Re: [obm-l] continuidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote:
> > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote:
> > >Ola pessoal:
> > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade.
> > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > >Prove
> > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido
> > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos."
> >
> > Vamos definir
> > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas)
> > ou se (5<x<6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6.
>
> Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está
> mudando o problema.
> >
> > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que isto é
> > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e 5 ou
> > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o
> > percurso de 6 milhas em 30 minutos.
>
> ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30
> donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5.
> >
> > Está tudo certo?
>
> Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está.
>
> Um problema mais difícil seria:
> pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso
> medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido
> em exatamente 6 minutos?

Ola pessoal e Nicolau!

Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo.
Basta definir
f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas)

Ver que
f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30

E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo x.

Um problema realmente mais dificil seria:
pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo
exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos?

A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro!

Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.

>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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>
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