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Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Caro Paulo,
Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os
amigos aqui da lista, e especialmente.. à você.
Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau
mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública
de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho
desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem
para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da
escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor
desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a
única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo,
não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e
quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda.
E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de
todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E
em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos
os demais amigos que dessa lista participam.
Obrigado mesmo,
Felipe Marinho
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 +0000
>
>Ola Felipe, Guilherme e
>demais colegas desta lista,
>
>Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a
>alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir
>atingir os objetivos !
>
>
>Devemos encontrar "a" e "b" inteiros nao-negativos. Como
>(10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3
>posso FATORAR o segundo membro assim :
>a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2)
>colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica :
>(10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2)
>como a + b > 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir
>tudo por a+b. Vai ficar :
>
>10a + b = a^2 - ab + b^2
>
>reduzindo os termos semelhantes
>
>a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0
>
>E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em "a". O Discriminante e :
>
>(10 - b)^2 - 4*(b^2 - b)
>
>Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0
>
>Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e
>um quadrado perfeito e que implicam num "a" inteiro positivo. Isso vai me
>fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema.
>
>E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1
>grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente
>minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio
>Ralph.
>
>Um abracao
>Paulo Santa Rita
>5,1147,160502
>
>
>
>
>
>>From: "Felipe Marinho" <piuwee@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400
>>
>>Olá Guilherme,
>>
>>Obrigado pela sua ajuda.
>>
>>Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10
>>números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99).
>>Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova.
>>
>>O enunciado da questão deve ser entendido como:
>>
>>(10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela
>>soma
>>dos dígitos)
>>
>>Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma
>>dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ].
>>
>>As opções dadas pelo problema é:
>>a) 0
>>b) 1
>>c) 2
>>d) 3
>>e) 4
>>
>>Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a
>>resposta do problema.
>>
>>Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a
>>resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos
>>da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro.
>>
>>Agradeço desde já mais uma vez,
>>Abraços
>>
>>Felipe Marinho
>>
>>>From: "Guilherme Pimentel" <guigous@uol.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>>Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300
>>>
>>>Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos:
>>>a*b*(a + b) = a^3 + b^3
>>>e que
>>>a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>>logo
>>>a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b)
>>>(a + b)^3 = 4a*b*(a + b)
>>>supondo que a ou b sejam diferentes de zero:
>>>(a + b)^2 = 4a*b
>>>(a - b)^2 = 0
>>>ou seja
>>>a = b
>>>agora vc conta quantos são...
>>>
>>>-----Mensagem original-----
>>>De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>>>[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br]Em nome de Felipe Marinho
>>>Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37
>>>Para: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
>>>
>>>
>>>Olá pessoal da lista,
>>>
>>>Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas.
>>>Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu
>>>realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma
>>>vez.
>>>
>>>1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação
>>>deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos.
>>>Quantos e quais são esses números ?
>>>
>>>2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas.
>>>Se
>>>uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola
>>>numerada
>>>com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para
>>>guardar
>>>as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ?
>>>
>>>Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda.
>>>
>>>E com um grande abraço a todos,
>>>vou fechando mais este e-mail.
>>>
>>>Felipe Marinho
>>>
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>>>http://mobile.msn.com
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>>>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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