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Re: [obm-l] Probabilidades!




Querido Euder Suzuki,


      Realmente, estou equivocado e devo retificar a tentativa de resolução

  do seu problema. Ele é distinto do meu por dois fatos:

      *No  seu problema, não há uma única laranja podre. Logo, a mudança na

  segunda opção não significa escolher todo o subconjunto anteriormente não

  escolhido, pois que, não se pode levar mais de uma laranja boa.

      * Também, no seu problema, não são retiradas todas as laranjas podres
  como no meu.


                    Nova Tentativa de Resolução do seu Problema

        Aqui,  pelo enunciado, a mudança é obrigatória. Logo a chance de se

  levar uma laranja boa é:

              (n/(n+m))*((n-1)/(n+m-k-1)) + (m/(n+m))*((n-1)/n+m-k-1)



        Eu  sei  que  você  sabe  o que querem dizer cada uma dessas quatro

  parcelas. Simplificando:

                            (n-1)/(n+m-k-1)         (1)



        Já  não  tenho  o  teu  primeiro e-mail sobre o assunto, mas talvez

  tenha sido esta a tua resposta?



                                 Outro problema é:

        Dentre n laranjas, há uma única boa. São retiradas k laranjas, após

  a  primeira  escolha, 0< k <(n-1). Acredito que esse é mais simples e sua

  resposta é:



                           ((n-1)/n)*(1/(n-1-k))     (2)



                  Estratégias: sempre mudar X 50% das vezes mudar

        Essa  questão  de  sempre  mudar  ou 50% das vezes mudar na segunda

  oportunidade  é  estratégia  de  jogo.  Não há alguma que esteja certa ou

  errada, são formas de se jogar, isto é, de se escolher. A questão é saber

  qual  é  melhor  em  cada  caso, em todos os tipos de problemas variáveis

  desse jogo.

        Neste  outro  problema, imediatamente acima, a segunda estratégia é

  sempre  pior que a primeira. Fazer um gráfico de ambas as estratégias com

  n=10 e k variando de 1 a 8 é muito "legal". Os valores das probabilidades

  são,  em  percentuais,  para  k  de  1  a  8, respectivamente, segundo as

  estratégias:

        1)Sempre mudar: 11,25%, 12,8571%, 15%, 18%, 22,5%, 30%, 45% e 90%.

        2) 50% das vezes mudar: 10,625%, 11,4286%, 12,5%, 14%, 16,25%, 20%,

  27,5% e 50%. Estou usando o EXCEL. Não sei se poderia enviar uma tabela?

        Isto implica dizer que sempre:

        ((n-1)/n)*(1/(n-1-k))  > 1/2*(((n-1)/n)*(1/(n-1-k))+1/n)=1/2*((n-1)

  +(n-1-k)/(n*n-1-k))= 1/2*(2n-2-k)/(n*(n-1-k))=(n-1-k/2)/(n*(n-1-k)) O que

  verdade para qualquer k.

        Acredito  ainda  que é provável que isto ocorra para qualquer outro

  percentual diferente de 50% de mudança na segunda estratégia.

        É  razoável  pensar  que  percentuais  de  mudança  maiores que 50%

  diminuem  a  diferença entre as estratégias, mas é provável que a segunda

  opção  sempre  se  desenvolva abaixo da primeira. Sei que não provei esta

  afirmação, chutei-a, portanto.

        Vamos  a tentativa: seja p ? o percentual das vezes que trocamos na

  segunda escolha. A chance de se sair com uma laranja boa é:

                    ((n-1)/n)*(1/p)*(1/(n-1-k))+(1/n)*(1/(1-p))

        Queremos  provar,  para  todo  p  (percentual de 0 a 100) que, e se

  não,...:

        ((n-1)/n)*(1/(n-1-k))> ((n-1)/n)*(1/p)*(1/(n-1-k))+(1/n)*(1/(1-p))

        Simplificando, temos que a expressão acima equivale:

                           (n-1)/(n-1-k) < -p/((p-1)^2)

        Como 0<k<(n-1), o lado esquerdo é maior que 1, logo:

                       1< -p/((p-1)^2) sss p^2 ? p + 1<0 sss

        Eureka!  O  que  é verdadeiro, pois que, a>0 e delta é menor. Logo,

  não  existe  raiz,  isto é, para qualquer valor de p, vale a desigualdade

  acima.



        No seu problema, admitindo que a equação (1) acima é a solução.

        1)  Para a estratégia de sempre mudar: seja n=10, m variando de 1 a

  20  e  k de 1 a 19, continuando com o EXCEL, temos: uma matriz A(tabela).

  Como  era  de  se esperar são válidos somente os dados abaixo da diagonal

  principal,  pois  que  k  deve  ser  menor  que n. Nesta matriz A, m está

  decrescente na vertical e m crescente na horizontal.

  2)  Para a estratégia de 50% das vezes mudar: a chance é:

       (m/(n+m))*1/2*(n/n+m-k-1)       +(n/(n+m))*1/2      +      (n/(n+m))

  *1/2*(n-1)/(n+m-k-1)



        Simplificando, fica: (n/(n+m))*(n+m-k/2-1)/(n+m-k-1).

        Afirmar que (n-1) > (n/n+m)*(n+m-k/2-1) para quaisquer valores de m

  e  n, sempre, é impossível para mim. Na realidade, fazendo nova matriz B,

  agora  para esta estratégia, para os mesmos valores de n, m e k, e ainda,

  uma  terceira  matriz  C=  A-B, há valores negativos em C, isto é, B>A, a

  segunda  estratégia  supera a primeira. Por exemplo, os conjuntos: (n=10,

  m=7 a 20, k=1); (n=10, m=11 a 20, k=2); (n=10; m=16 a 20; k=3).

        Talvez  seja possível provar, e ainda com facilidade para alguns de

  nós,  não  para  mim,  que:  fixando-se  valores  para  k,  a  partir  de

  determinados valores de m em função de n, seja a segunda opção melhor que

  a primeira.

        Bem, isto está muitíssimo grande, logo acredito que deve haver erro

  de conta. Também pergunto: será que não há erro de raciocínio?



  Um forte abraço, João Carlos.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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