INTROD. VCOMPLEXAS- SETEMBRO de 2004–listaI

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: PROPRIEDADES DE FUNÇÕES HOLOMORFAS

1) (Lema de Schwarz) Vamos lembrar o enunciado do Lema de Schwarz. Seja f(z) uma função holomorfa no disco |z| < 1. Suponhamos que

f(0) = 0,  |f(z)| < 1  para |z| < 1.

Mostre que i) |f(z)| ⩽ |z| para |z| < 1. ii) Se vale a igualdade |f(z_{0})| = |z_{0}|, para algum z_{0} ≠ 0, então f(z) =

λz, ∀z, |z| < 1 e |λ| = 1. O que você pode dizer sobre a derivada de f(z) em z = 0?.

a) Mostre que uma equivalência conforme do disco aberto unitário D sobre si mesmo que deixa fixa a origem é uma rotação . Quais destas transformações satisfaz f(a) = 0, para |a| < 1? Mostre que o conjunto de todas as equivalências conformes de D é igual ao conjunto de todas as aplicações de Möbius que preservam D. O quê são estas ( veja exercício 2) c), Lista 3) ?

b) Mostre que o conjunto de todas as equivalências conforme do semi-plano superior aberto H = {Im z > 0} que deixa fixo o ponto i é dado pela família a 1-parâmetro

z ⟶ \frac{z + tan \frac{θ}{2}}{1 − z tan \frac{θ}{2}}

que dependem do parâmetro real θ. Este é na linguagem da teoria dos grupos o sub-grupo de isotropia do ponto z = i do grupo das transformações de Möbius que preservam H.

c) Problemas de extremo: Sejam a e b números complexos tais que |a| < 1 e |b| < 1. Quão grande |f′(a)| pode ser se f está sujeita às condições f(z) é holomorfa, ∥f∥_{∞} ⩽ 1 e f(a) = b? Resp :|f′(a)| ⩽ \frac{1 − |b|^{2}}{1 − |a|^{2}} . Quando é que vale a igualdade ?

Suponha também que f (\frac{1}{2}) = 0. Maximize |f (\frac{3}{4})| . Para quais funções

f o máximo é atingido ? Resp :\frac{2}{5}. Agora dentre todas as funções holomorfas e

limitadas por 1 no disco unitário aberto D, mostre que max |f′ (\frac{1}{3})| é assumido

quando f (\frac{1}{3}) = 0. Para que funções este máximo é assumido?

2) Seja A um conjunto aberto em ℂ e seja γ uma curva seccionalmente C^{1} em ℂ. Suponha que φ : [γ] × A → ℂ é contínua e defina g : A → ℂ por

g(z) = ∫_{γ} φ(z, w)dw.

Mostre que

a) g é contínua.

b) Se \frac{∂φ}{∂z} existe para cada (w, z) ∈ [γ] × A e é contínua, então g é analítica

e

g′(z) = ∫_{γ} \frac{∂φ}{∂z}dw

c) Suponha que φ é contínua em [γ]. Use o exercício anterior para mostrar

que

g(z) = ∫_{γ} \frac{φ(w)}{w − z} dw

é analítica em ℂ \ [γ] e que

g^{(n)}(z) = n! ∫_{γ} \frac{φ(w)}{(w − z)^{n+1}} dw

3) Caracterizações das funções racionais

a) Seja f uma função inteira tal que para r > 0, α ∈ (0, 1) e para b ∈ IR^{+}, apropriados tem-se que

|f(z)| ⩽ a + b|z|^{α}, se |z| > r

Mostre que f é uma constante b) Seja f uma função inteira tal que ℜf ⩾ 0. Mostre que f é uma função

constante.

c) Seja f uma função inteira. Suponha que existe M ⩾ 0, α ⩾ 0, r ⩾ 0,

tais que

|f(z)| ⩽ M|z|^{α}, |z| > r

Mostre que f é um polinômio de grau N ⩽ α.

d) (Fazer após o estudo das singularidades isoladas de uma função holomorfa) Seja f uma função inteira; se lim_{|z|→∞} |f(z)| = L existe (finito ou infinito), mostre que f é um polinômio.

e) (Fazer após o estudo das singularidades isoladas de uma função holomorfa) Seja f uma função meromorfa em ℂ tendo um número finito de polos. Se lim_{|z|→∞} |f(z)| = L existe (finito ou infinito), então f(z) é uma função racional de z (isto é quociente de dois polinômios). Sugestão: Considerar os casos 0 < L ⩽ ∞ e L = 0, separadamente.

4) Seja f(z) = z(z − 1)(z − 2). Mostre que o máximo de f em |z| ⩽ 1 é atingido no círculo |z| = 1 e vale 6.

5) Mostre que sup \{| sin z|; |ℜz| ⩽ π, | Im z| ⩽ π\} = \sqrt{1 + sinh^{2} π}. Em que pontos este máximo é atingido?

6) Seja f uma função holomorfa não constante definida em |z| < R; coloquemos M(r) = sup_{|z|=r} |f(z)| com 0 ⩽ r < R. Mostre que M : [0, R) → [0, ∞) é

estritamente crescente.

