{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 
0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }
{CSTYLE "" -1 256 "" 1 18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 
257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 
1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1
" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 18 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 
1 0 0 8 4 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 
"Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 
}{PSTYLE "Maple Output" -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 
1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG 
{PARA 256 "" 0 "" {TEXT 256 13 "EDO's Exatas." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Vamos estudar o seguinte \+
exerc\355cio do livro:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "
" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "(9t^2+y(t)-1)-(4*y(t)-t)*diff(y(t),t)=0" "6#/,**
&\"\"*\"\"\"*$%\"tG\"\"#F'F'-%\"yG6#F)F'F'!\"\"*&,&*&\"\"%F'-F,6#F)F'F
'F)F.F'-%%diffG6$-F,6#F)F)F'F.\"\"!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "A \+
edo acima \351 exata, como j\341 vamos verificar." }}}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "edoexata:=9*t^2+y(t)-1-(4*y(t)-t)*diff(y(t),
t)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "Para que haja Phi com" }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "diff(Phi(t,y),t) = M" 
"6#/-%%diffG6$-%$PhiG6$%\"tG%\"yGF*%\"MG" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 
18 0 "9*t^2+y-1" "6#,(*&\"\"*\"\"\"*$%\"tG\"\"#F&F&%\"yGF&F&!\"\"" }
{TEXT -1 9 " ,       " }{XPPEDIT 18 0 "diff(Phi(t,y),y)=N" "6#/-%%diff
G6$-%$PhiG6$%\"tG%\"yGF+%\"NG" }{TEXT -1 3 " = " }{XPPEDIT 18 0 "-(4*y
-t)" "6#,$,&*&\"\"%\"\"\"%\"yGF'F'%\"tG!\"\"F*" }{TEXT -1 2 ", " }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "basta que as derivadas abaixo sejam iguai
s" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "M:=9*t^2+y-1;N:=-(4*y-
t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "# verifica se \351 e
xata\ndiff(M,y)=diff(N,t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Vam
os tentar usar dsolve ingenuamente e tentar achar uma Phi com as deriv
adas parciais M e N:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "dso
lve(\{diff(Phi(t,y),t)=M,diff(Phi(t,y),y)=N\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 96 "De fato, temos derivadas parciais. Vamos seguir a di
ca da mensagem de erro e tentar com pdsolve:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "pdsolve(\{diff(Phi(t,y),t)=M,diff(Phi(t,y),y)=N
\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "Note que poder\355amos ta
mb\351m ter integrado uma das equa\347\365e, digamos" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "diff(Phi(t,y),t)=M
" "6#/-%%diffG6$-%$PhiG6$%\"tG%\"yGF*%\"MG" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "em rela\347\343o a t:" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "int(diff(Phi(t,y),t),t)=int(M,t);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Cuidado!!!" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 211 "A equa\347\343o acima est\341 incompleta. Falta somar um
a fun\347\343o arbitr\341ria de y c(y), pois integramos uma fun\347
\343o de duas vari\341veis em rela\347\343o a t. Ao derivarmos em y e \+
igualarmos a N, precisamos desse grau de liberdade." }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "# equa\347\343o incompleta\nN=diff(3*t^3+
t*y-t,y);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "# tem que soma
r na m\343o a fun\347\343o c(y)\nN=diff(3*t^3+t*y-t+c(y),y);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Agora poder\355amos resolver para \+
c" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "dsolve(%);" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "# finalmente\nPhi:=3*t^3+t*y-t-2*y^
2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Sabemos agora que os n\355v
eis de " }{XPPEDIT 18 0 "Phi" "6#%$PhiG" }{TEXT -1 39 " cont\351m toda
s as solu\347\365es da nossa edo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Vamo
s esbo\347ar alguns n\355veis da fun\347\343o" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "with(plots);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 83 "#n\355veis de Phi\nn\355veis:=contourplot(Phi,t=-5..5
,y=-5..5,levels=75):\ndisplay(n\355veis);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 61 "O problema (\351 um do livro) tem como condi\347\343o ini
cial y(1)=0. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Portanto a curva corresp
ondente \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{XPPEDIT 18 0 "Phi(x,y)=c[0]" "6#/-%$PhiG6$%\"xG%\"yG&%\"cG6#\"\"!" }
{TEXT -1 7 ", onde " }{XPPEDIT 18 0 "c[0]=Phi(1,0)" "6#/&%\"cG6#\"\"!-
%$PhiG6$\"\"\"F'" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "# calcula Phi(1,0)\nc:=subs(
t=1,y=0,Phi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Ok, o n\355vel q
ue nos interessa \351 o n\355vel 2. Vamos, usando implicitplot, plotar
 esse n\355vel agora." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 199 "n
\355velcerto:=implicitplot(Phi=c,t=-5..5,y=-5..5,color=blue,thickness=
2,numpoints=15000):\n# condi\347\343o inicial\nci:=pointplot([1,0],sym
bol=circle,symbolsize=10,color=blue):\ndisplay(n\355velcerto,axes=boxe
