INTROD. VCOMPLEXAS- SETEMBRO de 2004–listaJ

Professor: Ricardo Sá Earp

PARTE A: DESENVOLVIMENTO DE LAURENT E RESÍDUOS

Observe as seguintes técnicas de desenvolvimento de Laurent:

• \frac{1}{(z − a)(z − b)}, para 0 < |a| < |z| < |b|.

\frac{1}{(z − a)(z − b)} = \frac{1}{a − b} [⋯ + \frac{a^{2}}{z^{3}} + \frac{a}{z^{2}} + \frac{1}{z} + \frac{1}{b} + \frac{z}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{b^{3}} + ⋯]

A mesma função para |z| > b.

\frac{1}{(z − a)(z − b)} = \frac{1}{b − a} [\frac{b − a}{z^{2}} + \frac{b^{2} − a^{2}}{z^{3}} + \frac{b^{3} − a^{3}}{z^{4}} + ⋯]

•• e^{\frac{1}{z−1}} para |z| > 1. Escreva ( fazendo \frac{1}{z} = z′)

e^{\frac{1}{z−1}} = e^{\frac{z′}{1−z′}} = ∑_{n=0}^{∞} c_{n}z′ = ∑_{n=0}^{∞} \frac{c_{n}}{z^{n}}

onde

c_{n} = ∑_{k=1}^{n} \frac{\binom{n−1}{k−1}}{k!}

• • • \sqrt{(z − 1)(z − 2)}, para |z| > 2. Onde o ramo da raiz quadrada está escolhido de forma que seja positivo para z = x real x > 2. Note que usando o desenvolvimento binomial de Abel

[c_{0}z − c_{1} + \frac{c_{2}}{z} − \frac{c_{3}}{z^{2}} + ⋯] ,

Onde ( colocando α = 1/2)

c_{n} = \binom{α}{n} + 2\binom{α}{n − 1}\binom{α}{1} + 2^{2}\binom{α}{n − 2}\binom{α}{2} + ⋯ + 2^{n}\binom{α}{n}.

1) Expanda as funções abaixo em suas séries de Laurent, justificando todos os passos.

a) \frac{e^{z}}{(1 − z)}, para |z| < 1. Sugestão: Seja ∑_{n⩾0} a_{n}z^{n} o desenvolvimento de Laurent (Taylor) da função dada (por quê ?). Use a fórmula de multiplicação de séries para calcular a_{n} mostre que

a_{n} = (1 + ⋯ + \frac{1}{n!}) , n ⩾ 1, a_{0} = 1

b) \frac{1}{z^{2} + 1}, para 0 < |z − i| < 2. Resp.

\frac{1}{z^{2} + 1} = \frac{−i/2}{(z − i)} + ∑_{n⩾0} \frac{1}{4} (\frac{i}{2})^{n} (z − i)^{n}

c) Considere a função

f(z) = \frac{1}{1 − z} e^{1/z}

i) Escreva o desenvolvimento de Laurent de f(z) em {|z| > 1}, justificando cada passo de seus cálculos. Encontre o resíduo de f(z) no ∞.

ii) Idem para o desenvolvimento de Laurent de f(z) no anel {0 < |z| <

1}.

d) Para cada uma das funções f(z) dada nos itens a) a c) acima calcule

∫_{γ} \frac{f(z)}{(z − a)^{n}} dz

onde a é uma singularidade isolada de f(z) e γ é uma curva simples fechada envolvendo tal singularidade de f(z) ( e não envolvendo outra singularidade de f(z))

2)

a) Seja f(z) = \frac{e^{iz}}{z(z^{2} + 1)^{2}} . Justifique o fato que f é uma função meromorfa e que tem polo duplo em z = i. Escreva o desenvolvimento de Laurent de f numa vizinhança de z = i. Mostre que Res(f, i) = \frac{−3}{4e}.

b) Calcule os resíduos de f(z) = \frac{1}{z^{6} + 1} em cada um de seus polos.

3) Seja λ ∈ ℂ e mostre que

exp \{\frac{1}{2}λ (z + \frac{1}{z})\} = a_{0} + ∑_{n=1}^{∞} a_{n} (z^{n} + \frac{1}{z^{n}} )

para 0 < |z| < ∞, onde para n ⩾ 0

a_{n} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} e^{λ cos t} cos nt dt.

4)

a) Encontre os desenvolvimentos de Laurent e os resíduos das funções abaixo,

numa vizinhança perfurada de cada singularidade.

i) f(z) = \frac{1}{1 − cos z} .

ii) = \frac{2 + 3z}{1 − e^{z}} .

iii) \frac{z − 1}{z^{5} − 1}.

iv) \frac{e^{iaz}}{4 + z^{2}} .

v) (neste exemplo restrinja-se às singularidades contidas no semi-plano superior)

\frac{(log z − log 2 − \frac{iπ}{2} )^{2}}{4 + z^{2}}

onde o ramo do logaritmo está tomado retirando-se o semi-eixo imaginário negativo, com o argumento variando entre −π/2 e 3π/2.

vi) (neste exemplo restrinja-se às singularidades contidas no semi-plano superior)

\frac{log z − log 2 − iπ/2}{(z^{2} + 4)^{2}}

onde tomamos o mesmo ramo do exemplo anterior.

b) Para cada um dos exemplos dado nos itens i) a vi) do item a) acima,

calcule

∫_{γ} \frac{f(z)}{z^{2003}} dz

onde γ é uma curva simples fechada positivamente orientada, em torno de uma singularidade de f(z), sem passar por uma singularidade de f(z), com γ bordando um domínio Ω, de maneira que \overline{Ω} contém apenas uma única singularidade de f(z).

c)

i) Calcule

∫_{|z|=1} \frac{log(z + 1)}{z^{n}} dz, n ⩾ 1

ii) Deduza da fórmula acima uma fórmula para o cálculo de certas in-

tegrais reais.

5) Considere a função

f(z) = \frac{1}{1 − z} e^{1/z}

a) Obtenha o desenvolvimento de Laurent de f(z) no anel |z| > 1.

b) Obtenha o desenvolvimento de Laurent de f(z) no anel 0 < |z| < 1. Calcule o resíduo, e em seguida avalie a integral

∫_{|z|=1/2} \frac{f(z)}{z^{2003}} dz

6) Escreva o desenvolvimento de Laurent de

f(z) = e^{1/(z−1)}

para |z| > 1. Em seguida calcule

∫_{|z|=11^{10^{10}}} \frac{e^{1/(z−1)}}{z^{11}} dz

Idem para

∫_{|z|=11^{10^{10}}} e^{1/(z−1)} z^{9} dz

7) Escreva o desenvolvimento de Laurent de

f(z) = (log \frac{z}{z − 1})^{2}

para |z| > 1. Em seguida calcule

∫_{|z|=2} (log \frac{z}{z − 1})^{2} dz

Nota cultural matemática:

7) Dizemos que uma função f(z) definida no anel |z| > r, r > 0 é “holomorfa no infinito”se, fazendo uma mudança de variáveis z = 1/z′ a função se expressa como uma função holomorfa em z′ para |z′| < 1/r. Da mesma maneira uma função f(z) será meromorfa no infinito se esta pode se expressar como uma função meromorfa de z′ numa vizinhança de z′ = 0. Finalmente uma função holomorfa para |z| > r, r > 0 admite o ponto do infinito como singularidade essencial se a função f(1/z′) tem uma singularidade essencial na origem. Determine o tipo de singularidade das funções abaixo e escreva o desenvolvi-

mento de Laurent em torno de cada singularidade. a) \frac{z^{2} + 4}{e^{z}}, em z = ∞. Resp. Singularidade essencial.

b) \sqrt{(z − 1)(z − 2)}, em z = ∞. Resp. Os dois ramos têm um polo simples.

c) cos z − sin z, em z = ∞.

d) sin \frac{1}{1 − z}, em z = ∞. Resp. A função é regular e tem um zero simples lá.

e) Dê exemplos de funções meromorfas em {|z| > r, r > 0} que possuem o infinito como ponto limite (de acumulação ) de polos simples.

f) sin \frac{1}{1 − z}, em z = 1. Resp. Singularidade essencial.

g) \frac{1}{1 − e^{z}}, em z = 2πi. Resp. Polo simples com resíduo −1.

h) \frac{1}{sin z − cos z} em z = \frac{π}{4} . Resp. Polo simples com resíduo \frac{1}{2}\sqrt{2}.

8) Suponha que no ponto z_{0}, a função f_{1}(z) tem um zero de ordem α, e que a função f_{2}(z) tem um polo de ordem β(α > 0, β > 0). Que tipo de ponto é z_{0} para

a) f_{1} ± f_{2}

b) f_{1} · f_{2}

c) \frac{f_{1}}{f_{2}}

d) \frac{f_{2}}{f_{1}}

9) Determine os resíduos das funções abaixo e encontre a parte principal da série de Laurent em torno de cada singularidade.

a) \frac{1}{sin z} em z = kπ, k = 0 ± 1 ± 2, …. Resp. (−1)^{k}

b) \frac{z}{(z − 1)(z − 2)^{2}} em z = +1 e em z = +2. Resp. Res(f, 1) = 1, Res(f, 2) = −1.

c) \frac{a}{(z − z_{1})^{m}(z − z_{2})} em z_{1} e z_{2}, z_{1} ≠ z_{2} (a ≠ 0, m ∈ IN) Resp. Res(f, z_{1}) =

\frac{−a}{(z_{2} − z_{1})^{m}} , Res(f, z_{2}) = \frac{a}{(z_{2} − z_{1})^{m}} .

d) (1 − e^{−z})^{−n} , em z = 0.

e) \frac{1 + z}{(1 + z + z^{2})^{2}} .

