INTROD. VCOMPLEXAS- SETEMBRO de 2004–listaK

Professor: Ricardo Sá Earp

FUNÇÕES MEROMORFAS E CÁLCULO DE INTEGRAIS

Cálculo de integrais via resíduos

a) Verificar

∫_{0}^{2π} \frac{dx}{a + b sin x} = \frac{2π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} , a > b > 0

Fazendo a substituição t = tan (x/2) encontre uma primitiva F (x) para f(x) = \frac{1}{a + b sin x}, x ∈ IR. Resp.

F (x) = \frac{2}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} arctan (\frac{a tan (x/2) + b}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}}) , −π < x < π,

com

F (π) = \frac{π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} ,  f(−π) = \frac{−π}{\sqrt{a^{2} − b^{2}}} ,  F (x + 2π) = f(x), x ∈ IR

b) Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{x^{a−1}}{1 + x} dx = \frac{π}{sin aπ} , 0 < a < 1

considerando a função f(z) = e^{az} / (1 + e^{z}) e o o laço retangular formado pelos segmentos [R, R + 2πi], [R + 2πi, −R + 2πi], [−R + 2πi, −R] e [−R, R]. Sugestão: Faça a transformação x = e^{t} transformando a integral acima em ∫_{−∞}^{∞} f(t) dt. Você saberia calcular usando um outro contorno ? Nota: Observemos que

Γ(a)Γ(1 − a) = \frac{π}{sin πa}

onde Γ(z) é a função Gamma.

2 PROFESSOR RICARDO SÁ EARP

c) Verificar

∫_{0}^{π} \frac{dx}{α + cos x} = \frac{π}{\sqrt{α^{2} − 1}}, α > 1

d)

∫_{0}^{2π} \frac{cos^{2} x}{α + cos x} dx = 2απ (\frac{α}{\sqrt{α^{2} − 1}} − 1) , α > 1

e) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(x^{2} + 1)^{2}} dx = \frac{π}{2}

f) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})} dx = \frac{π}{a + b}, a > b > 0

g) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{(a + bx^{2})^{n}} = \{ \begin{matrix}2π (\frac{a}{b})^{1/2} (2a)^{−n} \frac{1 · 3 ⋯ (2n − 3)}{(n − 1)!} & se n = 2, 3, … \\ \frac{π}{\sqrt{ab}} & se n = 1 \end{matrix}

com a > 0 e b > 0 .

h) Verificar

∫_{−∞}^{∞} \frac{(x + 1) sin 2x}{x^{2} + 2x + 2} dx = \frac{π cos 2}{e^{2}}

i) Verificar

∫_{0}^{∞} \frac{x sin x}{(x^{2} + 1)^{2}} dx = \frac{π}{4e}

j) Verificar

∫_{0}^{∞} \frac{cos ax}{(x^{2} + b^{2})^{2}} dx = \frac{πe^{−ab}(1 + ab)}{4b^{3}}, a > 0, b > 0

k) Estabeleça que a)

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{4}} dx = \frac{π/4}{sin ((α + 1)π/4)} − 1 < α < 3

Sugestão: Integre f(z) = z^{α}(1 + z^{4})^{−1} sobre γ_{1}γ_{2}γ_{3}γ_{4} onde γ_{1} é o segmento real [r, R] (0 < r < R), γ_{2} é o quarto de círculo (centrado em zero) de R à iR, γ_{3} é o segmento [iR, ir] e γ_{4} é o quarto de cırculo (centrado em zero) de ir à r (sendo z^{α} a determinação principal). Se I_{j} = ∫_{γ_{j}} f(z)dz, mostre que I_{2} → 0 quando R → ∞ e I_{4} → 0 quando r → 0. Além disto mostre que I_{3} = −i^{α+1}I_{1}. Deduza que

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{β}} dx = \frac{π/β}{sin ((α + 1)π/β)} β > 0, −1 < α < β − 1

fazendo a substituição y = x^{β/4}. Conclua que

∫_{0}^{∞} \frac{1}{1 + x^{n}} dx = \frac{π/n}{sin (π/n)} n = 2, 3, 4, …

b) Usando um novo contorno contido num setor de ângulo 2πγ/n apropriado, mostre novamente que