d);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "# sobrepondo\ndispla
y(n\355velcerto,n\355veis,ci,scaling=constrained,axes=boxed);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "A curva azul, claramente n\343o d
efine a solu\347\343o globalmente, j\341 que n\343o \351 o gr\341fico \+
de nenhuma fun\347\343o de t (h\341 duas poss\355veis imagens para um \+
valor de t). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 151 "Ainda, vemos que h\341 \+
claramente um problema \340 esquerda de t=1, quando a reta tangente \+
\340 curva \351 vertical e portanto a derivada y'(t) se torna ilimitad
a." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Sab
emos que o " }{TEXT 257 9 "gradiente" }{TEXT -1 4 " de " }{XPPEDIT 18 
0 "Phi" "6#%$PhiG" }{TEXT -1 3 " \351 " }{TEXT 258 9 "ortogonal" }
{TEXT -1 8 " a seus " }{TEXT 259 6 "n\355veis" }{TEXT -1 67 ". Portant
o no ponto de tangente vertical, o gradiente \351 horizontal." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 117 "Ainda, as componentes do gradiente s\343
o M e N. Basta ent\343o procurar o ponto de gradiente horizontal (N=0)
 no n\355vel 2 (" }{XPPEDIT 18 0 "Phi=2" "6#/%$PhiG\"\"#" }{TEXT -1 1 
")" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "Isso \351 um sistema n\343o linear,
 mas o Maple n\343o tem dificuldades de achar a resposta." }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 72 "Vamos plotar ambas equa\347\365es antes, para sabe
r onde procurar por solu\347\365es" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 59 "implicitplot([N=0,Phi=c],t=-5..5,y=-5..5,color=[red,b
lue]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "# acha numericame
nte\nfsolve(\{N=0,Phi=c\},\{t=-5..5,y=-5..5\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "# t problem\341tico em\ntp:=.9845870620;\n# y \+
problema\341tico em\nyp:=.2461467655;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 252 "Achamos assim a restri\347\343o de que t deve ser maior \+
do que tp calculado acima. S\363 de olhar para o gr\341fico n\343o est
\341 claro que esse \351 o \372nico problema. Ocorre que essa \351 de \+
fato a \372nica restri\347\343o e a solu\347\343o est\341 definida par
a todo valor de t maior que tp." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 121 "No ca
so presente, podemos ver isso diretamente de uma resposta em forma fec
hada que encontramos com dsolve (ou solve com " }{XPPEDIT 18 0 "Phi=c
" "6#/%$PhiG%\"cG" }{TEXT -1 1 ")" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 33 "# os dois ramos\ndsolve(edoexata);" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "# ou, se dermos y(1)=0, \ndsolve(\{edoexa
ta,y(1)=0\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "sol:=rhs(%
);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "gsol:=plot(sol,t=tp..
5,color=red,thickness=5):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
65 "display(n\355veis,n\355velcerto,gsol,ci,axes=boxed,view=[-5..5,-5.
.5]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "A solu\347\343o em forma
 fechada s\363 apresenta problema quando o radicando muda de sinal:" }
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "plot(t^2+24*t^3-8*t-16,t=-
2..2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 171 "O que s\363 ocorre no \+
ponto tp que j\341 encontramos. Quando t vai a infinito, o radicando t
amb\351m vai e n\343o h\341 nenhuma singularidade na express\343o que \+
encontramos para a solu\347\343o." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "A v
antagem do m\351todo usando o gradiente \351 que pode n\343o ser poss
\355vel achar uma resposta em forma fechada." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 104 "Olhe s\363 um outro exemplo em que isso ocorre (\351 s\363 peg
ar uma Phi complicada e gerar a edo correspondente)" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Phi:=x^7*y-2*x-y^5-x^5;" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "M:=diff(Phi,x);N:=diff(Phi,y);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "edoexata:=subs(y=y(x),M)+sub
s(y=y(x),N)*diff(y(x),x)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Te
nte fazer uma an\341lise deste caso." }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" 
{TEXT -1 35 "Spoiler Alert: Resposta do problema" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "# maple responde com Phi=ct.\ndsolve(edoexata)
;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "# n\355vel contendo y
(1)=1/2\nc:=subs(x=1,y=1./2.,Phi);\nn\355vel:=implicitplot(Phi=c,x=-2.
.2,y=-2..2,numpoints=15000):\ndisplay(n\355vel);" }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 117 "# onde derivada fica ilimitada\nimplicitplot
([Phi=c,N=0],x=-2..2,y=-2..2,axes=boxed,numpoints=15000,color=[red,blu
e]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 103 "# acha os pontos q
ue nos interessam\nfsolve(\{Phi=c,N=0\},\{x=1,y=.7\});\nfsolve(\{Phi=c
,N=0\},\{x=.88,y=-.57\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
121 "gsol:=implicitplot(Phi=c,x=.8899808160..1.032855758,y=-.545347878
8..0.7076637186,numpoints=15000,color=blue,thickness=3):" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "display(gsol,n\355vel,axes=boxed,sc
aling=constrained);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "A vida com
o ela \351!" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "1 0 0" 0 }
{VIEWOPTS 1 1 0 3 2 1804 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }