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Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico



Obrigado pela solucao e pela licao, Mestre Nehab,
tambem era absolutamente previsivel a sua participacao. Ironicamente, eu esparava de voce uma solucao trigonometrica e do Ponce a puramente geometrica. Isso prova que os verdadeiros mestres, apesar de terem suas predilecoes, sabem caminhar em qualquer terreno.

Um abraco,
Palmerim

Em 12/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab <carlos@nehab.net> escreveu:
Oi, Palmerim,

Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar comigo.   Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução geométrica.

A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade:
1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde  A = 20; traçam-se por B e C cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB;
2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100.  marca-se D no prolongamento de AB de tal forma que AD = BC.  Pergunta-se o angulo BCD.

O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a geometria do polígonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 lados) e suas diagonais.

Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo Nicolau)  cujo capítuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capítulo é simples.

Copie este link e baixe o pdf:
http://www.google.com.br/url?sa=t&ct=res&cd=2&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdf&ei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcG&usg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Q&sig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g

Bem, agora vamos à solução do problema que você propôs:

Lema (que está demonstrado no texto mencionado):
Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu círculo circunscrito.

Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que:
a) B é o centro do octadecágono e BC o raio;
b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC;

Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus.

Abraços,
Nehab

PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ...  que ela desenvolve de uma forma muito elegante e interessante.   Para os interessados neste problema, especialmente, veja o link  http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml  do maravilho site www.cut-the-knot.com.  Nenhum amante da geometria pode desconhecer este site...

At 10:20 12/9/2007, you wrote:
Maravilha!!!

Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao "puramente geometrica", agradeço.


Abracos,
Palmerim

Em 12/09/07, Rogerio Ponce < rogerioponce-obm@yahoo.com.br
> escreveu:
Ola' Palmerim e colegas da lista,
vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria...

Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC.
Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F.

Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus.
Assim,
tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF

Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que:
EF=cos10
FB=sin10

Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que
DC= sin20 / sin100

Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos
tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10

Substituindo sin20 por  2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem:
tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10

Entao, lembrando da velha formuleta
 (1 - sinA) / cosA  = tg ( 45 - A/2 ) ,

finalmente podemos escrever:
tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40

Que nos da' x=30 graus.

[]'s
Rogerio Ponce

Palmerim Soares < palmerimsoares@gmail.com> escreveu:
 Ola pessoal
 
Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao "puramente geometrica" (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo:
http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg
 
Obrigado,
 
Palmerim
 


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