# Re: [obm-l] serie incompleta

Oi, Luís.

Esse deu um certo trabalho. Veja só:

Seja w = e^(i*2Pi/3) = -1/2 + i*raiz(3)/2.

Então:
w^2 = e^(i*4Pi/3) = -1/2 - i*raiz(3)/2

Além disso, para todo n >= 0, teremos:
w^(3n) = 1,
w^(3n+1) = w,
w^(3n+2) = w^2,
(w^2)^(3n) = 1,
(w^2)^(3n+1) = w^2,
(w^2)^(3n+2) = w.

Também sabemos que, para todo complexo z:
e^z = SOMA(n>=0) z^n/n!

Para simplificar, façamos:
A = SOMA(n>=0) 1/(3n)!
B = SOMA(n>=0) 1/(3n+1)!
C = SOMA(n>=0) 1/(3n+2)!

Assim, queremos calcular o valor de B.

De cara, temos que:
e = A + B + C    (1)

Também:
e^w = SOMA(n>=0) w^n/n! =
SOMA(n>=0) [1/(3n)! + w/(3n+1)! + w^2/(3n+2)!] =
SOMA(n>=0) [1/(3n)! - (1/2)/(3n+1)! - (1/2)/(3n+2)!] +
+ i*raiz(3)/2*SOMA(n >=0)  [1/(3n+1)! - 1/(3n+2)!]  =
A - B/2 - C/2 + i*raiz(3)/2*(B - C)

e^(w^2) = SOMA(n>=0) (w^2)^n/n! =
SOMA(n>=0) [1/(3n)! + w^2/(3n+1)! + w/(3n+2)!] =
SOMA(n>=0) [1/(3n)! - (1/2)/(3n+1)! - (1/2)/(3n+2)!] -
- i*raiz(3)/2*SOMA(n>=0) [1/(3n+1)! - 1/(3n+2)!] =
A - B/2 - C/2 - i*raiz(3)/2*(B - C)

De modo que:
e^w + e^(w^2) = 2A - B - C    (2)

[e^w - e^(w^2)]/[i*raiz(3)] = B - C    (3)

As equações (1), (2) e (3) resultam num sistema linear 3x3, cuja solução é:

A = (e + e^w + e^(w^2))/3
B = (2e - (1+i*raiz(3))*e^w - (1-i*raiz(3))*e^(w^2))/6
C = (2e - (1-i*raiz(3))*e^w - (1+i*raiz(3))*e^(w^2))/6

Ou seja,
A = (e + e^w + e^(w^2))/3
B = (e - e^(w + i*Pi/3) - e^(w^2 - i*Pi/3))/3
C = (e - e^(w - i*Pi/3) - e^(w^2 + i*Pi/3))/3

Agora, vamos calcular as parcelas de B:
e^(w + i*Pi/3) =
e^(-1/2 + i*(raiz(3)/2 + Pi/3)) =
e^(-1/2)*cis(raiz(3)/2 + Pi/3)

e^(w^2 - i*Pi/3) =
e^(-1/2 - i*(raiz(3)/2 + Pi/3)) =
e^(-1/2)*cis(-raiz(3)/2 - Pi/3)

Desta forma:
e^(w + i*Pi/3) + e^(w^2 - i*Pi/3) =
2*e^(-1/2)*cos(raiz(3)/2 + Pi/3)

Logo:
B = (e - 2*e^(-1/2)*cos(raiz(3)/2 + Pi/3))/3

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, May 08, 2003 12:54 PM
Subject: [obm-l] serie incompleta

> Sauda,c~oes,
>
> Calcule   S = 1 + 1/4! + 1/7! + .... =
> \sum_{n>=0} 1 / (1 + 3n)!
>
> []'s
> Luís
>
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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