[obm-l] Re: [obm-l] Por geo. analitica e plana

[yurigomes@xxxxxxxxxxxxxx]

Vamos falar primeiro sobre homotetia. Uma homotetia de centro O e constante
k é uma transformação no plano que leva cada ponto A diferente de O em outro
ponto A' tal que são satisfeitas as duas condições abaixo:
i) A, O e A' são colineares;
ii) A'G/AG = k 
 Diremos que H(A)=A'
 Vale ressaltar que k pode ser qualquer valor real. De fato, em ii) estamos
levando em conta as direções de A'G e AG, ou seja, quando k é menor do que
zero, A'G e AG tem sentidos contrários ( logo O fica entre A e A' ) e quando
k>0, A' está na semi-reta GA.
  Afirmação: uma homotetia leva um segmento AB em outro A'B' paralelo a
AB. 
  De fato, temos A'O/AO=k=B'O/BO, que é o teorema de Tales, donde AB//A'B'.
  Da afirmação acima, decorre que homotetia preserva colinearidade, jã que
se A, B, C são colineares então A'B'//AB e A'C'//AC implica que A', B' e
C' são colineares. 
  Agora já podemos resolver o problema!
 Solução por geometria plana: seja H a homotetia de centro G e razão -2.
Vamos mostrar que H(O)= ortocentro ( já que estamos chamando a homotetia
de H, vamos chamar o ortocentro de D, para evitar confusões ). Veja que
se mostrarmos isso, teremos que O, G e D são colineares e alémm disso, que
DG/GO=2.
 Mas veja que se M é o médio de BC, então H(M)= A. Assim, a mediatriz l
de BC, que passa por M,  é levada numa reta paralela a l ( logo perpendicular
a BC ) que passa por A. Mas essa reta é exatamente a altura relativa a BC.
Assim, cada mediatriz é levada em uma das alturas de ABC. Daí, O é levado
na interseção das alturas, i.e., H(O)=D.
 
 Vou apenas mencionar a prova analítica: vamos considerar AB o vetor de
origem A e extremidade B. Considere O a origem. Então é possível provar
que ( agora estamos considerando H como o ortocentro mesmo! ) OH = OA+OB+OC,
OG=(OA+OB+OC)/3 (tente provar isso!). Daí, OH=3OG, donde o resultado segue.
 
 Ateh mais,
  Yuri


(-- Mensagem original --

> Demonstrar analiticamente que o baricentro, o 
>circuncentro e o ortocentro de qualquer triângulo são 
>colineares. A reta de colineridade é denominada Reta de 
>Euler.
>
> Peço aos colegas também a demonst. geométrica plana.
> 
>         Um abraço e obrigado.
>
>
> 
>__________________________________________________________________________
>Seleção de Softwares UOL.
>10 softwares escolhidos pelo UOL para você e sua família.
>http://www.uol.com.br/selecao
>
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
>

[]'s, Yuri
ICQ: 64992515


------------------------------------------
Use o melhor sistema de busca da Internet
Radar UOL - http://www.radaruol.com.br



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================