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-----Original Message----- acho que sem a hipótese de f diferenciável
realmente isso não é verdadeiro... dê uma olhada nessas funções que, apesar de
serem contínuas, devem conter um intervalo fechado em que o valor de um extremo
é maior que o outro e no entanto elas não possuem nenhum intervalo estritamente
crescente ou decrescente (é um palpite, não estudei essas funções a fundo): assumindo f diferenciável, seja f' sua
derivada tb contínua no intervalo [a, b] se f'(x) > 0 para algum valor de x em [a,
b] na região em torno a x as derivadas também são maiores que 0 pois f' é
contínua, logo existe um intervalo em [a, b] em que f é estritamente crescente. para suponha que f'(x) <= 0 para todo x
em [a, b], temos que f(b) <= f(a), que não pode ocorrer. acho que é só, às 2 da manhã é só o que eu consigo pensar :-) De fato, se assumirmos diferenciabilidade e que f’ é
postiva em algum ponto de [a, b], então a firmação torna-se verdadeira. Na
realidade, não precisamos assumior diferenciabilidade em todo [a, b], basta
assumir que f‘ seja conntínua e positiva em algum c em [a, b] e que
exista numa vizinhança de c. Mas da
forma como a firmação foi apresentada, creio que é falsa. Acho que existe uma
destas funções patológicas que servem como contra exemplo. Obrigado Artur |