\chapter{Grupos Quânticos}

{\nobf 1. }Aqui se pretende expor os elementos
de grupos quânticos de
forma simples e direta.
As construções não serão
apresentadas da maneira mais geral
possível, e serão sempre
acompanhadas no exemplo
(já extremamente interessante) do grupo quântico
``mais simples'' $Sl_q(2)$, deformação
do grupo algébrico semisimples $Sl(2)$. Um contexto
definitivamente algébrico será adotado:
por exemplo,
evitaremos menções a álgebras $C^*$, e outros
objetos analíticos. A virtude maior desta
filosofia é destacar claramente
a natureza (co- ou contra- variante)
das operações
envolvidas, dos diversos tipos de produtos,
de cada conceito.

{\nobf 2. }
Não há definição satisfatória
universalmente reconhecida do que seja um grupo
quântico. Todas as propostas
em vigor sugerem a idéia
de {\sl deformação\/} de um objeto clássico,
que pode ser,
por exemplo, um grupo algébrico, ou um grupo
de Lie. E em todas as propostas os objetos deformados
perdem as propriedades de grupo: assim,
``grupos" quânticos não são grupos. O que sempre
se procura preservar nas deformações é
o entendimento das diversas representações
que os objetos admitem.

{\nobf 3. }
Fixemos as idéias postulando
uma dualidade básica que a
Matemática deste século refletiu
em uma quantidade de linguagens
diferentes: por um lado, são estudados
objetos $X$ que possuem uma estrutura geométrica
ou topológica. A tais objetos são associadas
construções algébricas $A(X)$, que podem
ser, por exemplo, álgebras de funções
definidas no conjunto $X$, ou o espaço
de seções de um fibrado vetorial.
Frequentemente gostaríamos de reler
nestas álgebras as estruturas geométricas
originais, isto é, gostaríamos de recuperar
em $A(X)$ nossos objetos iniciais $X$ através
de alguma noção de {\sl espectro\/} $S(A(X))$
da álgebra $A(X)$:
a situação mais desejada é quando
voltamos a ter alguma forma de isomorfismo
$X\simeq S(A(X))$.
O retorno à Geometria a partir das
álgebras $A(X)$ através
de um espectro sugere considerarmos espectros
$S(A)$ de álgebras mais gerais $A$. Tais
espectros são
objetos que possuem ainda uma Geometria reminescente,
quase sempre muito interessante.

{\nobf 4. }
Esta separação básica,
por um lado a Álgebra
em $A$, e por outro a Geometria (ou Topologia)
em $X$ ou em $S(A)$, é uma situação
ideal: os objetos que vemos na realidade
matemática nos chegam frequentemente
misturados. S\~ ao,
por exemplo, grupos topológicos,
ou espaços vetoriais topológicos, objetos
que tem simultaneamente estruturas algébricas
e geométricas de alguma forma
compatíveis. A aplicação
dos funtores usuais $A$ de algebrização 
em um objeto $X$ assim
fornece estruturas algébricas adicionais
sobre os objetos já algébricos $A(X)$, que
passam então a admitir, por dualidade,
co-multiplicações.

{\nobf 5. }
Como um exemplo-paradigma tomamos
um grupo algébrico linear $X$: algebricamente,
um grupo, geometricamente uma variedade...
algébrica (a notação consagrada não
pode evitar armadilhas); além disso, as
operações de grupo são morfismos
de variedades algébricas. O exemplo
que nos será mais caro é o
grupo algébrico $Sl_2(k)$. Como para toda
variedade algébrica, podemos considerar
um funtor de algebrização que associa
a cada variedade $X$ seu anel de funções
regulares $R(X)$. A estrutura adicional de
grupo em $X$ doa, por dualidade à la Yoneda,
uma estrutura de co-algebra em $R(X)$
(definições precisas mais tarde).

Como segundo exemplo-paradigma tomemos
$X$ um grupo de Lie, isto é: geometricamente
uma variedade, algebricamente um grupo, com
a compatibilidade fundamental de
serem diferenciáveis as operações
algébricas. Também aqui se manifesta
o ubíquo $Sl_2$. Um funtor
de algebrização básico para uma variedade
é a consideração de seu fibrado tangente;
no caso do grupo de Lie $X$, este funtor fornece
a álgebra de Lie ${\cal L}(X)$, o espaço
tangente na identidade. Um funtor intra-algébrico
agora asocia a cada álgebra de Lie ${\cal L}$
a álgebra (associativa)
envolvente ${\cal U}({\cal L})$ de forma
universal (este funtor, que deve ser chamado de
funtor de Poincaré-Birkhoff-Witt, é o
adjunto à esquerda do funtor que a cada álgebra
associativa $A$ associa a álgebra de Lie
com o colchete dado da forma ``usual'':
$[a,b]=ab-ba$).

Estes exemplos serão nossos guias.

{\nobf 6. }
Se o objeto inicial $X$ for um objeto assim misto,
dotado de estruturas algébricas e geométricas
simultaneamente, as deformações que procuramos
operam nas álgebras $A(X)$,
enriquecidas por co-multiplicações, para gerar
objetos $A_q(X)$ da mesma natureza
igualmente enriquecida.
O parâmetro $q$ de deformação intervem
nas definições das álgebras $A(X)$
(ou mais simplesmente $A$) de uma forma
que a primeira vista
pode parecer arbitrária: confiamos
então na relevância destas definições
distorcidas que uma quantidade de aplicações
físicas, muitas vezes não relacionadas
entre si, indica.

Poderíamos pensar em aplicar espectros e obter
alguma Geometria em \break $S(A_q(X))$, mas a ênfase
maior das aplicações tem sido em recuperar
a teoria de representações de $X$, que
em geral é equivalente à de $A(X)$, para
as álgebras deformadas $A_q(X)$.

{\nobf 7. }{\it (Sobre estas notas)}
O conceito de grupos
quânticos foi motivado por problemas vindos
de um grande número de situações físicas,
e com isso o entendimento das idéias que motivaram
a teoria requer naturalmente um amplo conhecimento
anterior. No entanto, o trabalho de manipulação
da teoria pode ser efetuado em um nível muito
mais modesto; estas notas procuram contemplar
situações de pré-requisitos bastante diversas.
Idealmente, qualquer leitor com algum interesse
poderia achar nelas um lugar de trabalho matemático
ativo. Alguma informação categórica está
recolhida em apêndice: a mistura de estruturas
que os grupos quânticos exemplificam torna
a linguagem categórica um dado essencial.

\bigskip
\noindent {\bf \'Indice do Cap\'\i tulo 5}
 
\noindent
 {\bf I. Bons Antecedentes Alg\'ebricos}
 \par
 {\bf I.1} Grupos Cl\'assicos: Defini\c{c}\~oes
 \par
 {\bf I.2} A Geometria dos Grupos Cl\'assicos
 \par
 {\bf I.3} A \'Al\-ge\-bra dos Grupos Cl\'assicos
 \par
 {\bf I.4} \'Al\-ge\-bras de Lie e \'Al\-ge\-bras Envolventes
 \par
 {\bf I.5} Representa\c{c}\~oes

 \noindent {\bf II. Grupos Qu\^anticos}
 \par
 {\bf II.1} O Plano Qu\^antico, as Matrizes
 Qu\^anticas e os Grupos Qu\^anticos
 \par
 {\bf II.2} A \'Al\-ge\-bra Envolvente
 \par
 {\bf II.3} M\'odulos
 \vskip 2cm \noindent

\section{Bons Antecedentes Alg\'ebricos}

\subsection{Grupos Cl\'assicos: Defini\c{c}\~oes}


{\sl Grupos cl\'assicos\/} \'e uma
denomina\c{c}\~ao empregada para alguns
grupos de matrizes, ou de classes de matrizes,
em que a opera\c{c}\~ao do grupo prov\^em
do produto matricial. Cada matriz-elemento
de um grupo assim deve ser invers\'{\i}vel,
e logo seu determinante n\~ao se
anula. O primeiro grupo cl\'assico \'e $Gl_n(A)$, 
dito o grupo {\sl linear geral\/},
tendo como conjunto subjacente o
conjunto das matrizes $n\times n$
com determinante n\~ao-nulo
e coeficientes em um anel comutativo
$A$; dotado do produto matricial, $Gl_n(A)$
\'e um grupo.
\par
Se $\mathcal{ U}(A)$ denota o grupo das unidades
de um anel $A$ ent\~ao
o determinante \'e um morfismo de grupos
\begin{equation}
{\rm det}:Gl_n(A)\longrightarrow \mathcal{ U}(A),
\tag{\bf I.1.1}
\end{equation}
cujo n\'ucleo \'e o grupo cl\'assico denotado
por $Sl_n(A)$ e dito o grupo {\sl linear
especial\/}. Assim $Sl_n(A)$ \'e subgrupo
normal de $Gl_n(A)$.

Se o anel $A$ de constantes for um corpo
(comutativo) $k$ ent\~ao o centro $Z_n$ de
$Gl_n(k)$ consiste nos m\'ultiplos escalares
$\lambda Id$ da matriz identidade $Id$, e
logo $Z_n$ \'e isomorfo ao grupo multiplicativo
$\mathcal{ U}(k)=k^*=k\setminus \{ 0\}$.
O grupo quociente $Gl_n(k)/Z_n$ \'e
denotado $PGl_n(k)$ e \'e chamado
de grupo {\sl linear geral projetivo\/}.
O centro de $Sl_n(k)$ \'e $Z_n\cap
Sl_n(k)$ e consiste nos m\'ultiplos
escalares $\lambda Id$ da matriz
identidade $Id$ tais que $\lambda^n=1$.
Assim, o centro de $Sl_n(k)$ \'e
sempre finito, e $
PSL_n(k):=Sl_n(k)/Z_n\cap Sl_n(k)$
\'e dito grupo {\sl linear 
especial projetivo\/}.
Por exemplo,
se $n=2$ e a caracter\'{\i}stica
de $k$ for diferente de 2 ent\~ao
\begin{align}
Gl_2(k)&=\left\{\ \begin{pmatrix}
a &b\\ c&d\end{pmatrix}
\ | \ ad-bc \neq 0 \right\} \notag\\
Sl_2(k)&=\left\{\ 
\begin{pmatrix}a &b\\ c&d\end{pmatrix}\ | \ ad-bc=1
\right\} \notag\\
PSl_2(k)&=\left\{\ 
\begin{pmatrix}a &b\\ c&d\end{pmatrix}\ | \ ad-bc=1
\right\}/\pm Id. \notag
\end{align}

Outros grupos cl\'assicos dependem de formas
bilineares ou semi-lineares
em $V=k^n$; tais formas s\~ao fun\c{c}\~oes
\begin{align}
f(\bullet,\bullet):V\times V&\longrightarrow k \notag\\
(x,y)&\mapsto f(x,y),\notag
\end{align}
e s\~ao sim\'etricas (resp., anti-sim\'etricas)
se, para todo $x,y\in V$, tivermos
$$f(x,y)=f(y,x)\qquad {\rm resp.}
\ f(y,x)=-f(x,y).$$
Se uma tal forma \'e linear nas duas coordenadas
ela \'e dita {\sl bilinear\/}, e \'e dita
{\sl n\~ao-singular\/} se n\~ao existe
$x_0$ tal que $f(x_0,x)=0$ para todo $x$.
Trataremos ainda de
formas no caso em que o corpo $k$ tem uma
involu\c{c}\~ao $\alpha\mapsto \overline{\alpha}$
(o caso paradigma \'e $k={\bf C}$, o corpo
dos complexos, com a conjuga\c{c}\~ao), e
a forma \'e {\sl hermitiana\/}, no sentido
em que satisfaz
$$f(x,y)=\overline{f(y,x)}.$$
Neste caso assume-se que a forma \'e linear
na primeira coordenada e anti-linear na
segunda, isto \'e,
$$f(x,\alpha_1y_1+\alpha_2y_2)=
\overline{\alpha_1}f(x,y_1)
+\overline{\alpha_2}f(x,y_2).$$

Dado um espa\c{c}o vetorial $V$ de dimens\~ao
$n$ sobre um corpo $k$ e
uma forma $f(\bullet ,\bullet)$ de qualquer
destes tipos, as matrizes $M$ em $Gl_n(k)$ que
preservam esta forma, no sentido de satisfazerem
$$f(Mx,My)=f(x,y)\qquad {\rm para\ todos\ }
x,y\in V$$
formam um grupo cl\'assico.
Se a forma $f(\bullet ,\bullet)$ \'e n\~ao-singular
e anti-sim\'etrica ent\~ao o grupo de matrizes
$n\times n$ com coeficientes em $k$
que preservam esta forma \'e chamado o
{\sl grupo simpl\'etico\/}, denotado por
$Sp_n(k)$. A estrutura de grupo de $Sp_n(k)$
independe da escolha da forma bilinear
antisim\'etrica, que pode ser tomada como
\begin{align}
f(x,y) &= \sum_{1\le i\le n/2}
(x_{2i-1}y_{2i}-x_{2i}y_{2i-1})= x^tAy,\notag\\
A &= \begin{pmatrix}
B& 0&\cdots &0\\
0&B&\cdots &0\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&\cdots &0&B \end{pmatrix} \notag\\
B &= \begin{pmatrix}0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}. \notag
\end{align}
Assim, $n$ \'e sempre um n\'umero par.
As matrizes $M\in Sp_n(k)$ s\~ao descritas
pela condi\c{c}\~ao
$$M^tAM=A.$$
O centro $Z(Sp_n(k)$ de $Sp_n(k)$
consiste nas matrizes
$M=\lambda Id$ onde $\lambda =\pm 1$,
e o quociente $Sp_n(k)/Z(Sp_n(k))$ \'e
dito o grupo {\sl simpl\'etico projetivo\/}.
Se $n=2$ ent\~ao
$$Sp_2(k)=Sl_2(k)\ {\rm e}\ PSp_2(k)=PSl_2(k).$$
\par
No caso de $f(\bullet ,\bullet)$ ser n\~ao-singular,
bilinear e sim\'etrica, e o
corpo $k$ ter caracter\'{\i}stica diferente de 2,
os grupos de matrizes que preservam
$f(\bullet ,\bullet)$ s\~ao os chamados
{\sl grupos orto\-go\-nais\/}; em geral a classe
de isomorfismo destes
grupos depende da escolha de $f(\bullet ,\bullet)$, e
logo estes grupos devem vir denotados por
$O_n(k,f)$. O n\'umero de formas $f(\bullet ,\bullet)$
que geram grupos n\~ao isomorfos depende do corpo
de constantes $k$. O determinante de qualquer
matriz em $O_n(k,f)$ \'e $\pm 1$, e o grupo
de matrizes de determinante um
em $O_n(k,f)\cap Sl_n(k)$ \'e denotado por $SO_n(k,f)$.
O centro $Z(O_n(k,f))$ consiste
nas matrizes
$M=\lambda Id$ onde $\lambda =\pm 1$,
e o quociente $SO_n(k,f)/Z(O_n(k,f))\cap
SO_n(k,f)$ \'e denotado $PSO_n(k,f)$.
O n\'ucleo $SO_n(k,f)$ de
$$\det:O_n(k,f)\longrightarrow \{ \ \pm 1
\ \}$$
\'e abeliano, e deve conter os comutadores
$M_1M_2M_1^{-1}M_2^{-1}$. O grupo comutador
$\Omega_n(k,f)$, gerado por estes comutadores,
\'e assim um subgrupo de $SO_n(k,f)$. Definimos
$$P\Omega_n(k,f)=\Omega_n(k,f)/(Z(O_n(k,f))
\cap \Omega_n(k,f)).$$
\par
No caso de $k$ ser dotado de uma involu\c{c}\~ao
$\alpha\mapsto \alpha$ e
$f(\bullet ,\bullet)$ ser hermitiana os grupos
de matrizes n\~ao-singulares que preservam esta
forma s\~ao os {\sl grupos unit\'arios\/}; como no caso
dos grupos ortogonais, os grupos unit\'arios
dependem da escolha de $f(\bullet ,\bullet)$,
e devem ser denotados por $U_n(k,f)$. As matrizes
em $U_n(k,f)$ de determinante um formam um
subgrupo $SU_n(k,f)$. O centro $Z(U_n(k,f)$
de $U_n(k,f)$ \'e formado
por $\{ \lambda Id\ |\ \lambda \overline{\lambda}=
1\}$, e
$$Z(SU_n(k,f))=Z(U_n(k,f))\cap SU_n(k,f).$$
Denotamos
$$PU_n(k,f)=U_n(k,f)/Z(U_n(k,f))\qquad
{\rm e}\qquad
PSU_n(k,f)=SU_n(k,f)/Z(SU_n(k,f)).$$

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1. Grupos cl\'assicos sobre um corpo
finito.} O corpo finito com $q=p^r$
elementos ser\'a denotado por ${\bf F}_q$.
Temos
\begin{align}
PSl_2({\bf F}_2) &= Sl_2({\bf F}_2) \notag\\
&= \left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1&0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1&0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1&1 \end{pmatrix} \right\} \notag
\end{align}
donde
$PSl_2({\bf F}_2)$ \'e isomorfo ao
grupo $S_3$ e o subgrupo
\[ \left\{ \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1&0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1&1 \end{pmatrix} \right\} \]
\'e normal em $PSl_2({\bf F}_2)$.
\par
Sobre ${\bf F}_3$ o grupo
$PSl_2$ consiste de classes de matrizes;
a descri\c{c}\~ao abaixo identifica
cada matriz com a classe a que pertence:
\begin{align}
PSl_2({\bf F}_2) &= Sl_2({\bf F}_2)/\pm Id \notag\\
&= \{ \begin{pmatrix} 1  &  0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \notag\\
 & 
\begin{pmatrix} 1  &  1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1  &  2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0  &  1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0  &  1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0  &  2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \}. \notag
\end{align}
donde
$PSl_2({\bf F}_3)$ \'e isomorfo ao
grupo $A_4$ e 
o subgrupo $$\left\{\ \begin{pmatrix}1 & 1
\\ 1&2\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2&2\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0 & 1\\ 2&0\end{pmatrix}\ \right\},$$
isomorfo a ${\bf Z}/2{\bf Z}\times
{\bf Z}/2{\bf Z}$,
\'e normal em $PSl_2({\bf F}_3)$.
\par
Estes s\~ao, no entanto,
os \'unicos casos em que
$PSl_2({\bf F}_q)$ n\~ao \'e simples.
Para $n=2$ e $q\ge 4$, e para $n> 2$
os grupos $PSl_2({\bf F}_q)$ s\~ao
simples e formam a fam\'{\i}lia
mais trat\'avel (a parte os grupos
c\'{\i}clicos de ordem prima e os
grupos alternados $A_n$ para $n\ge 5$)
no grande teorema de classifica\c{c}\~ao
de grupos finitos simples (ver o material
recolhido em {\bf 3.} abaixo). A ordem de
$PSl_n({\bf F}_q)$  \'e dada por
\[
card(PSl_n({\bf F}_q)) =
\frac{q^{\binom{n}{2}}}{\mdc(n,q-1)}
\prod_{2\le i \le n}(q^i-1).
\]
Temos $PSp_2({\bf F}_2)=PSl_2({\bf F}_2)$
isomorfo a $S_3$ e
$PSp_2({\bf F}_3)=PSl_2({\bf F}_3)$
isomorfo a $A_4$. Tamb\'em $PSp_4({\bf F}_2)$
n\~ao \'e simples; estes s\~ao, contudo, os
\'unicos exemplos de $PSp_n({\bf F}_q)$
n\~ao-simples. A ordem de $PSp_n({\bf F}_q)$
\'e dada por
\[
card(PSp_n({\bf F}_q))=
\frac{q^{\binom{n}{2}^2}}{\mdc(n,q-1)}
\prod_{1\le i \le n/2}(q^{2i}-1).
\]
Se a caracter\'{\i}stica do corpo $k$ for diferente
de dois e $n=2l+1$ for \'{\i}mpar ent\~ao
o grupo $P\Omega_n({\bf F}_q)$ \'e simples
se $l>1$, e tem sua ordem dada por
\[
card(P\Omega_n({\bf F}_q)) =
\frac{q^{(\frac{n-1}{2})^2}}{\mdc(2,q-1)}
\prod_{1\le i \le (n-1)/2}(q^{2i}-1).
\]
Se $n=2l$ for par ent\~ao existem dois grupos
n\~ao isomorfos e simples se $l>2$, dependendo da
escolha da forma bilinear sim\'etrica. Estes
grupos s\~ao denotados por $P\Omega_n^+({\bf F}_q)$
e $P\Omega_n^-({\bf F}_q)$, e tem ordens dadas
por
\[
card(P\Omega_n^+({\bf F}_q)) =
\frac{q^{l(l-1)}}{\mdc(4,q-1)}
\prod_{1\le i \le n/2}(q^{2i}-1)
\]
e
\[
card(P\Omega_n^-({\bf F}_q)) =
\frac{q^{l(l-1)}}{\mdc(2,q+1)}
[\prod_{1\le i \le (n/2)-1}(q^{2i}-1)](q^l+1).
\]
Um grupo unit\'ario finito depende de uma forma
sesqui-linear, que por sua vez depende do
automorfismo involutivo $\alpha\mapsto
\overline{\alpha}$. S\'o existe um tal
automorfismo se a cardinalidade do corpo for
um quadrado $q^2$. 
Sobre um corpo de constantes fixo
${\bf F}_{q^2}$ os grupos unit\'arios s\~ao isomorfos
entre si, e os grupos $PSU_n({\bf F}_{q^2})$
s\~ao simples exceto quando $n=2$ e $q=2$ ou $3$
e $n=3$ e $q=2$. A ordem \'e dada por
\[
card(PSU_n({\bf F}_{q^2}))=
\frac{q^{n(n-1)/2}}{\mdc(n,q-1)}
\prod_{2\le i \le n}(q^i-(-1)^i1).
\]
\bigskip \noindent
{\bf 2. A simplicidade de $PSL_2({\bf F}_q)$.}
No caso de $A=k$ ser um corpo o determinante
({\bf I.1.1}) como homomorfismo de
grupos admite uma se\c{c}\~ao
\begin{align}
\mathcal{ U}(k)&\longrightarrow Gl_n(k) \notag\\
\mu&\mapsto D(\mu):=
\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\
0&1&\cdots &0\\
&&\ldots &\\
0&0&\cdots &\mu\end{pmatrix},\notag
\end{align}
e realiza $Gl_n(k)$ como produto semi-direto
de $Sl_n(k)$ e $\mathcal{ U}(k)=k^*$.
Isto significa que toda matriz $A\in
Gl_n(k)$ se escreve de forma \'unica
\begin{equation}
A=U_A.D(\det (A)).\tag{\bf 2.1}
\end{equation}
Se $E_{ij}=(\delta_{ij})$
\'e a matriz com entradas nulas exceto pela
entrada na $i^{esima}$ linha e $j^{esima}$
coluna, que \'e igual a um, ent\~ao
para $i\not= j$ a matriz
$B_{ij}(\mu)=Id+\mu E_{ij}$ \'e dita uma
{\sl transvec\c{c}\~ao\/}. Vale
\begin{equation}
B_{ij} (\mu)B_{ij}(\lambda)=B_{ij}(\mu+\lambda),
\tag{\bf 2.2}
\end{equation}
