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Re: Resolvendo x^x^x^x...=2 -- mais limites
Complementando o que o Ralph escreveu abaixo,vale a pena mencionar que
c^c^c^...(ou seja,a sequencia a(n) onde a(0)=1 e a(k+1)=c^a(k) para k>=0)
converge (isto e',tem algum limite) se e somente se c pertence ao intervalo
[e^(-e),e^(1/e)]=[0,0659880358...,1,444667861...] (aqui e=2,718281828459...
e' a base dos logaritmos naturais,dedo pela soma infinita 1+1+1/2+1/6+1/24
+...=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+... ou pelo limite quando n tende a infinito
de (1+1/n)^n.Isso e' o maximo que um agiota pode cobrar depois de um ano por
ter emprestado 1 unidade monetaria a taxa de 100% ao ano(argumentando para
isso que a taxa e' instantanea,ou seja,dividindo o ano e a taxa em um numero
grande de partes).Se c>e^(1/e) a sequencia tende a infinito e se 0<c<e^(-e)
a sequencia oscila e tem dois valores de aderencia.No intervalo
[e^(-e),e^(1/e)] a funcao g(c)=c^c^c^... pode ser definida como o limite da
sequencia supracitada e e' continua e crescente.Sua imagem e' o intervalo
[1/e,e] (de fato sua inversa e' h(y)=y^(1/y),ou seja,g(c)^(1/g(c))=c,como o
Ralph ja' tinha observado).
O fato da sequencia ser crescente se c=raiz(2) (e,mais geralmente,se
c>1) pode ser provado de uma forma um pouco mais elementar,sem derivadas:
a(1)=c>1,e,para n>=1,a(n+1)=c^a(n)>c^a(n-1)=a(n) (usando apenas que a funcao
f(x)=c^x e' crescente se c>1).O fatto da sequencia ser limitada se
c<=e^(1/e) pode ser provado como o Ralph fez para raiz(2):temos sempre
a(n)<e nesse caso.Isso vale para n=0,pois 1<e,e,para n>=1,temos
a(n)=c^a(n-1)<c^e<=(e^(1/e))^e=e,o que prova a afirmacao por inducao.
Abracos,
Gugu
>
> Uma questão essencial é: como interpretar c^c^c^c...? Usando as
>interpretações mais naturais
>
>a(0) = 1
>a(1) = c = c^a(1)
>a(2) = c^c = c^a(2)
>a(3) = c^c^c = c^(c^c) = c^a(3) (não (c^c)^c = c^(c^2))
>a(4) = c^c^c^c = c^(c^(c^c)) = c^a(4) (não ((c^c)^c)^c) = c^(c^3))
>...
>
> A questão então é: para que c temos lim a(n)=2 ?
>
>********
>Você diz:
>> a) Dá para fazer sua equação recair em x^2 = 2, ou seja, x = raiz(2);
>
>Correto. Note que se a(n) é uma seqüência QUE TENHA LIMITE lim a(n) = K,
>e b uma constante positiva, então
>
>lim (b^a(n)) = b^lim(a(n)) =b^K
>
>(basicamente, a exponencial b^x é contínua)
>
> ENTÃO, SE O LIMITE c^c^c^c... EXISTIR (=K):
>
> lim c^a(n) = lim a(n+1) = lim a(n)
> c^K = K
> c = K ^ (1/K)
>
> SE O LIMITE EXISTIR E FOR 2, c=2^(1/2)=raiz(2). Isto quer dizer que
>raiz(2) é a única solução possível, mas temos de verificá-la. Em
>particular, há de se provar que o limite existe, o que não é tão simples
>assim. Neste caso, podemos fazê-lo assim:
>
> (Defina a(n+1)=raiz(2)^a(n); a(0)=raiz(2))
>
> i) Mostre que a(n)<2 por indução
> De fato, a(1)=c=raiz(2)<2
> a(n)<2 => a(n+1)=raiz(2)^a(n) < raiz(2)^2 < 2.
>
> ii) Mostre que a(n) é crescente
> De fato, f(x) = sqrt(2)^x-x > 0 para x < 2
> (Use um gráfico ou cálculo; usando cálculo, note que
>f''(x) = (ln(raiz(2))^2*raiz(2)^x > 0 implica que f é convexa; como
>f(2)=f(4)=0, 2 e 4 são as únicas raízes)
> Como a(n) < 2, temos sqrt(2)^a(n)-a(n)>0 => a(n+1)>a(n)
>
> a(n) crescente limitada implica que há o limite.
>
> ENTÃO escrevemos
>
> lim a(n+1) = lim a(n) => sqrt(2)^K = K
>
> As únicas soluções são 2 e 4. Como a(n)<2, temos K<=2. Então:
>
> c^c^c^c^c... = 2 para c=raiz(2)
>
>
>*********
>Você também diz:
>> b) Também "dá para recair" em 2^x = 2, ou seja, x = 1...
>
> Não. Isso só serve se você definir
>
> a(n+1)=a(n)^c
>
> O que é diferente do que se imagina quando se escreve c^c^c.. sem
>parenteses. Em outras palavras, isso seria correto se olhássemos para:
>
> c
> c^c
> (c^c)^c = c^(c*c) = c^(c^2)
> ((c^c)^c)^c = c^(c*c*c) = c^(c^3)
> ...
>
> Então, SE O LIMITE EXISTIR (=K>0), temos
>
> lim a(n+1) = lim a(n)
> K^c = K => c = 1 (a menos que K=1, então qualquer c serve)
>
> Então c=1 é a única solução POSSÍVEL. Temos de verificá-la. Mas c=1 =>
>lim a(n) = 1, então essa equação não tem soluções.
>
> De fato, c>1 => lim a(n) = +Infinito, isto é, a(n) cresce sem parar;
>0<c<=1 => lim a(n) = 1
>