7) Seja f uma função holomorfa não constante definida que está para |z| > R (R ⩾ 0) tal que c = lim_{|z|→∞} |f(z)| existe; para r > R define-de M(r) como no exercício precedente. Mostre que

M(r) = sup_{|z|⩾r} |f(z)|

e M : [R, ∞) → [0, ∞) é estritamente decrescente.

8) Seja f um polinômio de grau n; seja M(r) como no exercıcio 31). Mostre que

para 0 < r < s

\frac{M(r)}{r^{n}} ⩾ \frac{M(s)}{s^{n}}

sendo que a igualdade vale ⇔ f(z) é da forma a z^{n}. Sugestão: Aplique o exercício anterior na função g dada por g(z) = f(z)/z^{n}.

∗  ∗  ∗

Nota cultural matemática: O lema de Schwarz tem muitas aplicações na teoria de aplicações conformes.

Também tem aplicações na moderna teoria da Dinâmica Complexa. Seja f(z) uma função holomorfa no disco aberto B_{1}(0), satisfazendo ℜf(z) > 0, e f(0) = 1. Mostre que

\frac{1 − |z|}{1 + |z|} ⩽ |f(z)| ⩽ \frac{1 + |z|}{1 − |z|}

Dê exemplos explícitos de tais f(z). O que você pode dizer da família F de funções que satisfazem as hipóteses acima, F é normal ? O que acontece se relaxamos nas hipóteses acima, colocando ℜf(z) ⩾ 0 ?

Seja f(z) uma função limitada no disco B_{1}(0). Suponha que |f(z)| ⩽ 1, ∀z ∈ B_{1}(0). Mostre que

\frac{|f′(z)|}{1 − |f(z)|^{2}} ⩽ \frac{1}{1 − |z|^{2}}

Seja f(z) uma função limitada no disco B_{1}(0). Suponha que |f(z)| ⩽ 1, ∀z ∈ B_{1}(0). Suponha que a_{1}, a_{2}, …, a_{n}, sejam zeros de f(z). Mostre que

|f(z)| ⩽ ∏_{k=1}^{n} |\frac{z − a_{k}}{1 − \overline{a_{k}}z} |

em particular conclua um caso particular da fórmula de Jensen

|f(0)| ⩽ ∏_{k=1}^{n} |a_{k}|

Seja f uma função inteira, verificar

f(z) − f(0) = \frac{z}{2πi} ∫_{γ_{R}} \frac{f(w)}{w(w − z)} dw se |z| < R

onde γ_{R}(t) = Re^{it}, 0 ⩽ t ⩽ 2π e R > 0. Deduzir que, para |z| < R,

|f(z) − f(0)| ⩽ \frac{|z|R}{2π(R − |z|)} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt

Concluir que se

sup_{R>0} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt < ∞

então f é uma constante. ( Note que isto generaliza o teorema de Liouville; este raciocínio é devido a Cauchy e é anterior ao enunciado do teorema de Liouville). Continuando o exercício precedente mostre que se f é uma função inteira e se

lim_{R→∞} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt = 0

entâo f é uma constante. O mesmo se

lim sup_{R→∞} \frac{1}{R} ∫_{0}^{2π} |f(Re^{it})| dt < ∞

mostrar que f(z) é da forma a + bz, onde a, b são constantes complexas. Seja f uma função inteira; se

I = ∫∫_{IR_{2}} |f(x + iy)|dxdy < ∞

mostrar que f ≡ 0, utilizando os seguintes raciocínios:

∫∫_{IR_{2}} |f(x + iy)|dxdy = 2π ∫_{0}^{∞} r M_{1}(r)dr onde

M_{1}(r) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(re^{it})|dt.

Se inf_{t} |re^{it} − z| ⩾ 1, |z| < r, r > 1 então obtém-se |f(z)| ⩽ r M_{1}(r), escrevendo

f(z) = \frac{1}{2π} ∫_{γ_{r}} \frac{f(w)}{w − z} dw

onde γ_{r}(t) = re^{it}, 0 ⩽ t ⩽ 2π.

Do item b) deduzir que se lim inf_{r→∞} r M_{1}(r) = 0 então f ≡ 0.

Do item a) deduzir que lim_{r→∞} r M_{1}(r) = 0 se I < ∞.

Seja f uma função holomorfa definida num domínio Ω que contém o disco unitário fechado, isto é, {|z| ⩽ 1} ⊂ Ω. O que você pode dizer de f se f satisfaz: |f(z)| = 1, se |z| = 1? (Observação : Não darei sugestões neste exercício de propósito para você testar a sua força!). Seja f(z) = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}z^{n}, |z| < R. Coloquemos u = ℜf, v = Im f. Mostre que para 0 < r < R, n = 1, 2, …

c_{n} = \frac{1}{πr^{n}} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it})e^{−int} dt = \frac{i}{πr^{n}} ∫_{0}^{2π}v(r e^{it})e^{−int} dt.