e $B_{ij}(\mu)\in Sl_n(k)$, e de fato
$Sl_n(k)$ \'e o subgrupo de $Gl_n(k)$
gerado por transvec\c{c}\~oes.
\par
Se $n=2$ e $k={\bf F}_q$ ent\~ao
o grupo $Sl_2({\bf F}_q)$ se manifesta
como o grupo de {\sl transforma\c{c}\~oes
lineares fracion\'arias\/}
\begin{equation}
f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\qquad {\rm onde}
\ ad-bc=1.\tag{\bf 2.3}
\end{equation}
Seja $H$ subgrupo normal de $Sl_2({\bf F}_q)$.
Se a transvec\c{c}\~ao $B_{ij}(\mu)$ estiver
em $H$ ent\~ao $H=Sl_2({\bf F}_q)$.
De fato, para $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d
\end{pmatrix}\in
Sl_2({\bf F}_q)$ a normalidade de $H$ implica
\begin{align}
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&\mu\\ 0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}^{-1}\notag\\
&=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&\mu\\ 0&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\notag\\
&=\begin{pmatrix}1-\mu ac&\mu a^2\\
 -\mu c^2&1+\mu ac\end{pmatrix}\notag\\
&= \begin{cases}
B_{12}(\mu a^2) &\mbox{se $c=0$}\\
B_{21}(-\mu c^2)&\mbox{se $a=0$}.
\end{cases} 
\qquad
\in Sl_2({\bf F}_q).\notag
\end{align}
O endomorfismo $x\mapsto x^2$ de ${\bf F}_q^*$
tem como n\'ucleo as ra\'{\i}zes de $x^2-1$.
Como existem no m\'aximo duas destas ra\'{\i}zes,
pelo menos metade dos elementos de ${\bf F}_q^*$
s\~ao quadrados.
\par
Por causa de ({\bf 2.2}) o conjunto
$$L=\{\ \lambda\in{\bf F}_q\ |\ B_{12}(\lambda)\in H
\ \}\cup \{ 0\}$$
\'e subgrupo do grupo aditivo de ${\bf F}_q$, que
contem todos os elementos do tipo $B_{12}(\mu a^2)$,
e logo contem mais da metade dos elementos de
${\bf F}_q$. Pelo Teorema de Lagrange $L={\bf F}_q$
e $H$ contem todas as transvec\c{c}\~oes $B_{12}
(\lambda)$. Analogamente, $B_{21}(\lambda)\in H$,
e $H$ contem todas as transvec\c{c}\~oes, isto \'e,
$H=Sl_2({\bf F}_q)$.
\par
Para provar a simplicidade de $PSl_2({\bf F}_q)$
\'e suficiente provar que se $H$ for
um subgrupo normal de $Sl_2({\bf F}_q)$
contendo o centro
$Z(Sl_2({\bf F}_q))=\{ \lambda Id\ |\ \lambda^2=1\}$
ent\~ao necessariamnete $H=Sl_2({\bf F}_q)$. Se
$H$ contiver a matriz
$A=\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}$,
para $a\not= \pm 1$ ent\~ao $H$ tamb\'em
contem, para
$S=\begin{pmatrix}1&0\\ 1&1\end{pmatrix}\in
Sl_2({\bf F}_q)$, a matriz
$$SAS^{-1}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\
 1-d^2&1\end{pmatrix}\in H.$$
Como $\det (A)=1=ad$ vale $d\not= \pm 1$ e
$1-d^2\not= 0$, e $SAS^{-1}A^{-1}=B_{21}(1-d^2)$,
e logo $H=Sl_2({\bf F}_q)$ pelo visto acima.
\par
Assim, resta mostrar que $H$
contem alguma matriz $A=
\begin{pmatrix}a&0\\ c&d\end{pmatrix}$
com $a\not= \pm 1$. Seja
$M=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
\in H$ matriz em $H$
n\~ao no centro $Z(Sl_2({\bf F}_q))$ com polin\^omio
m\'{\i}nimo $x^2+\gamma x+1$. Se este polin\^omio
se fatorar em ${\bf F}_q$ ent\~ao $M$ \'e similar
a uma matriz diagonal, caso contr\'ario $M$ \'e
similar \`a matriz na forma can\^onica racional
$$\begin{pmatrix}0&-1\\ 1& -\gamma \end{pmatrix}.$$
A matriz
$S\in Gl_2({\bf F}_q)$ que realiza a similaridade
se decomp\~oe como em ({\bf 2.1}) $S=U_S.D(\delta)$,
onde $\delta =\det(S)$ e $U_S\in Sl_2({\bf F}_q)$,
e logo no primeiro caso
$$M=S
\begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\ 0&\alpha\end{pmatrix}
S^{-1}=
U_S\begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\
 0&\alpha\end{pmatrix}U_S^{-1}$$
(porque matrizes diagonais comutam),
e logo $A=\begin{pmatrix}\alpha^{-1} &0\\
 0&\alpha\end{pmatrix}=
U_S^{-1}MU_S\in Sl_2({\bf F}_q)$ satisfaz
as exig\^encias, j\'a que $\alpha^{-1}\not= \pm 1$
porque $M$ n\~ao est\'a no centro
$Z(Sl_2({\bf F}_q))$.
Se $M$ n\~ao for diagonaliz\'avel ent\~ao de qualquer
forma por normalidade $H$ conter\'a a matriz
$$C=U_S^{-1}MU_S=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&\delta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&-\gamma\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}1&0\\
0&\delta^{-1}\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}0&-\delta^{-1}\\
\delta &-\gamma\end{pmatrix}.$$
Para $T=\begin{pmatrix}\alpha^{-1}&0\\
 0&\alpha\end{pmatrix}\in
Sl_2({\bf F}_q)$ vale que $H$ certamente conter\'a
$$U=TCT^{-1}C^{-1}=
\begin{pmatrix}\alpha^{-2}&0\\
\delta \gamma(\alpha^2-1)&\alpha^2\end{pmatrix},$$
e s\'o resta escolher $\alpha$ tal que $\alpha^2
\not= \pm 1$, isto \'e, $\alpha$ n\~ao sendo raiz de
$x^4-1$. Isto \'e poss\'{\i}vel se $q=4$ e se $q>5$.
Para $q=5$ o grupo $PSl_2({\bf F}_5)$ \'e tamb\'em
simples, com uma escolha mais delicada de matrizes
$M\in H$.
\par
Valem os isomorfismos $$PSl_2({\bf F}_5)\simeq
PSl_2({\bf F}_4)\simeq A_5,$$
o grupo alternado de 60 elementos. Para $q=7$
o grupo $PSl_2({\bf F}_7)$ \'e um grupo simples
n\~ao abeliano nem isomorfo a um grupo alternado,
j\'a que sua ordem 168 n\~ao \'e da forma $\frac{1}
{2}n!$. No entanto, $PSl_2({\bf F}_9)$ volta
a ser isomorfo ao grupo alternado $A_6$.

