\documentclass[12pt]{article}

\leftmargin=0pt
\topmargin=0pt
\headheight=0in
\headsep=0in
\oddsidemargin=0pt
\textwidth=6.5in
\textheight=8.5in

\begin{document}

\pagestyle{empty}


\begin{center}
% The left side must be in English. The right side should be in
% the language into which the paper is translated.
{ Portuguese version \hfill Vers{\~a}o em portugu{\^e}s } \\
\bigskip
{\Large 42a Olimp{\'\i}ada Internacional de Matem{\'a}tica} \\
{\large Washington, DC, Estados Unidos da Am{\'e}rica} \\
\medskip
{\large
\textbf{Primeiro dia --- 8 de Julho de 2001} \\
\textbf{9:00 --- 13:30}\\
}
\end{center}


\vspace{0.5in}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}]
Seja $ABC$ um tri{\^a}ngulo acut{\^a}ngulo com circuncentro $O$.
Seja $PA$ uma altura do tri{\^a}ngulo com $P$ no lado $BC$.

\smallskip
Considere que $\widehat{BCA} \geq \widehat{ABC} + 30^{\circ}$.

\smallskip
Prove que $\widehat{CAB} + \widehat{COP} < 90^{\circ}.$

\vspace{0.5in}

\item[\textbf{2.}] Prove que
\[
\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}
\geq 1
\]
para quaisquer n{\'u}meros reais positivos $a, b$ e $c$.

\vspace{0.5in}

\item[\textbf{3.}] Vinte e uma meninas e vinte e um meninos
participaram numa competi{\c c}{\~a}o matem{\'a}tica.
\begin{itemize}
\item
Cada participante resolveu no m{\'a}ximo seis problemas.
\item
Para cada menina e cada menino, existe pelo menos um problema que
foi resolvido por ambos.
\end{itemize}
Prove que existe um problema que foi resolvido por pelo menos tr{\^e}s meninas
e pelo menos tr{\^e}s meninos.
\end{enumerate}

\vspace{1in} \noindent \textit{Cada problema vale sete pontos.}


 \pagebreak

\begin{center}
% The left side must be in English. The right side should be in
% the language into which the paper is translated.
{ Portuguese version \hfill Vers{\~a}o em portugu{\^e}s } \\
\bigskip
{\Large 42a Olimp{\'\i}ada Internacional de Matem{\'a}tica} \\
{\large Washington, DC, Estados Unidos da Am{\'e}rica} \\
\medskip
{\large
\textbf{Segundo dia --- 9 de Julho de 2001} \\
\textbf{9:00 --- 13:30}\\
}
\end{center}

\vspace{0.5in}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Seja $n$ um inteiro {\'\i}mpar maior do que 1
e sejam $k_1, k_2, \dots, k_n$ inteiros dados.
Para cada uma das $n!$ permuta{\c c}{\~o}es $a=(a_1, a_2, \dots, a_n)$
de $\{1, 2, \dots, n\}$, defina
\[
S(a) = \sum_{i=1}^n k_i a_i.
\]
Prove que existem duas permuta{\c c}{\~o}es $b$ e $c$, $b \neq c$,
tais que $n!$ {\'e} um divisor de $S(b) - S(c)$.

\vspace{0.5in}

\item[\textbf{5.}] Num tri{\^a}ngulo $ABC$, seja $AP$ a bissectriz
de $\widehat{BAC}$ com $P$ no lado $BC$, e seja $BQ$ a bissectriz
de $\widehat{ABC}$ com $Q$ no lado $CA$.

Sabemos que $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$ e que $AB+BP = AQ+QB$.

Quais s{\~a}o os poss{\'\i}veis valores dos {\^a}ngulos do tri{\^a}ngulo $ABC$?

\vspace{0.5in}

\item[\textbf{6.}]
Sejam $a, b, c, d$ inteiros com $a>b>c>d>0$.
Considere que
\[
ac+bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c).
\]
Prove que $ab+cd$ n{\~a}o {\'e} um n{\'u}mero primo.

\end{enumerate}

\vspace{1in} \noindent \textit{Cada problema vale sete pontos.}

\end{document}
