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RES: RES: [obm-l] Medida Exterior
Eu conheco um
exemplo de conjunto nao mensuravel, mas a sua descricao eh um tanto extensa. Ele
de fato se baseia em translacoes por racionais. Nao sei se existe um com
descricao simples, talvez haja.
E realmente importante lembrar que,
se {A_n } eh uma colecao finita ou infinita enumeravel de
conjuntos disjuntos 2 a 2 que satisfaca com desigualdade estrita aa
sub-aditividade da medida externa, entao nao eh possivel que todos os A_n sejam
mensuraveis. Hah um teorema que diz que, se os A_n forem todos
mensuraveis, então m(Uniao( A_n)) =
Soma(m(A_n)).
Além disto,
conjuntos enumeraveis sempre tem medida externa nula e conjuntos com medida
externa nula sao sempre mensuraveis. Logo, conjuntos enumeraveis sao sempre
mensuraveis e tem medida de Lebesgue nula. Isto contitui mais uma interessante
prova de que intervalos nao sao enumeraveis (excluindo-se o caso
de.intervalos como [a,a], se os considerarmos como
intervalos).
Um amigo meu parece que fez o problema, ainda nao olhei mas a ideia dele
foi essa mesma de vcs: Podemos construir um conjunto A contido em [0,1] nao
mensuravel a Lebesgue, se fizermos m*(A u [0,1]-A) teremos 1 menor ou igual a
1 o q nao resolve. A ideia dele foi transladar o conjunto A por racionais e ai
ele chegou a umas conclusoes q ainda nao olhei, mas ele disse que deu
certo.