10) Suponha que f(z) tenha uma singularidade isolada em z = a e suponha que f(z) ≢ 0. Suponha que exista s ∈ IR tal que uma das seguintes equações vale

\begin{matrix}lim_{z→a} |z − a|^{s}|f(z)| = & 0 \\ lim_{z→a} |z − a|^{s}|f(z)| = & ∞ \end{matrix}

a) Mostre que existe um inteiro m tal que a primeira equação vale se s > m, e a segunda equação vale se s < m.

b) m = 0, se z = a é uma singularidade artificial e f(a) ≠ 0.

c) m < 0, se z = a é uma singularidade artificial e f tem um zero em z = a de ordem −m.

d) m > 0, se z = a é um polo de f de ordem m.

e) Se z = a é uma singularidade essencial de f então nenhuma das equações

acima vale para algum s ∈ IR.

11) Seja f uma função holomorfa definida em um domínio perfurado (“punctured”) Ω^{∗} := Ω \ {p}, onde Ω é um domínio e p ∈ Ω. A finalidade deste exercício é mostrar que se

(∗)  ∫_{Ω^{∗}} |f(z)|^{2} dx dy < ∞

então f se estende holomorficamente a todo Ω. a) Mostre de duas maneiras distintas que, supondo p = 0 (sem perda de

generalidade), se g é holomorfa em Ω e B_{r}, a bola de raio r e centro 0, satisfaz \overline{B_{r}} ⊂ Ω, então

|g(0)|^{2} ⩽ \frac{1}{πr^{2}} ∫_{B_{r}} |g(z)|^{2} dx dy

Sugestão : A primeira maneira de demonstrar a desigualdade acima é aplicar diretamente a identidade de Parseval (veja Lista4, Parte B, exerc. 4) ). A segunda maneira usa apenas a fórmula de Cauchy aplicada à função g^{2}(z).

b) Use a estrutura da demonstração do item a) para mostrar que f no enunciado, i. e satisfazendo (∗) não tem singularidade essencial na origem.

c) Mostre que ∫_{Ω^{∗}} |f(z)|^{2} dx dy = ∞, se f tem um pólo na origem.

12) Seja f uma função holomorfa no disco perfurado D^{∗} = {|z| < 1}\{0}. Mostre que a função

M(r) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}f(r e^{it}) dt 0 < r < 1

é uma constante que não depende de r. Sugestão : Use o desenvolvimento de Laurent na origem.

13) O que você pode dizer de uma função holomorfa f(z) num perfurado centrado na origem e que satisfaz uma das condições abaixo ?

a) |f(z)| ⩾ c\frac{e^{a/|z|}}{|z|^{n}} , n ∈ IN, c > 0, a ⩾ 0

b) |f(z)| ⩽ \frac{1}{|z|^{7/2}} .

14) Considere a função

f(z) = \frac{1}{(1 − az)(1 − bz)(1 − cz)}

onde a, a, c são números reais distintos e não nulos. Usando obrigatoriamente o teorema dos resíduos calcule o desenvolvimento em somas parciais de f. Em seguida calcule o desenvolvimento de Taylor na origem de f. Calcule o desenvolvimento de Taylor, por outro método efetuando logo o produto. Compare os resultados e obtenha uma fórmula algébrica.

15) Escreva os desenvolvimentos de Laurent das funções abaixo em torno de cada singularidade.

a) f(z) = \frac{1}{(1 − z) (1 − z^{2})}

b) f(z) = \frac{1}{(1 + z^{2}) (1 − z^{2})^{2}}

16) O que você pode dizer sobre uma função harmônica u definida num disco perfurado D^{∗} ? Em particular, discuta detalhadamente o caso em que u está limitada em D^{∗}.

17) Considere

f(z) = \frac{1}{(z^{n} − 1)^{2}}

a) Calcule os resíduos de f(z) nas singularidades, mostrando que os pólos de f são duplos e que

Res(f, a = e^{2kπi/n}) = − e^{2kπi/n} \frac{(n − 1)}{n^{2}}

b) Seja γ uma curva simples fechada contida no exterior do disco fechado de raio 1, i.e [γ] ⊂ ℂ \ \overline{B_{1}(0)}. Mostre que

∫_{γ} f(z) dz = 0

Deduza a integrabilidade de f(z) no domínio ℂ \ \overline{B_{1}(0)}. Deduza uma outra alternativa demonstração deste fato.

c) Seja h(z) uma função inteira. Calcule

∫_{|z−z_{k}|=ϵ} \frac{h(z)}{(z^{n} − 1)^{2}} dz

onde z_{k} é uma singularidade de f(z) e ϵ é tomado suficientemente pequeno. d) Escreva a série de Taylor de f(z) em z = 0.

e) Escreva a série de Laurent de f(z) em z = 1.

18) Considere a função f(z) = \frac{sin(πz) e^{πz}}{πz(1 − z)(1 − z/2) ⋯ (1 − z/n)}.

a) Mostre que existe um bem definido ramo de ^{n} \sqrt{f(z)} na faixa −1 < ℜz < n + 1.

b) Calcule os resíduos da função \frac{\sqrt[n]{f(z)}}{sin(πz)} na faixa dada no item a).