\bigskip \noindent
{\bf 3. Um olhar de relance sobre grupos simples.}
Para listar todos os grupos simples finitos
nos \'e poss\'{\i}vel, ao final do s\'eculo XX,
enfim seguir o fenomenal conselho do rei de copas
em {\sl Alice no Pa\'{\i}s das Maravilhas\/}: ``Comece
pelo come\c{c}o e v\'a
prosseguindo at\'e chegar ao fim, e
ent\~ao pare''. Esta lista, agora afinal completa
(ao que parece, {\it pace\/} opini\~oes divergentes
sobre a insufici\^encia da documenta\c{c}\~ao
de certas provas), come\c{c}a de uma forma
modesta: os grupos c\'{\i}clicos 
${\bf Z}/p{\bf Z}$ de ordem finita $p$ s\~ao simples,
n\~ao tendo nenhum subgrupo normal,
de fato n\~ao tendo
subgrupo algum. Em ordem de complexidade
vem os grupos alternados
$A_n$ para $n\ge 5$, mas n\~ao s\'o a prova
da simplicidade destes grupos \'e
mais complicada como existem as ``exce\c{c}\~oes''
$A_3$ e $A_4$.
\par
Os pr\'oximos grupos simples da lista
s\~ao os grupos cl\'assicos
sobre corpos finitos listados em {\bf 1.}, que
tem uma forte tend\^encia \`a simplicidade, embora
existam exce\c{c}\~oes. O padr\~ao da procura \'e
as provas de simplicidade ficarem cada vez mais
complexas em cada fam\'{\i}lia infinita,
com esta complexidade atestada pela
exist\^encia de exce\c{c}\~oes, at\'e o ponto em
que aparecem exce\c{c}\~oes fora das fam\'{\i}lias:
os grupos simples {\sl espor\'adicos\/}, vinte e seis
grupos simples que n\~ao se enquadram em nenhuma
das fam\'{\i}lias infinitas.
\par
Os grupos alternados e os grupos cl\'assicos
se manifestam a partir de uma a\c{c}\~ao natural,
os grupos alternados $A_n$ aparecendo como
permuta\c{c}\~oes pares do conjunto $\{ 1,\ldots ,n\}$
e os grupos cl\'assicos como homorfismos de
espa\c{c}os vetoriais ou de espa\c{c}os projetivos
(submetidos a restri\c{c}\~oes de preservar formas).
Outros grupos simples finitos foram descobertos
em situa\c{c}\~oes similares, como grupos de
permuta\c{c}\~ao de sistemas combinat\'orios.
A situa\c{c}\~ao geral pode ser formalizada da
seguinte forma: dada uma categoria {\bf C} e
um objeto $C$ de {\bf C},
uma {\sl representa\c{c}\~ao\/} de um grupo $G$
em $C$ \'e um homomorfismo de grupos
$$\rho:G\longrightarrow {\it Aut}_{\bf C}(C,C),$$
onde ${\it Aut}_{\bf C}(C,C)$ s\~ao os homomorfismos
em ${\it Hom}_{\bf C}(C,C)$ que admitem inversa.
O conjunto ${\it Aut}_{\bf C}(C,C)$ tem uma estrutura
de grupo dada pela composi\c{c}\~ao categ\'orica
$\circ$ (ver {\bf A.1}). Para ${\bf C}={\bf Vect}_k$,
a categoria de espa\c{c}os vetoriais sobre um corpo
$k$, esta situa\c{c}\~ao \'e chamada de
representa\c{c}\~ao linear, e para
${\bf C}={\bf Conj}$, a categoria dos conjuntos,
\'e usada a terminologia {\sl a\c{c}\~ao\/}.
A representa\c{c}\~ao \'e {\sl fiel\/} se $\rho$
for monomorfismo, e o {\sl grau\/}
da representa\c{c}\~ao \'e a cardinalidade de $C$.
\par
Tipicamente {\bf C} \'e uma categoria concreta,
admitindo um funtor de esquecimento ${\bf C}
\rightarrow {\bf Conj}$: os objetos de {\bf C}
s\~ao conjuntos dotados de estrutura. Se $\rho$
for uma representa\c{c}\~ao em $C$, para $c\in C$
o {\sl grupo de isotropia\/} $G_c$ \'e o subgrupo
de $G$ dado por
$$G_c:=\{\ g\in G\ |\ \rho(g)(c)=c\ \}.$$
A representa\c{c}\~ao \'e {\sl transitiva\/}
se para $c_1,c_2\in C$ existir um $g\in G$
com $\rho(g)(c_1)=c_2$, e \'e {\sl regular\/}
se, al\'em de transitiva, o grupo de
isotropia $G_c$ de qualquer $c\in C$ \'e trivial,
de forma que em uma representa\c{c}\~ao regular
para $c_1,c_2\in C$ existe um \'unico $g\in G$
com $\rho(g)(c_1)=c_2$. Vale que se $\rho$
for transitiva (resp., regular) ent\~ao
$$card(G)=card(C).card(G_c)\ {\rm para\ todo\ }
c\in C\qquad {\rm (resp.,}\ card(G)=card(C)).$$
\par
Dada uma representa\c{c}\~ao $\rho$ de $G$ em $C$
define-se, para $n$ inteiro positivo,
$$C^{[n]}:=\{\ (c_1,\ldots,c_n)\ |\ c_i\not= c_j
\ {\rm para}\ i\not= j\ \}\subset C^n,$$
e a representa\c{c}\~ao $\rho$ se estende
para uma representa\c{c}\~ao $\rho_n$
$$\rho_n(g)((c_1,\ldots,c_n))=(\rho(g)(c_1),
\ldots ,\rho(g)(c_n)).$$
A representa\c{c}\~ao $\rho$ \'e chamada
{\sl $n$-transitiva\/} de $\rho_n$ for transitiva
e {\sl estritamente $n$-transitiva\/} se $\rho_n$
for regular. Como exemplos:
o grupo sim\'etrico $S_n$ \'e estritamente
$n$-transitivo, e se $n>2$ o grupo alternado $A_n$
\'e estritamente $(n-2)$-transitivo; al\'em disso,
os \'unicos grupos $(n-2)$-transitivos de grau
$n$ s\~ao $S_n$ e $A_n$, e o \'unico grupo
$(n-1)$-transitivo de grau $n$ \'e $S_n$.
\par
O grupo cl\'assico $PGl_2({\bf F}_q)$ age
naturalmente na reta projetiva ${\bf F}_q\cup
\{\infty\}$, o grupo de isotropia de $\infty$
sendo dado por
$$PGl_2({\bf F}_q)_\infty=\{ 
\begin{pmatrix}a&b\\ 0&d\end{pmatrix}
|\ ad\not= 0\ \},$$ 
(identificando a classe de equival\^encia com alguma
matriz representante). Com esta representa\c{c}\~ao
$PGl_2({\bf F}_q)_\infty$
\'e estritamente $2$-transitivo de
grau $q$ e $PGl_2({\bf F}_q)$ \'e
estritamente $3$-transitivo de grau $q+1$.
\par
Se $q=(q')^2$ for um quadrado ent\~ao
$\sigma:\alpha\mapsto \alpha^{q'}$ \'e
automorfismo involutivo de ${\bf F}_q$, que pode ser
extendido a um automorfismo da reta projetiva
${\bf F}_q\cup \{\infty\}$ por $\sigma(\infty)=\infty$.
Vendo $PGl_2({\bf F}_q)$ como grupo de
transforma\c{c}\~oes lineares fracion\'arias
(({\bf 2.3}), isto \'e, identificando 
$\begin{pmatrix}
