INTROD. VCOMPLEXAS- SETEMBRO de 2004–listaH

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: INTEGRAÇÃO COMPLEXA E FÓRMULA DE CAUCHY

1) Calcular

∫_{γ} \frac{e^{z}}{z(1 − z)^{3}} d z

quando γ é um círculo orientado positivamente (e simplesmente) dado por a) |z| = 1/2. Resp:2πi

b) |z − 1| = 1/2. Resp:−iπe

c) |z| = 2. Dê uma fórmula que relacione a integral do item c) com as integrais dos itens a) e b). Justifique sua resposta tanto geometricamente como analiticamente. Resp:iπ(2 − e)

d) 2 (cos θ)^{n} + i2 (sen θ)^{n} , 0 ⩽ θ ⩽ 2π, n ∈ IN.

2) Suponha que f(z) seja analítica num aberto contendo a curva fechada γ.

Mostre que

∫_{γ} \overline{f(z)}f′(z) d z

é um número imaginário puro.

3) Suponha que f(z) seja analítica e que satisfaça |f(z) − 1| < 1 em um domínio Ω. Mostre que

∫_{γ} \frac{f′(z)}{f(z)} d z = 0,

para toda curva fechada, seccionalmente C^{1}, em Ω.

4) Se P (z) é um polinômio e C denota o círculo |z − a| = R, calcule ∫_{C} P (z) d \overline{z}. Resp:−2iπR^{2}P′(a).

5) Seja γ uma curva C^{1} por partes e seja γ sua imagem obtida pela aplicação z → z. Suponha que f(z) seja uma função contínua sobre γ.

a) Mostre que z → \overline{f(z)} é contínua sobre γ e tem-se que

\overline{∫_{γ} f(z) d z} = ∫_{γ} \overline{f(z)} d z = ∫_{γ} \overline{f(z)} d z

Se γ é uma curva simples fechada contida no disco aberto unitário D e f(z) é uma função analítica em D, o que voce pode dizer da integral do meio ? Sempre se anula ? A funçãoz → \overline{f(z)} é holomorfa em \overline{D}? Compare com o exercício 1)d) Parte B, Lista 1!

b) Em particular, se γ é o círculo unitário positivamente orientado, mostre que

\overline{∫_{|z|=1} f(z) d z} = − ∫_{|z|=1} \overline{f(z)} \frac{d z}{z^{2}}

Cuidado com a orientação ? Nas duas fórmulas acima o círculo γ está positivamente orientado!!

6) Considere a série dada por

f(z) := ∑_{0}^{∞} \frac{z^{2^{n}}}{1 − z^{2^{n+1}}} := ∑ f_{n}(z)

a) Mostre que f(z) determina uma função holomorfa definida no disco unitário B_{1}(0) mostrando que a série converge normalmente em compactos de B_{1}(0).

b) Mostre que f(z) = \frac{z}{1 − z} . Sugestão: Considere g(z) := f(z) − \frac{z}{1 − z} , mostrando que g(z^{2^{n}}) = g(z).

c) Determine a classe de curvas fechadas γ tais que o valor da integral

∫_{γ} f_{n}(z) dz é não nulo.

7) Seja f uma função contínua num domínio Ω. Seja γ uma curva regular (por partes) parametrizada pelo comprimento de arco s, cujo traço esteja contido em Ω. Seja T o vetor velocidade de γ e seja n um dado campo de vetores normal unitário ao longo de γ. Dizemos que o fluxo ou campo dado por z ↦ f(z) (considerando f(z) como um campo de vetores definido em Ω) é nulo (f é então chamado de fluxless) se (o símbolo · denota o produto escalar no plano)

∫_{γ} f · n ds = 0

para toda curva simples (C^{1} por partes) e fechada γ em Ω. Dizemos que o campo que z ↦ f(z) é conservativo (ou irrotational) se

∫_{γ} f · T ds = 0

para toda curva simples (C^{1} por partes) e fechada γ em Ω.

a) Mostre que se um fluxo ( ou campo) z ↦ f(z) em um domínio Ω é simultaneamente fluxless e conservativo então f(z) é uma função antiholomorfa em Ω. Sugestão: Mostre que

∫_{γ} \overline{f(z)} dz = ∫_{γ} f · T ds + i ∫_{γ} f · n ds

b) Exiba um exemplo de função anti-holomorfa f(z) definida num certo domínio Ω com o campo z ↦ f(z) não sendo simultaneamente fluxless e conservativo.

c) Defina o conceito de um campo ser localmente fluxless e o conceito de ser localmente conservativo e analise se a recíproca da proposição do item a) é verdadeira neste contexto.

