[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] potências
Ola Prof Nicolau e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Faz tempo que nao desfruto do prazer de escrever pra esta nossa lista. O
trabalho em dois papers que pretendo publicar estao ocupando bastante o meu
tempo. Dando asas ao ensejo que o carissimo Prof Nicolau suscitou com sua
resposta, vou falar um pouco sobre esse tema, bastante rico alias e que
recebeu a atençao do Conway, não faz muito tempo.
Se nao me falha a memoria, Pascal foi o primeiro cara a obter a expressao
das potencias M-esimas dos primeiros numeros naturais. Ele ganhou um premio
por este trabalho, na epoca de grande interesse. Mas, de longe, Bernoulli
obteve a expressao mais bela e sintetica.
Com efeito, Bernoulli mostrou que :
1^P + 2^P + ... + N^P = N^P + Si{0,P : [ (Bi*P!)/(i!*(P-i+1)!)]*N^(P-i+1) }
onde Bi é o i-esimo numero de Bernoulli e Si{0,P : F(i) } = F(0)+F(1) + ...
+ F(P)
e Bi=0 e i e impar e maior que 3.
Esta expressao em parte ja sugere que os numeros de Bernoulli tem grande
poder de exposicao. Esses numeros podem ser expressos atraves de numeros
binomiais, a saber :
Bn = Si{0,n : (1/(i+1))*Sj{ 0,i : ((-1)^j)*BINOM(i,j)*(j^n) } }
onde BINOM(A,B)=Numero Binomial de numerador A e denominador B=combinacoes
de A elementos tomadas B a B.
A expressao em termos de numeros de Bernoulli para a soma das potencias
P-esimas dos primeiros N numeros naturais e a bais sintetica e elegante que
eu conheco. Conway, no "Livro dos Numeros", fala sobre numeros figurados e
da uma nova expressao ( porem longa e feia ) para estas somas.
Eu, ha muito tempo, parti do conceito de ordem de uma progressao aritmetica
e consegui exprimir estas somas com outra cara, caracterizando os
coeficientes de um "polinomio de numeros binomiais". A titulo de
exemplificacao :
1^3 + 2^3 + ... + N^3 = A*BINOM(N,1)+B*BINOM(N,2)+C*BINOM(N,3)+D*BINOM(N,4)
onde A=1^3, B=2^3 - 1^3, C= 3^3 - 2*2^3 + 1^3 e D=4^3 - 3*3^3 + 3*2^3 - 1^3
1^4 + ... + N^4 =
A*BINOM(N,1)+B*BINOM(N,2)+C*BINOM(N,3)+D*BINOM(N,4)+E*BINOM(N,5)
onde : A=1^4, B=2^4 - 1^4, C= 3^4 - 2*2^4 + 1^4 e D=4^4 - 3*3^4 + 3*2^4 -
1^4 e
E= 5^4 - 4*4^4 + 6*3^4 - 4*2^4 + 1^4
e assim sucessivamente. Como se ve, os numeros de Bernoulli nao so resolvem
de forma elegante a soma das potencias M-esimas como tem muitas outras
aplicacoes. Em verdade, eu sempre suspeitei que esses numeros parecem ser a
ligacao entre entre o mundo discreto da Teoria dos numeros e o mundo
continuo da analise... Esses numeros tem relacoes com desenvolvimentos em
serie e solucoes de complexas equacoes trigonometricas, aquelas nas quais as
varias "saem para fora", tipo :
senX - XcosX = pi/2 ( parte das eq parametricas da evoluta do circulo,
problema do cavalo do presidente ).
Se nao me falha a memoria foi o Conway que mostrou :
x*cos(x) = Si{0,INF :((-1)^i)*[(2x)^2i/(2i)!]*B2i } onde B2i e o 2i-esimo
numero de bernoulli.
Este tema e bastante vasto e leva a muitas surpresas. Em momento oportuno eu
volto a falar sobre ele.
Um Abraco a todos !
Paulo Santa Rita
3,1641,200503
>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] potências
>Date: Tue, 20 May 2003 15:28:28 -0300
>
>On Tue, May 20, 2003 at 06:03:16PM +0000, Paulo Santa Rita wrote:
> > >Se m e n são números inteiros positivos ímpares, o
> > >resto da divisão do número 1^m + 2^m + ... + (n-1)^m
> > >por n é...
> > >
> > >Resposta: zero.
> >
> > Um teorema ensinado a alunos de 2 grau diz que a soma das potencias
>M-esimas
> > dos N primeiros numeros naturais é um polinomio na variavel N e de grau
>M+1.
> > Para o seu caso, Seja P este polinomio. Assim : P=f(N). Quando vale f(0)
>?
> > Zero ! ... Pois a soma das potencias M-esimas dos "zero primeiros"
>numeros
> > naturais deve ser zero ... Segue que P=f(N) nao tem termo independente
>...
> > Logo ele é divisivel por N.
>
>Acho que você queria dizer P(n) = 0^m + 1^m + ... + (n-1)^m.
>Este polinômio é múltiplo de n como polinômio,
>ou seja, podemos escrever P(n) = n*Q(n) onde Q é outro polinômio.
>O que não me parece óbvio é que Q assuma valores inteiros nos inteiros.
>
>Por exemplo, seja p(n) = (n^3 - n)/3.
>Observe que p(n) é inteiro para todo inteiro n.
>Podemos escrever p(n) = n * q(n) onde q(n) = (n^2 - 1)/3.
>Mas agora q(0) = -1/3...
>
>Acho que vale a pena tornar este ponto mais claro.
>
>[]s, N.
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================
_________________________________________________________________
MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================