a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ com 
$x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$),
e considerando o grupo $H({\bf F}_q)$
de transforma\c{c}\~oes
na reta projetiva ${\bf F}_q\cup \{\infty\}$ 
dado por
$$H({\bf F}_q)=
\{\ x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\ |\ ad-bc\in
{\bf F}_{q'}\setminus \{0\}\ \}\cup\{
\ x\mapsto \frac{a\sigma(x)+b}{c\sigma(x)+d}\ |
\ ad-bc\in {\bf F}_q\setminus {\bf F}_{q'}\ \},$$
o grupo de isotropia de $\infty$ \'e dado por
$$H({\bf F}_q)_\infty=\{\ x\mapsto ax+b\ |\ a\in
{\bf F}_{q'}\setminus \{0\}\ \}\cup\{
\ x\mapsto a\sigma(x)+b\ |
\ a\in {\bf F}_q\setminus {\bf F}_{q'}\ \}.$$
Com estas representa\c{c}\~oes
o grupo $H({\bf F}_q)_\infty$
\'e estritamente $2$-transitivo
de grau $q$ e o grupo $H({\bf F}_q)$ (que n\~ao \'e
isomorfo a $PGl_2({\bf F}_q)$) \'e estritamente
$3$-transitivo de grau $q+1$. Um teorema de
Zassenhaus, algo no esp\'{\i}rito do teorema
de classifica\c{c}\~ao, afirma que isto esgota
a lista de grupos estritamente $3$-transitivos:
qualquer grupo estritamente $3$-transitivo ou \'e
um $PGl_2({\bf F}_q)$ ou \'e um
$H({\bf F}_q)$.
\par
Existem grupos estritamente $4$-transitivos
e grupos $5$-transitivos (n\~ao isomorfos
a grupos sim\'etricos e alternados), mas segue do
teorema de classifica\c{c}\~ao que n\~ao existem
grupos $n$-transitivos para $n\ge 6$. De fato,
Jordan mostrou em 1872
que para $n\ge 4$ s\'o podem existir
grupos estritamente $n$-transitivos (n\~ao isomorfos
a grupos sim\'etricos ou alternados) se $n=4$, e neste
caso o grau da representa\c{c}\~ao \'e 11, ou $n=5$,
e neste caso o grau da representa\c{c}\~ao \'e 12.
Estas cotas s\~ao atingidas: existem grupos assim.
De fato, existem grupos assim que s\~ao grupos simples
e espor\'adicos (isto \'e,
n\~ao isomorfos a nenhum elemento das fam\'{\i}lias
cl\'assicas).
Estes grupos s\~ao os grupos $M_{11}$ e $M_{12}$
descobertos por Mathieu em 1861.
\par
Frequentemente a categoria {\bf C} em que se
representa um grupo
tem aspectos combinat\'orios interessantes.
Por exemplo, um {\sl sistema de Steiner\/}
$\mathcal{ S}_{r,s,t}$ de tipo
$(r,s,t)$ consiste em um conjunto $A$ de cardinalidade
$t$ e um conjunto $\{ B_i\}$ de subconjuntos $B_i
\subset A$, com $card(B_i)=s$ tal que
para cada subconjunto
$C\subset A$ com $card(C)=r$ existe exatamente um $i$
com $C\subset B_i$. Uma estrutura assim
admite morfismos evidentes
(os subconjuntos $B_i$ de um sistema sendo levados
nos subconjuntos do outro),
definindo uma categoria {\bf St} que, por serem
como s\~ao as coisas, \'e muito pequena:
neste mundo existem poucos sistemas de
Steiner. Por exemplo, a menos de isomorfismo
s\'o existe um sistema
de Steiner $\mathcal{ S}_{r,s,t}$ de tipo
$(r,s,t)=(5,6,12)$, ou de tipo $(5,8,24)$.
No entanto, uma surpresa:
$$M_{12}={\it Aut}_{\bf St}(\mathcal{ S}_{5,6,12},
\mathcal{ S}_{5,6,12}),$$
isto \'e o grupo de automorfismo do sistema
de Steiner $\mathcal{ S}_{5,6,12}$ \'e o grupo de
Mathieu $M_{12}$. O grupo
$$M_{24}={\it Aut}_{\bf St}(\mathcal{ S}_{5,8,24},
\mathcal{ S}_{5,8,24})$$
\'e ainda outro grupo simples
descoberto por Mathieu;
$M_{12}$ e $M_{24}$ s\~ao os \'unicos grupos
$5$-transitivos conhecidos (a parte os grupos
sim\'etricos e alternados).
\par
Dado um sistema de Steiner de tipo $(r,s,t)$
sobre um conjunto $A$, destacando um elemento $a\in A$
define-se um sistema de Steiner de tipo $(r-1,
s-1,t-1)$ sobre $A\setminus \{a\}$ tomando como
subconjuntos $B_i\setminus \{a\}$ onde $B_i$
s\~ao todos os subconjuntos do sistema
original que contem $a$.
Dado o sistema $\mathcal{ S}_{5,6,12}$, o sistema
$\mathcal{ S}_{4,5,11}$ que resulta deste processo
tem como grupo de automorfismos o grupo de
Mathieu $M_{11}$, e dado
o sistema $\mathcal{ S}_{5,8,24}$, o sistema
$\mathcal{ S}_{4,7,23}$ que resulta deste processo
tem como grupo de automorfismos um quarto grupo simples
$M_{23}$ ainda descoberto por Mathieu. O grupo
$M_{11}$ \'e o grupo de isotropia de um s\'{\i}mbolo
de $M_{12}$, e o grupo
$M_{23}$ \'e o grupo de isotropia de um s\'{\i}mbolo
de $M_{24}$. O grupo de isotropia de um s\'{\i}mbolo
de $M_{23}$ \'e ainda um \'ultimo grupo simples
$M_{22}$ descoberto por Mathieu; este grupo $M_{22}$
\'e um subgrupo de ${\it Aut}_{\bf St}
(\mathcal{ S}_{3,5,22},
\mathcal{ S}_{3,6,22})$ de \'{\i}ndice dois, onde
$\mathcal{ S}_{3,5,22}$ \'e o sistema de Steiner
obtido a partir de $\mathcal{ S}_{4,5,23}$.
\par
Outros grupos come\c{c}am a se repetir, ou n\~ao s\~ao
simples: por exemplo, o grupo de isotropia de
um s\'{\i}mbolo de $M_{23}$ \'e o grupo cl\'assico
$PSl_3({\bf F}_4)$ (e logo n\~ao \'e um grupo
novo, espor\'adico), enquanto que o grupo de
isotropia de um s\'{\i}mbolo de $M_{11}$ tem um
subgrupo (isomorfo a $PSl_2({\bf F}_9)$)
de \'{\i}ndice dois (e logo normal)
e assim este grupo n\~ao \'e simples.
\par
Os grupos de Mathieu $M_{11},M_{12},M_{22},M_{23}$
e $M_{24}$ foram os \'unicos grupos espor\'adicos
descobertos no s\'eculo XIX. Suas ordens s\~ao dadas
por:
\begin{align} card(M_{11})&=2^4.3^2.5.11\notag\\
card(M_{12})&=2^6.3^3.5.11\notag\\
card(M_{22})&=2^7.3^2.5.7.11\notag\\
card(M_{23})&=2^7.3^2.5.7.11.23\notag\\
card(M_{24})&=2^{10}.3^3.5.7.11.23.\notag
\end{align}
Os demais vinte e cinco grupos espor\'adicos
foram descobertos no s\'eculo XX; de fato, foram
decobertos entre 1950 e 1980.

