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[obm-l] Re: [obm-l] Por geo. analitica e plana



Talvez a solução tenha ficado com algumas partes mal explicadas. Vamos tentar
explicar melhor algumas coisas. 

Vamos falar primeiro sobre homotetia no plano. Seja O um ponto do plano.
Uma homotetia T de centro O e constante
k é uma transformação no plano que leva cada ponto do plano A diferente
de O em outro ponto do plano A' tal que são satisfeitas as duas condições
abaixo:
i) A, O e A' são colineares;
ii) A'O/AO = k 
 Diremos que T(A)=A'
 Vale ressaltar que k pode ser qualquer valor real diferente de zero. De
fato, levando em conta em ii) as direções de A'O e AO,  k menor do que zero
significa que A'O e AO têm sentidos contrários ( logo O fica entre A e A'
) e quando k>0, A'O e AO têm o mesmo sentido, o que é equivalente a A' estar
na semi-reta OA.
  Afirmação: uma homotetia leva um dois pontos A, B em outros dois A', B'
tais que AB é paralelo a A'B'. 
  De fato, se T(A)=A' e T(B)=B', temos que A'O/AO=k=B'O/BO, que é o teorema
de Tales, donde AB//A'B'.
  Da afirmação acima, decorre que homotetia preserva colinearidade, já que
se A, B, C são colineares então A'B'//AB e A'C'//AC. Como AB e AC são a
mesma reta, temos que A', B',C'  são colineares ( faça uma figura. Fica
bem fácil de perceber ). 
  Como uma última observação, T preserva concorrência.
  Agora já podemos resolver o problema!

 Solução por geometria plana: seja T a homotetia de centro G e razão -2.
Vamos mostrar que T(O)= H. Veja que, se mostrarmos isso, teremos que O,
G e H são colineares e, além disso, que HG/GO=2.
 Mas veja que se M é o médio de BC, então T(M)= A, pois o baricentro G divide
cada mediana em duas partes na proporção 2:1. Assim, a mediatriz l de BC,
que passa por M e é perpendicular a BC,  é levada numa reta paralela a l
( logo perpendicular
a BC ) que passa por A. Mas essa reta é exatamente a altura relativa a BC.
Assim, cada mediatriz é levada na altura relativa ao mesmo lado que essa
mediatriz divide. Assim, o circuncentro O, que é a interseção das mediatrizes,
é levado na interseçao das alturas, que é o ortocentro, ie., T(O)=H, como
queríamos.                                              


 Vou apenas mencionar a prova analítica: vamos considerar AB o vetor de
origem A e extremidade B. Considere O a origem. Então é possível provar
que ( agora estamos considerando H como o ortocentro mesmo! ) OH = OA+OB+OC,
OG=(OA+OB+OC)/3 (tente provar isso!). Daí, OH=3OG, donde o resultado segue.
 
 Ateh mais,
  Yuri

-- Mensagem original --

>
>Caro Jorge,
>        A Demonstração da reta de Euler por Geometria Plana segue abaixo:
>
>        Sejam  A,  B  e  C  os  vértices  do  triângulo.  Sejam  O, B e
C
>o
>
>  ortocentro,  baricentro  e circuncentro deste triângulo, respectivamente.
>
>  Sejam M e N os médios de BC e AC, respectivamente.
>
>        Os  triângulos  CMN  e  OAB são semelhantes, pois que são paralelos
>
>  dois a dois: MN e AB, CM e OA, CN e BO. A razão da semelhança é 1/2,
pois
>
>  que MN = AB/2.
>
>        Seja  K  é  a intersecção de OC com AM. Os triângulos AOK e MCK
são
>
>  semelhantes,  pois  que  OKA  =  CKM  (OPV) e AO é paralelo a CM. Como
>da
>
>  primeira semelhança (parágrafo acima) CM = AO/2, então KM = KA/2, então
>K
>
>  é  o  baricentro de ABC, isto é, K = B. Então, O, B e C são colineares,
>e
>
>  ainda, BC = OC/3.
>
>
>
>  Um forte abraço, João Carlos.
>
>
>
>                                                                      
 
>                                       
>                      "jorge.jf"                                      
 
>                                       
>                      <jorge.jf@bol.com.br>         Para:     obm-l@mat.puc-rio.br
>                             
>                      Enviado Por:                  cc:               
 
>                                       
>                      owner-obm-l@sucuri.mat        Assunto:  [obm-l] Por
>geo. analitica e plana                
>                      .puc-rio.br                                     
 
>                                       
>                                                                      
 
>                                       
>                                                                      
 
>                                       
>                      04/05/2003 01:42                                
 
>                                       
>                      Favor responder a                               
 
>                                       
>                      obm-l                                           
 
>                                       
>                                                                      
 
>                                       
>                                                                      
 
>                                       
>
>
>
>
> Demonstrar analiticamente que o baricentro, o
>circuncentro e o ortocentro de qualquer triângulo são
>colineares. A reta de colineridade é denominada Reta de
>Euler.
>
> Peço aos colegas também a demonst. geométrica plana.
>
>         Um abraço e obrigado.
>
>
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