Re: [obm-l] triangulo e bissetrizes

[André Araújo <araujoime@xxxxxxxxx>]

> ABC é um triângulo cujas medidas dos lados são a,b,c
> e  M ,N,P são os pés das três bissetrizes internas
> desse triângulo. Achar a razão entre as áreas dos
> triângulos MNP e ABC
> resposta: 2abc/(a+b)(a+c)(b+c)

SOLUCAO:

a. Do Teorema das bissetrizes no triangulo ABC, tem-se:

BM = (BC*AB)/(AC+AB) = ac/(b+c), assim:

S(ABM) = S(ABC)*AB/(AC+AB) = S(ABC)*b/(b+c)

b. Do Teorema das bissetrizes no triangulo ABM, tem-se:

BP = (BC*AB)/(BC+AC) = ac/(a+b), assim:

 S(BMP) = S(ABC)*BC*AB/(AC+AB)*(BC+AC) = S(ABC)*ac/(a+b)(b+c)

Analogamente,

S(ANP) = S(ABC)*bc/(a+b)(a+c)  e  S(CMN) = S(ABC)*ab/(a+c)(b+c)

Logo, S(MNP) = S(ABC) - [S(ANP) + S(BMP) + S(CMN)]

S(MNP)/S(ABC) = 1 - {[ac/(a+b)(b+c)] + [bc/(a+b)(a+c)] + [ab/(a+c)(b+c)]}

S(MNP)/S(ABC)  =  2abc/(a+b)(a+c)(b+c)

Isto eh tudo.

Andre Araujo.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================