[obm-l] Re: [obm-l] Sequências

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Igor e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Sim, existe. Tomando quaisquer tres termos consecutivos ( digamos :
Ai-1, Ai e Ai+1 ) pode-se verificar que :

Ai+1 - 2*Ai + Ai-1 = 2  => (Ai+1 - Ai) - (Ai - Ai-1) = 2

Isto prova que estamos diante de uma PA2, vale dizer, diante de uma 
Progressao Aritmetica de 2 ordem. A soma dos N primeiros termos de uma 
sequencia deste tipo e o "produto escalar"  :

Sn = < A1,A2-A1,A3-2*A2+A3 >.< BI(N,1),BI(N,2),BI(N,3) >

Onde BI(N,P) e o NUMERO BINOMIAL de numerador N e denominador P. Nesta 
expressao devemos impor que BI(N,P) = 0 se N < P. Por oportuno, e digno de 
nota que o termo geral tambem admite uma expressao sintetica e economica, 
nestes termos :

An = < A1,A2-A1,A3-2*A2+A3 >.< BI(N-1,0),BI(N-1,1),BI(N-1,2) >

Nao e dificil provar estas expressoes, que ficam como exercicio pra voce. 
Entretanto, o ganho real aqui nao se resume a elas, que a principio sao 
apenas uma forma inteligente de expressar uma necessidade computacional, 
mas, sobretudo, a possibilidade que assim se abre  de olharmos estas 
sequencias como irmanadas em nivel mais profundo ...

Com efeito, dado que tanto "An" quanto "Sn" podem ser expressas como um 
produto, tal como apresentamos acima, entao o que diferencia uma sequencia 
da outra e propriamente o vetor :

C = < A1,A2-A1,A3-2*A2+A3 >

Este VETOR CARACTERISTICO e portanto, a priori, o responsavel pelas 
diferencas que existam. Enatural sentirmos que ele pode nos falar mais ...

Seja Ai, A2, A3, ... uma PA2 e para cada N natural formemos o produto
( agora vetorial ) :

Vn = < A1,A2-A1,A3-2*A2+A3 > X < BI(N,1),BI(N,2),BI(N,3) >

Isto gera uma sequencia de vetores ( aqui em R^3 ). Voce consegue descobrir 
alguma propriedade da sequencia que esteja relacionada a
esta sequencia de vetores ?

Um Abraco
Paulo Santa Rita
1,1306,130403

>From: Igor GomeZZ <igor.gomezz@gmx.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Trigonometria e Sequências
>Date: Fri, 11 Apr 2003 01:38:05 -0300
>
>
>Fala galera da lista, boa noite... São dois problemas, um OBM e o outro não 
>sei a fonte:
>
>**Sequência:
>
>1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +...+47*48 + 48*49 + 49*50
>
>Se não me engano ela eh OBM, certo? Consegui resolvê-la como uma
>Progressão Aritmética de segunda ordem. Para achar o polinômio
>que gera os termos t(n) eh relativamente demorado, jah para achar o
>polinômio que define a soma s(n) eh ainda mais demorado. Tem alguma coisa 
>na cara que facilite a questão e não estou vendo?


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