∫_{0}^{∞} \frac{1}{1 + x^{n}} dx = \frac{π/n}{sin (π/n)} n = 2, 3, 4, …

c) Fazendo uma ligeira variação do método do item b) acima, conclua que se n é um inteiro e se α é um número real tal que n > α + 1 > 0, então

∫_{0}^{∞} \frac{x^{α}}{1 + x^{n}} d x = \frac{π/n}{sin \frac{(α + 1)π}{n}}

d) Quando n = 2p é par use obrigatoriamente um contorno retangular no semi-plano superior para calcular

∫_{0}^{∞} \frac{x^{m}}{1 + x^{2p}} d x

l) Verificar por dois métodos distintos que que

I_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{cos nθ}{1 − 2a cos θ + a^{2}} dθ = \{ \begin{matrix}\frac{2πa^{n}}{1 − a^{2}} & se |a| < 1 \\ \frac{2πa^{−n}}{a^{2} − 1} & se |a| > 1 \end{matrix}

onde n = 0, 1, 2, …, a ∈ IR. Sugestão (método não clássico) : Observe que

1 − 2a cos θ + a^{2} = (a − e^{iθ})(a − e^{−iθ})

e que

I_{n} = ∫_{−π}^{π} \frac{e^{inθ}}{(a − e^{iθ})(a − e^{−iθ})} dθ = ∫_{γ} \frac{z^{n}}{(a − z)(a − z^{−1})} \frac{dz}{iz}

onde γ(θ) = e^{iθ}, −π ⩽ θ ⩽ π. Utilizar em seguida a fórmula de Cauchy.

m) Vamos considerar agora integrais do tipo

∫_{0}^{∞}R(x) ln x d x  (∗)

onde R(x) é uma função racional sem pólos sobre o semi-eixo real {IRz > 0}, satisfazendo lim_{x→∞} xR(x) = 0.

i) Mostre que a condição logo acima garante a convergência da integral (∗). A idéia é integrar a função R(z) (log z)^{2} , no contorno apropriado, obtendo pelo teorema dos resíduos

∫_{0}^{∞}R(x)(log(x))^{2} d x−∫_{0}^{∞}R(x) (log(x) + 2πi)^{2} d x = 2πi ∑ Res (R(z) (log z)^{2})

ii) Dê uma demonstração rigorosa da equação logo acima. Mostre também que quando R(z) for real, isto é, quando z = x ∈ IR ⇒ R(x) é real, se

pode calcular simultaneamente as integrais ∫_{0}^{∞}R(x) d x, e ∫_{0}^{∞}R(x) ln x d x,

iii) Calcule

∫_{0}^{∞} \frac{ln x}{(1 + x)^{4}} d x

iv) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{12 ln x}{x^{4} + x^{2} + 1} d x = −π^{2}

v) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{16 ln x}{(x + 1)(x^{2} + 1)} d x = −π^{2}

n) Você pode ser inspirar nos exercícios acima para calcular as seguintes integrais i)

∫_{0}^{∞} \frac{2\sqrt{2} ln x}{\sqrt{x} (1 + x^{2})} d x = −π^{2}

ii)

∫_{0}^{∞} \frac{−π\sqrt{2}}{\sqrt{x} (1 + x^{2})} d x = −π^{2}

m) Resuma o estudo de exercícios precedentes, verificando que

I = ∫_{0}^{∞} \frac{log x}{x^{λ}(1 + x)} dx = \frac{π^{2} cos λπ}{(sin λπ)^{2}} 0 < λ < 1

integrando f(z) = log z/ (z^{λ}(1 + z)) ao longo do contorno apropriado, com as seguintes determinações : se z = |z| e^{iθ}, 0 ⩽ θ < 2π,

log z = log |z| + iθ, z^{λ} = exp(λ log z)

Note que esta não é a determinação principal, mas dá para z = x > 0 o valor x^{a−1} = exp ((a − 1) log x) . Seja ln z a determinação principal do logaritmo:

i) Mostre que

(x + iε)^{a−1} = exp{(a − 1) ln(x + iε)}
(x − iε)^{a−1} = exp{(a − 1) ln(x + iε) + 2πi}

Conclua que

ii) lim_{{ε→0 \atop ε>0}}(x + iε)^{a−1} = x^{a−1}, lim_{{ε→0 \atop ε>0}}(x − iε)^{a−1} = x^{a−1} e^{2πai}. Mostre que a

convergência é uniforme em todo intervalo compacto [b, c], 0 < b < c.

0) Mostre que

∫_{0}^{∞} \frac{d x}{(bx^{4} + 2ax^{2} + 1)} = \frac{π}{2\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{a + \sqrt{b}}}

p) Mostre que a expansão de Taylor de h(z) = \sqrt{a + \sqrt{1 + z}}, para z numa vizinhança da origem é dada por

h(z) = \sqrt{1 + a} + \frac{1}{π\sqrt{2}} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k−1}}{k} N(a; k − 1)z^{k}

onde N(a; k − 1) := ∫_{0}^{∞} \frac{d x}{(x^{4} + 2ax^{2} + 1)^{k}}

q) a) Generalize certo procedimento usado acima para calcular

∫_{0}^{∞}x^{a−1}q(x) dx, 0 < ℜa < 1

onde q(x) é uma função racional que não tem pólos sobre o eixo real positivo, incluindo a origem; assumindo que o grau do denominador de q é maior que o grau do numerador. Você saberia de outro método para calcular tais integrais ?

r) Mostre que

∫_{0}^{∞}(\frac{sin x}{x})^{4} dx = π/3

Sugestão : Verifique a relação de Euler: sin^{4} x = sin(4x)/8 − 3 cos(2x)/16. Utilize um contorno no semi-plano superior delimitando um semi-anel. Tente obter o mesmo resultado, aplicando integração por partes e usando o resultado conhecido

∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx = π/2

Nota cultural matemática:

Representação de funções holomorfas por integrais:

Para estudar a representação por integrais é preciso do seguinte resultado básico. Seja Ω um aberto não vazio de ℂ, I um intervalo qualquer de IR e g : Ω × I → ℂ uma função contínua ( na verdade basta “mensurável” ) tal que:

i) z ↦ g(z, t) é holomorfa em Ω para cada t ∈ I ii) Existe uma função não negativa M : I → IR^{+} ∪ ∞ (“integrável”) tal que

|g(z, t)| ⩽ M(t), t ∈ I, para todo z ∈ Ω com

∫_{I} M(t) dt < ∞

Então a função f definida por

f(z) = ∫_{I} g(z, t) dt  (∗)

é holomorfa em Ω; além disto

f^{(k)}(z) = ∫_{I} g^{(k)}(z, t) dt  ∀z ∈ Ω  (∗∗)

onde g^{(k)}(z, t) é igual à \frac{∂^{k}g}{∂z^{k}} (z, t), k = 1, 2, … Se γ é uma curva C^{1} por partes em Ω, então

∫_{γ} f(z) dz = ∫_{I} {∫_{γ} g(z, t) dz} dt  (∗ ∗ ∗)

A demonstração do resultado acima é clássica. Depende da aplicação sucessiva dos seguintes teoremas: Teorema da convergência dominada de Lebesgue (para mostrar que f(z) é contínua em Ω) , teorema de Fubini (para mostrar que as integrais iteradas no segundo membro de (∗ ∗ ∗) não dependem da ordem da integração , mostrando assim a igualdade em (∗ ∗ ∗)), teorema de Morera (que depende de (∗ ∗ ∗)) e fórmula de Cauchy local (para mostrar (∗∗)).

