Re: [obm-l] provar desiguldade..

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 26.04.03 16:18, niski at fabio@niski.com wrote:

> Por favor pessoal, me ajudem nesta questão, obrigado:
> 
> Seja f(x) = x + 1/x
> 
> Prove que
> 
> |f(x) - f(1)| <= 3|x-1| , para x > 1/2
> 
> Demonstracao
> |x+ (1/x) - 2 | <= 3|x-1|
> |(x^2 -2x +1)/x| <= 3|x-1|
> (|x-1||x-1|)/x <= 3|x-1|
> |x-1|/x <= 3
> |x-1| <= 3x
> 
> Se 1/2 < x < 1
> 
> -x+1 < 3x
> 1 < 4x
> 
> De fato pois o menor valor que 4x pode assumir é maior do que 4(1/2) = 2.
> 
> Se x >= 1
> 
> |x-1| <= 3x
> x-1 < 3x
> -1 < 4x
> 
> De fato pois o menor valor que 4x pode assumir é 4.
> 
> Esta certa esta demonstração?!
> Obrigado.
> 
> 
> 
Oi, Niski:

O seu raciocinio esta certinho, mas falta uma certa formalizacao.

Para isso, o mais facil eh definir F:(1/2,+infinito) --> R por:
F(x) = |x + 1/x - 2| - 3|x - 1|

Assim, a ideia eh mostrar que F(x) <= 0 para todo x > 1/2.

Como voce mesmo viu acima,
|x + 1/x - 2| = |x^2 - 2x + 1|/|x|
Mas o numerador eh um quadrado perfeito, logo >= 0 e o denominador tambem eh
positivo, dado o dominio de F. Assim, teremos:
|x + 1/x - 2| = (x - 1)^2/x

Agora, dividimos em 3 casos:
A) 1/2 < x < 1 ==> 
3|x - 1| = 3(1 - x) ==>
F(x) = (x - 1)^2/x + 3(x - 1) ==>
F(x) = (x - 1)*(4 - 1/x)
Como 1/2 < x < 1, teremos x - 1 < 0 e 4 - 1/x > 0 ==>
F(x) < 0

B) x = 1 ==>
F(x) = 0

C) x > 1 ==>
3|x - 1| = 3(x - 1) ==>
F(x) = (x - 1)^2/x - 3(x - 1) ==>
F(x) = - (x - 1)(2 + 1/x)
Como x > 1, teremos x - 1 > 0 e 2 = 1/x > 0 ==>
F(x) < 0

Assim, F(x) <= 0, com igualdade se e somente se x = 1, ou seja:

|x + 1/x - 2| <= 3|x - 1| para todo x > 1/2, com igualdade <==> x = 1.

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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