Re: [obm-l] Estudos sobre Equações

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxxxxxx>]

luizhenriquerick@zipmail.com.br wrote:

> Olá amigos..
> Ai vão alguns problemas interessantes de equações..
> Se puderem me dar uma luz...
>
> 1-
> O número de raízes reais da equação
> x.(x + 1).(x² + x + 1) = 42

>
>
> 2-
> O número de raízes reais da equação
> 3x^4 - 2x³ + 4x² - 4x + 12 = 0

>
>
> Há para essas equações 1 e 2 alguma critério ?
>
> 3-
> A diferença entre a maior e a menor raiz da equação
> (x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5 ) = 360
>

    Admitindo que exista x inteiro como solução, temos que escrever 360 como
produto de 4 inteiros consecutivos.
1*2*3*4=24
2*3*4*5=120
3*4*5*6=360    Logo, uma raiz é x=8.

Vale lembrar que (-3)*(-4)*(-5)*(-6)=360, logo, x=-1 tb é raiz. Se vc
desenvolver o produto e arrumar a eq, vc deverá ter
x^4-14x^3+71x^2-154x-240=0.
Agora que já conhecemos duas raízes, podemos baixar o grau dessa eq até um de
segundo grau, que deverá ser x^2-7x+30=0. Observando essa eq, ela só admite
raízes complexas.

    Logo, às raízes de maior e menor valor são, respectivamente, 8 e -1, e
sua diferença é 9. Todavia, deve haver uma forma melhor de garantir que as
outras duas raízes são complexas... Alguém se habilita?




>
> 4-
> A diferença entre a maior e a menor raiz da equação
> (x² + x + 1)(2x² + 2x + 3 ) = 3(1 - x - x²)

    Hum... De olho só sei dizer que zero é raiz... No braço, sei dizer que só
existe uma outra raiz real e que ela está entre -2 e -1, se eu não errei as
contas. Mas não sei como tirar essa outra ou como mostrar, de forma
"tragável" que as outras dua raízes são complexas...

>
>
> São todos exercícios muito bons , com conhecimento a nível de 1° grau ,
> eu não consegui enxergar uma solução válida.

    Ih! Oops... Só valia 1º grau? Hum... Bem, isso não permite muita coisa...
Contudo, a solução da 3 ainda é "válida", posto q eles já sabem Báskara (ou
método de resolução de eqs do 2º grau, p/os puristas ;-)) O problema é q um
aluno de 1o grau só vai ter duas raízes e não vai sequer ter noção de q
existem outras.... Na grosseria e na inocência, ele vai poder responder a
pergunta da questão...


>
> Obrigado..
> Rick Barbosa====

[]'s

Alexandre Tessarollo

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================