1) Mostre o seguinte corolário do resultado acima, usando o fato que holomorfia é uma propriedade local: Seja Ω um aberto não vazio de ℂ, I um intervalo compacto de IR e g : Ω × I → ℂ uma função contínua tal que z ↦ g(z, t) é holomorfa em Ω para cada t ∈ I; então f definida por (∗) é holomorfa em Ω e (∗∗), (∗ ∗ ∗) são verificadas.

2) Mostre a igualdade

∫_{0}^{2π} \frac{dt}{1 + z sin t} = \frac{2π}{\sqrt{1 − z^{2}}}

se z ∈ Ω = ℂ \ ((−∞, −1) ∪ [1, ∞)). Sugestão: Mostre que se f(z) é o termo à esquerda e h(z) o termo à direita então ambas as funções são holomorfas em Ω ( use o resultado no item a) para mostrar que f é holomorfa em Ω).

3) Mostre que

∫_{−∞}^{∞} exp(zt − αt^{2}) dt = (\frac{π}{α})^{1/2} e^{z^{2}/4α}, z ∈ ℂ, α > 0

Deduza a seguinte bem conhecida fórmula:

∫_{−∞}^{∞} e^{−u^{2}} du = \sqrt{π}

Em particular, obtenha a transformada de Fourier de t ↦ e^{−αt^{2}}

∫_{−∞}^{∞} e^{−αt^{2}} e^{−ipt} dt = (\frac{π}{α})^{1/2} e^{−p^{2}/4α}

Sugestão: Seja f(z) o membro à esquerda da igualdade acima. Mostre que para ℜz < a tem-se que

| exp(zt − αt^{2})| ⩽ exp(at − αt^{2}), t ∈ IR

e

∫_{−∞}^{∞} exp(at − αt^{2}) dt < ∞

para a ∈ IR, α > 0. Aplique o resultado no item a) para mostrar que f(z) é uma função holomorfa no semi-plano aberto ℜz < a, daí conclua que f(z) é uma função inteira. Mostre a igualdade desejada para z real fazendo a seguinte integração elementar:

f(z) = ∫_{−∞}^{∞} exp(\{−α (t − \frac{z}{2α})^{2} + \frac{z^{2}}{4α^{2}} \})dt

4) (Função Gamma) Considere a função (chamada função Gamma)

Γ(z) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z−1} dt

i) Mostre que Γ é holomorfa no aberto ℜz > 0, t^{z−1} = exp {(z − 1) log t} , 0 < t < ∞. Sugestão: Mostre que para 0 < a < ℜz < b, então

|e^{−t}t^{z−1}| ⩽ \{ \begin{matrix}e^{−t}t^{b−1} & se t ⩾ 1 \\ t^{a−1} & se 0 < t < 1 \end{matrix}

ii) Mostre a equação funcional

Γ(z + 1) = zΓ(z)

Conclua que Γ(n + 1) = n!, n ∈ IN. Sugestão: Verifique a equação acima para z real e z > 0, fazendo uma integração por partes.

iii) (Prolongamento analítico da função Γ) Mostre que a função gamma possui um prolongamento analítico em ℂ \ {0, −1, −2, −3, …}, sendo cada ponto −n um polo simples com

Res(Γ, −n) = \frac{(−1)^{n}}{n!} , n ∈ IN

Sugestão: Considere Γ(z) = φ(z) + ψ(z), onde

φ(z) = ∫_{0}^{1} e^{−t}t^{z−1} dt, ψ(t) = ∫_{1}^{∞}e^{−t}t^{z−1} dt, ℜz > 0

Mostre com um raciocínio similar ao exercício precedente que ψ é uma função inteira. Em seguida verifique que utilizando o teorema da convergência dominada de Lebesgue tem-se que para ℜz > ϵ > 0

φ(z) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n!(z + n)}

Mostre que a série acima é holomorfa em ℂ \ {0, −1, −2, …}, observando que se D é um disco aberto tal que \overline{D} ∩ \{0, −1, −2, …\} = ∅, então

inf{|z + n|; n ∈ IN, zD} = c > 0

isto é a série acima é normalmente convergente em \overline{D}. Mostre que lim_{z→−m} Γ(z) = (−1)^{m}/m!.

iv) Mostre que

Γ(n + 1/2) = \frac{2n!}{n! 4^{n}} \sqrt{π}, n ∈ IN

v) Foi mostrado usando teoria dos resíduos que

∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{λ}(1 + x)} dx = \frac{π}{sin λπ} , (0 < λ < 1)

usando o cálculo acima mostre a fórmula de suplemento de Euler

Γ(z)Γ(1 − z) = \frac{π}{sin πz} , z ∈ ℂ \ ℤ

Procure extrair consequëncias disto. Nota: Uma outra fórmula importante é a fórmula de duplicação de Gauss-

Legendre:

\sqrt{π} Γ(2z) = 2^{2z−1}Γ(z) Γ (z + \frac{1}{2}) 2z ∈ ℂ \ −IN

vi) Demostre a seguinte regra da transformada de Laplace L, usando continuação analítica

L(t^{α}) = \frac{Γ(α + 1)}{s^{α+1}}, α > −1, Re s > 0

Calcule

L(1/\sqrt{πt})

Princípio do argumento e teorema de Rouché

(Interpretação geométrica do princípio do argumento). Seja f uma função meromorfa em um aberto A. Seja γ uma curva fechada C^{1} por partes que não paasa pelos zeros ou polos de f. O princípio do argumento sugere que fazendo z percorrer γ, log f(z) muda por um múltiplo de 2πiK, onde K é um inteiro que mede o “número de voltas”que a imagem de γ faz em torno da origem, ou equivalentemente, 2πK mede a “variação´’ de arg f(z) quando z percorre γ. A dificuldade com este raciocínio é que não se pode definir sempre log f(z) ( caso isto seja possıvel ∫_{γ} f′/f = 0). Mas, esta discussão pode ser colocada em bases rigorosas da seguinte maneira:

Como nenhum zero ou polo de f está em γ existe um disco aberto B(a, r) para cada a ∈ [γ], tal que um ramo de log f(z) pode ser definido. Usando o lema de Lebesgue existe um número positivo ϵ > 0 tal que para todo a ∈ [γ] pode-se definir um ramo de log f(z) em B(a, ϵ). Usando continuidade uniforme de γ (suponhamos que γ está definida em [0, 1] ) existe uma partição 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{k} = 1 tal que γ(t) ∈ B(γ(t_{j−1}, ϵ) para t_{j−1} ⩽ t ⩽ t_{j} e 1 ⩽ j ⩽ k (por quê ?). Seja ℓ_{j} o ramo de log f definida em B(γ(t_{j−1}), ϵ) para 1 ⩽ j ⩽ k. Como tanto o j-ésimo disco quanto o j + 1-ésimo disco contém γ(t_{j}) podemos escolher ℓ_{1}, …, ℓ_{k} de forma que l_{1}(γ(t_{1})) = l_{2}(γ(t_{1})), l_{2}(γ(t_{2})) = l_{3}(γ(t_{2})), …, l_{k−1}(γ(t_{k−1})) = l_{k}(γ(t_{k−1})). Se γ_{j} é a restrição da curva γ ao intervalo [t_{j−1}, t_{j}] como ℓ_{j} = f′/f, temos que

∫_{γ_{j}} \frac{f′}{f} = ℓ_{j} (γ(t_{j})) − ℓ_{j} (γ(t_{j−1}))

para 1 ⩽ j ⩽ k. Somando ambos os lados desta equação obtém-se

∫_{γ} \frac{f′}{f} = ℓ_{k} (γ(1)) − ℓ_{1} (γ(0)) .

Mas, γ é fechada, i.e a := γ(1) = γ(0). Logo, ℓ_{k}(a) − ℓ_{1}(a) = 2πiK onde K é um inteiro (já que são determinações do logaritmo). Isto conclui nossa interpretação de que quando z percorre γ, arg f(z) muda por 2πK.

5) Mostre que o número de zeros de de P (z) = z^{4} + z^{3} + 5z^{2} + 2z + 4 no primeiro quadrante é zero. E no quarto quadrante ? Isto pode ser deduzido imediatamente do resultado no primeiro quadrante por simetria ?

i) Mostre que em Im z = 0, 0 ⩽ ℜz ⩽ R, a variação do argumento arg P (x), x = ℜz, é evidentemente nula já que P (x) > 0. ii) Fazendo z = Re^{iθ}, 0 ⩽ θ ⩽ π/2 e R grande tem-se que a variação do

argumento é da ordem

arg P (Re^{iθ}) = 2π + δ

onde δ → 0, quando R ⟶ ∞. ii) Analise a variação do argumento quando x = 0 e 0 < y < R, analisando

os zeros e o sinal das partes reais e imaginárias do polinômio P (iy) no intervalo considerado. Conclua que a variação de arg P (iy) é −2π + δ_{1} onde δ_{1} → 0 quando R ⟶ ∞. Finalmente, infira a nulidade da variação total do argumento ao longo de C, já que C é fechada e o argumento deve ser um inteiro.

6) Pela mesma técnica do exercício anterior mostre que as seguintes equações têm apenas um zero no primeiro quadrante:

z^{3} − z^{2} + 2 = 0,  z^{4} + z^{2} = 2z − 6,  z^{4} + z^{3} = 2z^{2} − 2z − 4.

7) Mostre que e^{z} = −2z + 1 tem exatamente um zero em |z| < 1. Sugestão: Considere f(z) = −2z, g(z) = e^{z} − 1 = ∫_{0}^{z} e^{ζ} dζ. Mostre que pela última expressão obtém-se a estimativa: |g(z)| ⩽ 2, se |z| ⩽ 1. Aplique o teorema de Rouché.

8) Considere a equação 2z^{5} + 8z − 1 = 0.

a) Mostre que a equação não tem zeros em |z| > 2, por um raciocíno elementar direto (64 > 17). Confirme isto mostrando via o teorema de Rouché que existem 5 zeros em |z| < 2.

b) Mostre que a equação tem exatamente um zero em |z| < 1 e que este zero é real e positivo.

c) Mostre que a equação não tem zeros em |z| = 1; logo conclua que tem

exatamente 4 zeros no anel 1 < |z| < 2.

9) Considere a equação

f(z) = e^{−z} +z = a

com ℜ a > 1.

a) Usando o princípio do argumento, nos moldes do exerc. 1) acima, mostre que a equação possui uma e apenas uma solução no semi-plano ℜz > 0. b) Usando o teorema de Rouché, mostre que a equação tem apenas uma

solução para ℜz > 0.

10) Deduza o teorema fundamental da álgebra aplicando o teorema de Rouché.

11) Suponha que f(z) é analítica em um domínio contendo o disco unitário fechado centrado na origem. Se |f(z)| < 1 para |z| = 1, mostre que existe apenas um único z com |z| < 1 satisfazendo f(z) = z. Se |f(z)| ⩽ 1 para |z| = 1, o que você pode dizer ?

12) Suponha que a, b, c sejam números complexos tais que |b| − |c| > |a| > 0; mostre que para todo n ∈ IN a equação

az^{n} + bz + c = 0

possui exatamente um zero em |z| < 1.

13) Mostre que para todo número complexo a e todo inteiro n ⩾ 2, a equação az^{n} + z + 1 = 0 possui ao menos um zero em |z| ⩽ 2. Sugestão: Mostre que se |a| < 2^{−n} há exatamente um zero pelo teorema de Rouché. Se |a| ⩾ 2^{−n}, então o resultado é uma conseqüência do fato que |z_{1} ⋯ z_{n}| = |1/a|, onde as z_{j} são os zeros da equação , com multiplicidades. Por quê ?

14) Mostre que para λ real, λ > 1 e n ∈ IN, a equação z^{n}e^{λ−z} = 1, possui n zeros (contando as multiplicidades) em |z| < 1.

