Re: [obm-l] MAIS UM PROBLEMA INTERESSANTE

[gugu@xxxxxxx]

   Caro Klaus,
   Vamos lá:
i) Como o coeficiente líder de f é 1 e o coeficiente constante é 2, as possíveis
raízes racionais de f são 1,-1,2 e -2, as quais não são raízes de f, como se
verifica facilmente. Assim, se f não é irredutível, f(x) pode ser fatorada como
f(x)=(x^2+ax+b)(x^3+rx^2+sx+t), com a,b,r,s,t inteiros. Temos então a+r=-1,
b+ar+s=-4,t+as+br=4,at+bs=0 e bt=2. Agora temos dois casos:
i.1) |b|=2 e |t|=1: at+bs=0 implica que a é par. t+as+br=4 implica que t é par,
absurdo, pois |t|=1.
i.2) |b|=1 e |t|=2: at+bs=0 implica que s é par. t+as+br=4 implica que r é par.
Assim, b+ar+s=-4 implicaria que b é par, absurdo, pois |b|=1.
    Isto termina a prova de que f é irredutível.
    Abraços,
              Gugu

P.S.: Caso haja dúvidas na afirmação de que f tem duas raízes distintas entre 1
e 2, basta observar que f(1)=f(2)=2>0 e f(3^(1/2))=5-3.3^(1/2)<0.

Citando Klaus Ferraz <klausferraz@yahoo.com.br>:

> Olá mestre,
>      nao entendi como provo que o polinomio (x)=x^5-x^4-4x^3+4x^2+2 é um
> polinômio irredutível em Z[x].
>
>
> gugu@impa.br escreveu:
>   Algumas sugestões:
> i) Prove (mais ou menos no braço) que f(x)=x^5-x^4-4x^3+4x^2+2 é um polinômio
> irredutível em Z[x].
> ii) Conclua que, se r^n=a, onde a é racional, para alguma raiz r de f(x)=0
> então
> f(x) divide o polinômio x^n-a, e logo todas as raízes de f têm o mesmo
> módulo.
> Verifique então que f tem duas raízes reais distintas entre 1 e 2, o que nos
> leva a um absurdo.
> Abraços,
> Gugu
>
> Citando Joÿffffe3o Silva :
>
> > (OBM - 1995) Mostre que a n-ésima raiz de um número racional (sendo n um
> > inteiro positivo) não pode ser raiz do polinômio x^5 - x^4 - 4x^3 + 4x^2 +
> 2.
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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