\bigskip \noindent
{\bf Refer\^encias.}

\bigskip \noindent
A bibliografia sobre grupos cl\'assicos \'e
imensa. Os livros de Weyl [{\bf W}] e de
Dieudonn\'e [{\bf D}] s\~ao cl\'assicos.
\par
A classifica\c{c}\~ao dos grupos simples
deveria ser cantada em versos \'epicos.
Enquanto tal n\~ao acontece, permanece
dispersa em uma quantidade de artigos
feitos por e para especialistas. Quem mais
trabalhou para remediar este estado de coisas
foi Daniel Gorenstein, do qual citamos
[{\bf Go}].
\vskip 2cm \noindent

\subsection{A Geometria dos Grupos Cl\'assicos}


Os grupos cl\'assicos podem ser submetidos \`a
disseca\c{c}\~ao por uma variedade de t\'ecnicas.
De fato, eles interv\^eem em quase qualquer \'area
da matem\'atica. Nesta se\c{c}\~ao e na pr\'oxima
s\~ao colocados os pontos de vista com os quais
um ge\^ometra e um algebrista os estudam.
\par
Um ge\^ometra, admirando grupos cl\'assicos,
fica inebriado como estes grupos dependem suavemente
das coordenadas-entradas das matrizes,
e como as opera\c{c}\~oes
alg\'ebricas envolvidas, a multiplica\c{c}\~ao
e a invers\~ao, s\~ao opera\c{c}\~oes suaves.
De fato um ge\^ometra, ao ver mencionada a
palavra corpo, s\'o se lembra dos reais e dos
complexos, e ent\~ao reconhece
estes grupos como variedades diferenci\'aveis
em que as opera\c{c}\~oes alg\'ebricas envolvidas
s\~ao suaves. Na verdade o que o fascina \'e
o fato de grupos cl\'assicos serem objetos da
categoria {\bf Diff} (ver ap\^endice {\bf B}),
de fato objetos de Hopf desta categoria
(ver ({\bf A.6})). A denomina\c{c}\~ao consagrada
\'e, claro, indicar que grupos cl\'assicos
s\~ao grupos de Lie.
\par
Rastreando defini\c{c}\~oes, um {\sl grupo de 
Lie\/} \'e um grupo, objeto de {\bf Grp}, que
\'e uma variedade diferenci\'avel, objeto de
{\bf Diff}, tal que a multiplica\c{c}\~ao
e a invers\~ao
\begin{align}\mu:G\times G&\longrightarrow G\notag\\
(g,g')&\mapsto gg'\notag\\
\iota:G&\longrightarrow G\notag\\
g&\mapsto g^{-1}\notag
\end{align}
s\~ao morfismos em {\bf Diff}.
\par
Muita coisa \'e necess\'aria para tornar esta
defini\c{c}\~ao poss\'{\i}vel: em primeiro lugar,
o produto cartesiano, que \'e o produto
categ\'orico em {\bf Conj}, pode ser dotado de
uma estrutura de produto em {\bf Grp} (isto \'e
consequ\^encia de ter o funtor de esquecimento
$\mathcal{ E}:{\bf Grp}\rightarrow {\bf Conj}$
um adjunto \`a esquerda, dado pela estrutura\c{c}\~ao
livre; ver ({\bf A.4})), e tamb\'em pode ser
dotado de uma estrutura de produto em {\bf Diff}.
Isto permite que o morfismo em {\bf Grp} dado pela
multiplica\c{c}\~ao $\mu:G\times G\rightarrow G$
seja morfismo em {\bf Diff}.
A aplica\c{c}\~ao do funtor derivada $D:{\bf Diff}
\rightarrow {\bf Diff}$ ao morfismo $\mu$ resulta
num morfismo em {\bf Diff}
$D(\mu):D(G\times G)\rightarrow D(G)$; em
particular, derivando na origem $(I,I)\in G\times G$
resulta numa aplica\c{c}\~ao linear entre os
espa\c{c}os tangentes (({\bf B.5}))
$$D(\mu)_{(I,I)}:D(G\times G)_{(I,I)}
\longrightarrow D(G)_I.$$
\par
Uma {\sl \'al\-ge\-bra de Lie\/} $\mathcal{ A}$ sobre um corpo $k$
\'e um espa\c{c}o vetorial sobre $k$ dotado
de uma opera\c{c}\~ao bilinear
$$[\bullet,\bullet]:
A\times A\longrightarrow A$$
que satisfaz $[a,a]=0$ para qualquer $a\in
A$ e a {\sl identidade de Jacobi\/}
\begin{equation}
[[a,b],c]+
[[b,c],a]+[[c,a],b]=0.\tag{\bf 1.2.1}
\end{equation}
Dado um grupo de Lie $G$, a
estrutura de grupo em
$G$ dota o espa\c{c}o tangente na identidade
$D(G)_I$ da estrutura de uma \'al\-ge\-bra de Lie
(ver ({\bf B.5})). Esta estrutura\c{c}\~ao se
manifesta de v\'arias maneiras:
por exemplo, derivando o morfismo $\mu$
de multiplica\c{c}\~ao. Para calcular esta
derivada na identidade $I\in G$ toma-se
uma parametriza\c{c}\~ao local $(U,V,h)$ onde
$U$ \'e aberto em ${\bf R}^n$; sem perda de
generalidade pode ser exigido $0\in U$ com
$h(0)=I$, a identidade em $G$.
Ent\~ao $h\times h:U\times U\rightarrow
V\times V$ \'e parametriza\c{c}\~ao local de
$G\times G$ em torno da identidade $(I,I)$
de $G\times G$.
A parametriza\c{c}\~ao faz recair o c\'alculo
da derivada de $\mu$ em $(I,I)$ no c\'alculo da
derivada de $f:=h^{-1}\circ
\mu\circ (h\times h):U\times U\rightarrow
U$, onde
$$U\times U
\stackrel {h\times h}{\longrightarrow}
G\times G
\stackrel {mu}
{\longrightarrow}G
\stackrel {h^{-1}}{\longrightarrow} U,$$
\'e definido em uma vizinhan\c{c}a apropriada
de $(0,0)$.
Expandindo a s\'erie de Taylor
de $f$ em torno de $(0,0)$,
e usando $E_1,E_2\in {\bf R}^n$, resulta em
$$f(E_1,E_2)=E_1+E_2+B(E_1,E_2)+
\cdots,$$