15) Os zeros de um polinômio variam continuamente com os coeficientes do polinômio. Sejam z_{1}, z_{2}, …, z_{k} o conjuntos dos zeros do polinômio P (z) = z^{n} + a_{1}z^{n−1} + ⋯ + a_{n}, z_{j} sendo um zero de ordem m_{j}; seja ρ = min_{i≠j} |z_{i} − z_{j}|. Mostre que para todo ϵ ∈ (0, ρ) existe um δ > 0 tal que todo polinômio

q(z) = z^{n} + b_{1}z^{n−1} + ⋯ + b_{n}

com max_{1⩽i⩽n} |b_{i} − a_{i}| < δ possui exatamente m_{j} zeros ( contando as multiplicidades) no disco aberto B(z_{j}, ϵ), j = 1, 2, …, k. Sugestão: Sabe-se que

P (z) = (z − z_{1})^{m_{1}} ⋯ (z − z_{k})^{m_{k}}

Mostre que sobre o círculo de equação |z − z_{j}| = ϵ, tem-se que |P (z)| ⩾ ϵ^{m_{j}}(ρ − ϵ)^{n−m_{j}}. Mostre que

|q(z) − P (z)| ⩽ δ ∑_{t=0}^{n−1} |z|^{t} ⩽ δ ∑_{t=0}^{n−1} (|z_{j}| + ϵ)^{t} .

Logo considerando

0 < δ < min_{1⩽j⩽k} \{\frac{ϵ^{m_{j}}(ρ − ϵ)^{n−m_{j}}}{∑_{t=0}^{n−1} (|z_{j}| + ϵ)^{t}} \}

conclua o resultado, aplicando o teorema de Rouché.

16) Mostre que a equação z(e^{z} −1) = w para |w| < 1/6 tem exatamente duas soluções na bola aberta de raio R = 1/2 centrada na origem. Sugestão: Mostre que se |z| = r < 1 então

| e^{z} −1| ⩾ r − \frac{r^{2}}{2 − r}

17) Encontre o número de zeros do polinômio p(z) = z^{7} − 5z^{3} + 12 contidos dentro da bola unitária aberta de raio 1 centrada na origem. Idem para o anel {1 < |z| < 2}. Sugestão: Mostre usando o algoritmo de Euclides que p e p′ são primos entre si, concluindo que todas os zeros de p são simples.

18) Seja w ∈ ℂ tal que |w| < \frac{2}{3\sqrt{3}}. Mostre que existe um único número complexo

z = f(w) tal que |z| < \frac{1}{\sqrt{3}} com z^{3} + z = w. Mostre que f(w) é holomorfa e infira a seguinte fórmula

f(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{|z|= \frac{1}{\sqrt{3}}} \frac{z(3z^{2} + 1)}{z^{3} + z − w} dz

a) Escreva o desenvolvimento de Taylor de f(w) em w = 0, explicitando os coeficientes do desenvolvimento e determinando o raio de convergência da série.

19) Sejam a_{1}, …, a_{n} e b números complexos de módulo inferior que 1, e sejam k_{1}, …, k_{n} números inteiros positivos. Mostre que a equação

∏_{1}^{n} (\frac{z − a_{j}}{z\overline{a} − 1})^{k_{j}} = b

possui k := k_{1} + ⋯ + k_{n} soluções na bola unitária aberta de raio 1 centrada na origem.

PROFESSOR RICARDO SÁ EARP 15

20) Assumindo que tan z − z tem apenas zeros reais, calcule os resíduos da função

f(z) = \frac{sin^{2} z tan^{2} z}{z^{2}(tan z − z)}·

21) Calcule

∫_{|z|=7} \frac{z^{7} (1 + e^{7 cos z}(1 + cos z)^{7})^{2} (sin z + cos z)}{(sin z/3)^{7}(sin z − cos z)} dz

22) Considere polinômio f(z) dado por

f(z) := \frac{z^{2}}{2!} − \frac{z^{4}}{4!} + ⋯ (−1)^{n+1} \frac{z^{2n}}{2n!}

Mostre que existe N ∈ IN tal que se n ⩾ N então f(z) tem exatamente um zero simples no disco |z| < 2π.