8) Seja f(z) uma função holomorfa em |z| < R, R > 1. Calcule de duas maneiras distintas as integrais

∫_{|z|=1}[2 ± (z + \frac{1}{z})] \frac{f(z)}{z}d z,

obtendo as seguintes igualdades

\begin{matrix}\frac{2}{π} ∫_{0}^{2π} f(e^{iθ}) cos^{2} \frac{θ}{2} d θ = & 2f(0) + f′(0) \\ \frac{2}{π} ∫_{0}^{2π} f(e^{iθ}) sin^{2} \frac{θ}{2} d θ = & 2f(0) − f′(0) \end{matrix}

9) Mostre que se f(z) é holomorfa em um aberto que contenha o disco fechado |z| ⩽ 1 então vale

\frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{\overline{f}(z)}{z − a} d z = \{ \begin{matrix}\overline{f}(0) & se |a| < 1, \\ \overline{f}(0) − \overline{f}(1/a) & se |a| > 1, \end{matrix}

Sugestão: Use o exercício 5 b) e a fórmula de Cauchy.

4 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

10) Verifique que

∫_{a}^{b} \frac{d t}{z − it} = i\{log(z − ib) − log(z − ia)\}

onde −∞ < a < b < ∞, ℜz > 0. Conclua que

∫_{a}^{b} \frac{x d t}{x^{2} + (y − t)^{2}} = arctan (\frac{y − a}{x}) − arctan (\frac{y − b}{x}) .

11) Calcular a) ∫_{γ} z d z

b) ∫_{γ} zd z

c) ∫_{γ} ℜz d z onde γ é o caminho poligonal 0 → (1 + i) → 2.

12) Calcule a integral ∫_{γ} z^{α} d z, α ∈ ℂ, nos seguintes casos:

a) γ é o semi-círculo indo de 1 à −1 no semi-plano superior (ou Im z ⩾ 0).

b) γ é o semi-círculo indo de 1 à −1 no semi-plano inferior.

c) γ é o círculo de centro 0 e raio 1. Resp: \frac{2i}{α + 1} sin(α + 1)π, se α ≠ −1, 2πi, se α = −1. Para qual ramo de z^{α} vale esta resposta ? Para que valores de α temos o valor 0 ?

13) Mostre com todos os detalhes que

|∫_{γ} \frac{dz}{z^{4} + 1}| ⩽ \frac{2πR}{R^{4} − 1}

onde γ é o círculo |z| = R, R > 1.

14) Sabendo-se que ∫_{γ} \frac{dz}{z} = 2πi, se γ é uma curva simples fechada positivamente orientada ( e portanto de índice 1) verifique às seguintes fórmulas

a) ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{a^{2} cos^{2} t + b^{2} sin^{2} t} = \frac{2π}{ab} ,

onde o traço de γ é a elipse de equação x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1.

b) ∫_{0}^{2π} \frac{sin^{2} t cos^{2} t}{cos^{6} t + sin^{6} t}dt = \frac{2π}{3}

onde γ descreve o astróide dado por t ↦ cos^{3} t + i sin^{3} t, 0 ⩽ t ⩽ 2π.

15) Calcule

f(a) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{dz}{(z − a)(z − 1/a)}, a ≠ 0, |a| ≠ 1.

Use o resultado acima para calcular

\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} \frac{dt}{1 − 2a cos t + a^{2}} .

