[obm-l] Re: Provar: Conjunto fechado, limitado e NÃO compacto

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas
sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a
sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos
demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia
(sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de
V.  Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na
posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais,
de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma
subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma
subsequencia eh convergente. Como espacos metricos sao
compactos sse todas suas sequencias contiverem uma
subsequencia convergente, concluimos que a bola
unitaria fechada nao eh compacta.

Por afinidade, concluimos que nenhuma bola fechada de
V eh compacta. Em V, a condicao de Heine Borel nao
vale. Bolas fechadas sao limitadas mas nao totalmente
limitadas.   

Artur

--- Ronaldo Luiz Alonso <rlalonso@lsi.usp.br> wrote:

> Olá Daniel:
> 
> > Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1,
> ..., a_k)  ...
> 
> ... Vc não quiz dizer elementos de A?  Não?
> 
> > Assim, nenhuma subcobertura finita de C pode
> cobrir A, e então A não é 
> > compacto.
> > Com pequenas alterações, esse resultado vale para
> todo espaço real de 
> > dimensão
> > infinita: a bola unitária nunca é compacta.
> 
>   Certo. Bonita demonstração.
> 
> >
> > []s,
> > Daniel
> >
> >
> >
> > '>'-- Mensagem Original --
> > '>'Date: Wed, 26 Apr 2006 10:46:27 -0300
> > '>'Subject: [obm-l] Provar: Conjunto fechado,
> limitado e N
> > '>' ÃO compacto
> > '>'From: "alencar1980" <alencar1980@bol.com.br>
> > '>'To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > '>'Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > '>'
> > '>'
> > '>'Pessoal,
> > '>'
> > '>'Será que alguém poderia me ajudar a provar que
> o conjunto "A" abaixo
> > é fechado,
> > '>'limitado e não-compacto.
> > '>'
> > '>'Considere o conjunto
> > '>'
> > '>'{ (x_{n}) : apenas um número finito de x_{n}  é
> não-nulo}
> > '>'
> > '>'com a norma ||x||:=max_{n nos naturais}
> {|x_{n}|}.
> > '>'
> > '>'Obs.: Na definição acima n pertence aos
> naturais. Por exemplo, 
> > (1,2,3,4,5,...,N,0,0,\...)
> > '>'pertence ao conjunto acima.
> > '>'
> > '>'Mostre que
> > '>'
> > '>'A = {x : ||x||<=1} é fechado e limitado mas
> não-compacto.
> > '>'
> > '>'Obrigado por qualquer ajuda.
> > '>'
> > '>'[]'s
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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