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[obm-l] identidade binomial [era: RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)]



Sauda¸c~oes,
 
Oi Rodrigo,
 
> coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender
Isso mesmo. Gostei de ver a imagem. Legal.
 
> eu queria saber o que é o \delta_{n,0}
\delta_{n,0}=1 para n=0 e 0 para n\not= 0.
Dando valores para n na identidade você
entende melhor.
 
> será que não da para provar usando alguma propriedade
> de potência fatorial (factorial power)?
Pode ser que sim (teoria das séries hipergeométricas).
Antes recomendo a leitura do livro A=B de Zeilberger e
outros.
 
[]'s
Luis   
 
> Date: Sat, 13 Oct 2007 23:13:56 -0300
> From: rodrigo.uff.math@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
>
> vê se é esse o problema
> http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=view&current=lista.jpg
>
> coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o que é o
> \delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma propriedade
> de potência fatorial (factorial power)?
>
> Rodrigo
> Em 13/10/07, Luís Lopes<qed_texte@hotmail.com> escreveu:
> > Sauda¸c~oes,
> >
> > Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
> > deparei-me com a identidade
> >
> > \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
> > \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
> > = \delta_{n,0} .
> >
> > Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
> >
> > Tentando provà-la, seja
> >
> > S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
> > \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
> >
> > Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
> > onde F(x) é dada por
> >
> > F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
> > (1-x)^{k+1}
> >
> >
> > Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
> >
> > S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
> > \sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
> > }
> >
> > Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
> >
> > Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
> > Dà pra fazer isso?
> >
> > []'s,
> > Luis




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