EXAME DE QUALIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 2002

prof. Ricardo Sá Earp 5 de março de 2002

Questão 1 (2.5 pts): Calcule

∫_{−π}^{π} \frac{sin nθ}{1 − 2a sin θ + a^{2}} dθ

onde n = 1, 2, … e a ∈ IR, |a| ≠ 1.

Questão 2 (2.5 pts): Calcule os resíduos da função f(z) definida por

f(z) = \frac{1}{(z^{n} − 1)^{2}}

Questão 3 (5.0 pts): Responda às questões abaixo justificando corretamente a sua resposta:

i) É verdade que uma função meromorfa f(z) definida numa vizinhança aberta do disco unitário D := {|z| ⩽ 1}, tal que

|f(z)| = 1, se |z| = 1

é um polinômio ? ii) É verdade que existe uma aplicação holomorfa f do plano complexo ℂ no semi-

plano superior {z, Im z > 0}, com derivada f′(z) ≠ 0 para algum complexo z ? iii) É verdade que se f(z) = u(z) + iv(z); u(z), v(z) ∈ IR, z ∈ Ω é uma função

holomorfa definida num domínio Ω de ℂ satisfazendo

φ(u(z), v(z)) = 0, z ∈ Ω

onde φ : IR^{2} → IR é uma função diferenciável, tal que φ^{−1}(0) tem interior vazio; então f é constante ?

iv) É verdade que se g é uma função meromorfa em ℂ cujos pólos são os inteiros não negativos IN com respectivos resíduos também sendo inteiros, então a função

f(z) = exp (∫_{γ} g(ζ) dζ)

onde γ é um caminho seccionalmente C^{1} em ℂ \ IN ligando um ponto fixado z_{0} ∈ ℂ \ IN a um ponto z ∈ ℂ \ IN; está bem definida e é holomorfa em ℂ \ IN ?

v) É verdade que uma aplicação holomorfa injetiva f(z) definida num domínio Ω ⊂ ℂ, pode ter derivada f′(z) = 0 em algum ponto z ∈ Ω ?