n|y|} − e^{−n|y|}) , y = Im z.

16) Mostre que não existe nenhuma função contínua

f : ℂ^{∗} → ℂ^{∗} talque (f(z))^{2} = z, ∀z ∈ ℂ^{∗}.

Sugestão: Observe que f(z) ≠ 0, ∀z ∈ ℂ^{∗}. Passando a −f se necessário, suponha que f(1) = 1. Mostre que a função z → f(z)f(w)/f(zw) é continua e identicamente igual a 1. Infira daí uma contradição . Mostre que não existe nenhum ramo contínuo de z^{1/2} em ℂ^{∗}, por outro lado

z → z^{1/2} é holomorfa em ℂ − (−∞, 0].

Conclua também que não existe nenhuma função logaritmo no domínio ℂ^{∗}.

17) As séries de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1}, cot z e tan z.

a) A série de Taylor de \frac{z}{e^{z} − 1} em torno da origem está definida por

\frac{z}{e^{z} − 1} = Σ_{0}^{∞} \frac{B_{k}}{k!} z^{k}, B_{k} ∈ ℂ

Mostre as seguintes afirmações i) B_{1} = 0 e B_{2k+1} = 0 para k ⩾ 1. ii)

\binom{n}{0}B_{0} + \binom{n}{1}B_{1} + \binom{n}{2}B_{2} + ⋯ + \binom{n}{n − 1}B_{n−1} = 0

Os números acima são chamados de números de Bernouille (veja listaD) Sugestão: Considere 1 = \frac{e^{z} − 1}{z} · \frac{z}{e^{z} − 1}.

b) Mostre que

cot z = \frac{1}{z} + Σ_{1}^{∞}(−1)^{k} \frac{4^{k}}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

tan z = Σ_{1}^{∞}(−1)^{k−1} \frac{4^{k}(4^{k} − 1)}{(2k)!}B_{2k}z^{2k−1}

Discuta o raio de convergência da série de z cot z.

18) Considere a série

(∗)  f(z) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{3n}}{(3n)!}

a) Mostre que f satisfaz f′′′(z) − f(z) = 0. Mostre ainda que f(z) =

\frac{1}{3} (e^{z} +2 e^{−z/2} cos \frac{\sqrt{3}z}{2} ) .

i) Deduza, partindo da série (∗), trocando z por −z e somando que

\frac{1}{3} (cosh z + 2 cosh z/2 cos(\sqrt{3}z/2)) = ∑_{0}^{∞} \frac{z^{6n}}{(6n)!}

19) Considere a função f(z) = log \frac{1 + z}{1 − z} , |z| < 1. Calcule f^{(n)}(0), a n-ésima derivada de f na origem. Use obrigatoriamente o desenvolvimento de Taylor de f na origem para calcular, log \frac{m}{n}, log 2 e log | cot z|.

28) Considere a função f(z) = \frac{e^{−z}}{1 + z} . Mostre que a n-ésima derivada de f na

origem é dada por f^{(n)}(0) = (−1)^{n}n! (1 + 1 + \frac{1}{2!} + ⋯ + \frac{1}{n!}) .

20) Mostrar que

log (\frac{1 + z}{1 − z} ) = log(1 + z) − log(1 − z) se z ∉ E = \{t ∈ IR; |t| ⩾ 1\}

Sugestão: Verifique que as duas funções são holomorfas em ℂ \ E e que a igualdade é verificada para z ∈ IR e |z| < 1.

21) Seja

f(z) = \frac{1}{2i} log (\frac{1 + iz}{1 − iz} )

Verificar que f é holomorfa em ℂ \ F, onde F = {it, t ∈ IR, |t| > 1}. De acordo com o item anterior conclua que

f(z) = \frac{1}{2i} log(1 + iz) − log(1 − iz) se z ∉ F

Concluir que f(z) é um prolongamento analítico da função f dada por

f(z) = z − \frac{z^{3}}{3} + \frac{z^{5}}{5} − ⋯ = ∑_{n⩾0}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{2n + 1}, |z| < 1

Deduzir que para t real em (−1, 1), f(t) = arctan t. Conclua que tan (f(z)) = z, z ∈ ℂ \ F (cf. exercício 12 Parte A, Lista 3). f(z) é o ramo principal de arctan z.

22) Considere a série

f(z) := ∑_{0}^{∞} \frac{z^{n}}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}

a) Mostre que f(z) é analítica no disco aberto |z| < 1.

b) Mostre que \frac{d}{dz} [z^{2} (zf(z))′] pode ser escrita em termos de funções analíticas elementares no anel 0 < |z| < 1. Daí escreva f(z) explicitamente usando funções conhecidas.

23) Verifique (ou obtenha) os desenvolvimentos de Taylor das funções abaixo , justificando a convergência ( raio e disco de convergência) em cada caso. Discuta convergência normal.

a) Este exercício é para ser feito por dois métodos. Obtenha via o método do produto de séries (relação de recorrência entre os coeficientes) e também pelo método das frações parciais o seguinte:

\frac{1}{1 − 2z cos θ + z^{2}} = ∑_{0}^{∞} \frac{e^{(n+1)iθ} − e^{−(n+1)iθ}}{e^{iθ} − e^{−iθ}} z^{n}

= \frac{1}{sin θ} ∑_{0}^{∞} z^{n} sin(n + 1)θ, |z| < 1

b) Exiba as séries abaixo escrevendo uma expressão numa “forma fechada” (s ∈ IR)

∑_{n⩾0} z^{n} cos ns

∑_{n⩾0} z^{n} sin ns

c) Exiba o desenvolvimento de Taylor na origem das funções f(z) abaixo, determinando o raio de convergência das respectivas séries

f(z) = ln(1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4})
f(z) = ln(1 + 2z + 2z^{2} + 2z^{3} + z^{4})

Sugestão: procure fatorar os polinômios envolvidos no argumento do log .

d) Escreva a série abaixo como soma de duas funções elementares (“closed form”)

∑_{0}^{∞} \frac{z^{4n}}{(4n)!}

Sugestão: Procure encontrar duas funções conhecidas cuja soma dá a série. Ou ainda, verifique que a série satisfaz uma equação diferencial resolvendo-a.

∗  ∗  ∗

Nota cultural matemática

• Considere a série binomial

b_{σ}(z) := ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}

onde

\binom{σ}{0} := 1 \binom{σ}{n} := \frac{σ(σ − 1) ⋯ (σ − n + 1)}{n!}

ou seja

b_{σ}(z) = 1 + σz + \frac{σ(σ − 1)}{2} + ⋯

Note que b_{σ} é holomorfa na bola unitária aberta centrada na origem, já que o raio de convergência da série que define b_{σ} é igual a 1. Note que b_{−1} = \frac{1}{1 + z} , |z| < 1. Vale a fórmula de multiplicação :

(1 + z)b_{σ−1} = b_{σ}

Infire-se que

b′_{σ}(z) = σb_{σ}/(1 + z)

Seja λ(z) := ∑_{1}^{∞} \frac{(−1)^{n−1}z^{n}}{n} . Note que

b_{σ}(z) = e^{σλ(z)}, |z| < 1

Vale a fórmula de Abel-Newton

(1 + z)^{σ} = ∑_{0}^{∞} \binom{σ}{n}z^{n}, ∀σ ∈ ℂ, |z| < 1.