Re: [obm-l] Problema de geometria plana (56)

[ricardo.bioni@xxxxxxxxx]

1) Desenhe as bissetrizes internas de um triângulo ABC e o encontro delas será o incentro. Desenhando os segmentos OA, OB e OC, teremos o triângulo AOB com os ângulos AOB, A/2 e B/2, o triângulo BOC com os ângulos BOC, C/2 e B/2, e o triângulo AOC com os ângulos AOC, A/2, B/2. Assim:
Do triângulo AOB: AOB = 180° - A/2 - B/2 = 180° - (A + B)/2 = 180° - (180° - C)/2 = 90° + C/2.
Do triângulo BOC: BOC = 180° - B/2 - C/2 = 90° + A/2
Do triângulo AOC: AOC = 180° - A/2 - C/2 = 90° + B/2

2) Com as divisões dos triângulos AOB, AOC e BOC, onde O é o incentro, sabemos que (pela observação da questão 1) algum dos ângulos 90° + A/2, 90° + B/2 e 90° + C/2 deve ser igual a um dos ângulos A, B ou C, pois algum dos triângulos AOB, AOC e BOC deve ser semelhante a ABC. Seja BOC o triângulo semelhante. Não é possível 90° + A/2 = A, pois A < 180°, mas é possível que 90° + A/2 = B ou 90° + A/2 = C. Suponhamos que 90° + A/2 = B. Assim, 90° + A/2 = B => 2B - A = 180° => 180° - A - B = B - 2A => C = B - 2A. Não é possível que B/2 = A, pois C > 0°, então B/2 = C, donde C = 2A, B = 4A.
A + B + C = 180° => A + 2A + 4A = 180° => A = (180/7)°, B = (720/7)° e C = (360/7)°.