Deduzir que se f é real sobre o círculo |z| = r, 0 < r < R, então f é uma constante real em |z| < R. Observação : Para ser lida após o princípio de reflexão de Schwarz. Tente dar outra demonstração mais elegante utilizando o princípio de reflexão de Schwarz, combinado com o teorema de Liouville ou o princípio do máximo!! (Generalização do Teorema de Liouville.) Continuação do exercício anterior: Seja A(r) = sup_{|z|=r}{ℜf(z)}.

Estabeleça que

ℜc_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}u(r e^{it}) dt,

deduza do exercício anterior que para n = 1, 2, …, 0 < r < R,

|c_{n}|r^{n} + 2ℜc_{0} ⩽ \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π}\{|u(r e^{it})| + u(r e^{it})\} dt.

Conclua que para n = 1, 2, …, 0 < r < R,

|c_{n}|r^{n} ⩽ max{4A(r), 0} − 2ℜf(0).

Use o que foi feito antes para mostrar o seguinte: se f é uma função inteira e se A(r) < Mr^{α}, para r > R e M, α > 0 dados então f é um polinômio de grau n ⩽ α. Em particular, mostre que se A(r) é limitada superiormente então f é constante (Veja o ex. 6) ).

(Princípio de reflexão de Schwarz) O princípio de reflexão de Schwarz tem muitas aplicações na teoria das transformações conformes, como por exemplo na fórmula de Schwarz- Christoffel.

Deduza a versão do princípio de reflexão de Schwarz quando o círculo |z| = 1 substitue IR. Faça o mesmo para círculos quaisquer. Sugestão: Use uma transformação de Möbius conveniente. Mostre que se f(z) é inteira e real no eixo real, imaginário puro no eixo imaginário, então f(z) é impar. Se f(z) é inteira e satisfaz |f(z)| = 1, para |z| = 1, o que você pode dizer sobre f ? Por outro lado, se f leva o disc unitário B_{1}(0) em si mesmo e satisfaz |f(z)| = 1, para |z| = 1, o que você pode dizer sobre f ? Mostre que uma transformação conforme w = f(z) que leva o disco unitário B_{1}(0) sobre a esfera de Riemann ℂ ∪ {∞}, cortada ao longo do raio −∞ ⩽ w ⩽ \frac{−1}{4}, pode ser estendida para além do círculo |z| = 1, satisfazendo a relação

f(z) = \overline{f (\frac{1}{\overline{z}})}

além disso, mostre que w = f(z) leva a esfera de Riemann sobre a esfera de Riemann recoberta duas vezes (de grau 2); logo conclua que deve ser uma função racional com dois pólos. Com a normalização f(0) = 0 e f′(0) > 0, mostre que f(z) = \frac{z}{(1 − z)^{2}} é a função de Koebe.

e) Mostre que uma função holomorfa w = f(z) que leva a bola |z| < 1, sobre a bola |w| < 1, recoberta n vezes tem que ser uma função racional com n pólos.

Usando a teoria de produtos infinitos (veja na lista 6)) é possível mostrar a partir da desigualdade acima que se f(z) ≢ 0 é uma função holomorfa limitada definida no disco unitário aberto B_{1}(0), e se a_{1}, a_{2}, … é a seqüência de zeros de f(z) então tal seqüência satisfaz a condição de Blaschke

∑(1 − |a_{n}|) < ∞

(Princípio de subordinação ). Note as seguintes aplicações do princípio de subordinação que, essencialmente, é uma forma do Lema de Schwarz (assim, se você conhece bem o Lema de Schwarz, deverá poder fazer os exercícios abaixo).

Mostre que se f(z) é holomorfa no disco aberto B_{1}(0), e satisfaz −1 < IRf(z) < 1, então se f(0) = 0, segue que f(z) satisfaz

|f′(0)| ⩽ \frac{4}{π}

sendo a igualdade satisfeita apenas pela função \frac{4}{π} arctan(λz), onde |λ| = 1. Além disso, mostre que

|f(z)| ⩽ \frac{2}{π} log \frac{1 + r}{1 − r} , |z| = r < 1

Seja F (z) uma função meromorfa univalente no disco B_{1}(0), com seguinte expansão

F (z) = \frac{1}{z} + a_{0} + a_{1}z + ⋯

em B_{1}(0). Suponha que F (z) leva B_{1}(0) num certo domínio Ω. Seja f(z) uma função holomorfa no disco perfurado B_{1}(0) \ {0}, com expansão

f(z) = \frac{α}{z} + b_{0} + b_{1}z + ⋯

em B_{1}(0) \ {0}. Mostre que se f(z) leva B_{1}(0) em Ω, então |α| ⩾ 1.

Seja f(z) uma função holomorfa no disco perfurado B_{1}(0)\{0}, com expansão

f(z) = \frac{α}{z} + b_{0} + b_{1}z + ⋯

Mostre que se f(z) leva B_{1}(0) em ℂ \ (a, b), (com a, b reais e a < b) então |α| ⩾ \frac{b − a}{4}. Sugestão : Você terá que encontrar uma função meromorfa univalente que leva o disco B_{1}(0) conformemente sobre a esfera de Riemann ℂ ∪ {∞} cortada ao longo do segmento [a, b].