Nota cultural matemática:

16) Seja f(z) uma função holomorfa definida num disco de raio R, R > 0 centrado na origem. Suponha que f(0) seja real. Mostre que para 0 < r < R e |z| < r tem-se a fórmula integral de Schwarz

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} ℜf(r e^{it})\frac{r e^{it} +z}{r e^{it} −z} dt

a) Conclua que se g = ℜf então vale a fórmula de Poisson

g(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} g(r e^{it})\frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} dt

b) Escreva a função g do item a) como soma de uma função holomorfa e de uma função anti-holomorfa e re-obtenha que g é harmônica para |z| < r. Sugestão : Escreva

(∗)  \frac{r^{2} − |z|^{2}}{|r e^{it} −z|^{2}} = \frac{r e^{it}}{r e^{it} −z} + \frac{r e^{−it}}{r e^{−it} −\overline{z}} − 1

c) (Desigualdade de Harnack) Seja g(z) uma função harmônica não negativa definida num disco de raio R, R > 0 centrado na origem. Mostre que para 0 < r < R e |z| < r tem-se que

\frac{r − |z|}{r + |z|} · g(0) ⩽ g(z) ⩽ \frac{r + |z|}{r − |z|} · g(0)

Sugestão: Estime o núcleo de Poisson (∗)

d) (Princípio de Harnack) Aplique a desigualdade de Harnack para demonstrar o princípio de Harnack: Seja u_{1} ⩽ u_{2} ⩽ ⋯ uma seqüência crescente de funções harmônicas definidas num domínio Ω. Mostre que ou bem u_{n} → ∞ (n → ∞) uniformemente em compactos, ou bem existe uma função harmônica u em Ω tal que u_{n} → u (n → ∞) uniformemente em compactos de Ω. e) Uma função real contínua f num aberto U ⊂ ℂ é chamada de sub-

harmônica se satisfaz a desigualdade da média, i.e, se o fecho de um disco de raio R e centro p está inteiramente contido em U, então

f(p) ⩽ \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(p + e^{it}) dt

Nota: Uma função f de classe C^{2} é sub-harmônica, sse △f ⩾ 0.

i) Mostre que se g : U → ℂ é harmônica, então f := |g| é sub-harmônica. Será |g| harmônica ?

ii) Mostre que se f : U → IR é harmônica e se φ : IR → IR é uma função não decrescente e convexa então φ ∘ f é sub-harmônica. Sugestão : Aplique a desigualdade de Jensen (veja num livro). Conclua que e^{f} é sub-harmônica e f^{2} é sub-harmônica de f é não negativa em U.

iii) Mostre que se f é holomorfa em U e p > 0 então |f|^{p} é sub-harmônica. Agora suponha que f seja harmônica. Mostre que |f|^{p} é sub-harmônica quando p ⩾ 1.

17) Seja f(z) = ∑_{0}^{∞} a_{n}z^{n} uma série cujo raio de convergência é 1. Suponha que

|f(z)|(1 − |z|) ⩽ 1 para todo z tal que |z| < 1. Mostre que para todo inteiro positivo tem-se que

|a_{n}| ⩽ (1 + \frac{1}{n})^{n} (n + 1) < e(n + 1)

18) Mostre que I(z) = ∫_{|ζ−z_{0}|=R} \frac{1}{ζ − z} dζ satisfaz

\frac{∂I}{∂\overline{z}} (z) = \frac{∂I}{∂z} (z) = 0

concluindo que I(z) não depende de z e que I(z) = 2πi.

19) Seja f uma função contínua no círculo S^{1} = {|z| = 1}. Defina

F (z) = \{ \begin{matrix}f(z) & se |z| = 1, \\ \frac{1}{2πi} ∫_{|z|=1} \frac{f(ζ)}{ζ − z} dζ & se |z| < 1 \end{matrix}

Será F contínua em {|z| ⩽ 1} ? Sugestão: procure um contra-exemplo simples e use a fórmula de Cauchy.

20) Neste exercício você vai trabalhar com ramos de funções multivalentes e integração complexa.

a) Considere a função multivalente

f(z) = \frac{1}{\sqrt{z(z − 1)}}

i) Mostre que pode-se definir um ramo de f(z) no domínio ℂ \ [0, 1]. ii) Usando um resultado dado em sala de aula, calcule a integral

∫_{|z|=2} \frac{1}{\sqrt{z(z − 1)}} dz

b) Idem para f(z) = \frac{1}{\sqrt{21z^{2} − 10z + 1}}, e o contorno |z| = 1.

Para atingir o rigor matemático você precisará aplicar a

fórmula de Newton -Abel, convenientemente. No mesmo espírito, calcule

∫_{|z|=R} \frac{z}{\sqrt{(z − a)(z − b)}} dz

para a, b ∈ ℂ e R suficientemente grande.