onde $B(\bullet, \bullet)$ \'e uma aplica\c{c}\~ao
bilinear e as retic\^encias indicam termos de ordem
superior. Com esta forma bilinear define-se
$$[E_1,E_2]=B(E_1,E_2)-B(E_2,E_1).$$
A associatividade de $\mu$ implica $f(f(E_1,E_2),
E_3)=f(E_1,f(E_2,E_3))$, que levada \`a s\'erie
de Taylor implica
$$B(B(E_1,E_2),E_3)=B(E_1,B(E_2,E_3)).$$
Da\'{\i} segue que
\begin{align}
[[E_1&,E_2],E_3]=\notag\\
&B(B(E_1,E_2)E_3)-B(E_3,
B(E_1,E_2))+B(E_3,B(E_2,E_1))-B(B(E_2,E_1),E_3).\notag
\end{align}
Somando as equa\c{c}\~oes correspondentes para os
termos $[[E_2,E_3],E_1]$ e $[[E_3,E_1],E_2]$
h\'a cancelamento completo de todos os termos
\`a direita, e logo \'e satisfeita a
identidade de Jacobi
$$[[E_1,E_2],E_3]+[[E_2,E_3],E_1]+
[[E_3,E_1],E_2]=0.$$
Assim, identificando $E_i$ com o vetor tangente
de $t\mapsto tE_i$,
o espa\c{c}o tangente $D(G)_I$ de um grupo
de Lie na identidade tem a estrutura de uma
\'al\-ge\-bra de Lie. Esta estrutura se manifestar\'a
sempre que a estrutura diferencial (do grupo
como objeto de {\bf Diff}) e alg\'ebrica (dele
como objeto de {\bf Grp}) forem usadas em conjunto.
Por exemplo, para qualquer variedade diferenci\'avel
$M$,
objeto de {\bf Diff}, o espa\c{c}o de campos vetoriais
(ou, equivalentemente, de deriva\c{c}\~oes da
\'al\-ge\-bra
${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$; ver ({\bf B.5})),
\begin{equation}
Vect(M)\simeq
Der({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))
\tag{\bf 1.2.2}
\end{equation}
tem naturalmente
a estrutura de uma \'al\-ge\-bra de Lie
(em geral de dimens\~ao infinita). Esta estrutura,
presente em qualquer variedade diferenci\'avel,
{\it n\~ao\/} \'e a estrutura relevante se $M=G$
for um grupo de Lie: neste caso observa-se que
$G$ age em $Vect(G)$ da seguinte maneira.
A multiplica\c{c}\~ao \`a esquerda
\begin{eqnarray*}
\mu_g:G&\longrightarrow G\\
g'&\mapsto gg'
\end{eqnarray*}
\'e isomorfismo em {\bf Diff} (n\~ao sendo sequer
morfismo em {\bf Grp}), e se $\chi\in Vect(G)$
ent\~ao
\begin{align}
\chi^{\mu_g}:=D(\mu_g)(\chi\circ \mu_{g^{-1}}):G
&\rightarrow D(G)\notag\\
g'&\mapsto D(\mu_g)(\chi(g^{-1}g'))\in D(G)_{g'}
\notag
\end{align}
\'e um campo vetorial em $Vect(G)$. Isto define
uma a\c{c}\~ao de $G$ em $Vect(G)$, e
um campo $\chi\in
Vect(G)$ \'e dito {\sl invariante
\`a esquerda\/} se $\chi^{\mu_g}=
\chi$. O subconjunto $^GVect(G)$ de campos
invariantes \`a esquerda \'e uma sub-\'al\-ge\-bra de
Lie de $Vect(G)$; esta
sub-\'al\-ge\-bra $^GVect(G)$ \'e
isomorfa \`a \'al\-ge\-bra de Lie de $G$ definida como
o espa\c{c}o tangente na identidade $D(G)_I$ com
a opera\c{c}\~ao definida como acima, atrav\'es do
isomorfismo $\chi\mapsto \chi(1)$. Visto na
encarna\c{c}\~ao de deriva\c{c}\~oes ({\bf 1.2.2}),
um campo $\chi$ encarado como uma deriva\c{c}\~ao
de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$
\'e invariante \`a esquerda se comutar com a
transforma\c{c}\~ao linear
\begin{align}
\mu_g:{\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})
&\longrightarrow {\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})\notag\\
f&\mapsto \mu_g(f):M\rightarrow {\bf R}\notag\\
&\hspace{0.75in}m\mapsto
f(\mu_{g^{-1}}(m)=f(g^{-1}m).\notag
\end{align}
Al\'em destas duas apari\c{c}\~oes da \'al\-ge\-bra de
Lie de um grupo de Lie $G$, \'e necess\'ario ao que
segue considerar ainda uma terceira, obtida
atrav\'es
da a\c{c}\~ao de $G$ dada por conjuga\c{c}\~ao:
\begin{align}
A:G&\longrightarrow {\it Hom}_{\bf Grp}(G,G)\notag\\
g&\mapsto A(g):G\rightarrow G\notag\\
&\hspace{0.75in}g'\mapsto gg'g^{-1}.\notag
\end{align}
O morfismo $A(g)$
\'e isomorfismo em {\bf Grp} e em
{\bf Diff}, sendo composta de transla\c{c}\~oes
\`a direita e \`a esquerda. Considerando-o como
isomorfismo em {\bf Diff} podemos tomar sua
derivada na identidade $I$ de $G$: esta derivada
se denota por
$$Ad(g):=D(A(g))_I:D(G)_I\longrightarrow D(G)_I,$$
e $g\mapsto Ad(g)$ define uma a\c{c}\~ao de $G$
em ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ (isto \'e,
automorfismos de $D(G)_I$ como espa\c{c}o vetorial
sobre $k$). Como ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ tem
uma estrutura de grupo de Lie (ver exemplo {\bf 1.}
abaixo), \'e poss\'{\i}vel tomar a derivada de
$g\mapsto Ad(g)$ na identidade $I$,
obtendo uma aplica\c{c}\~ao de $D(G)_I$ no espa\c{c}o
tangente de ${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ em sua
identidade $I:D(G)_I\rightarrow D(G)_I$. Como
${\it Aut}_k(D(G)_I,D(G)_I)$ (sendo imagem inversa
do aberto $k\setminus \{0\}$ pela fun\c{c}\~ao
cont\'{\i}nua $\det$) \'e aberto em
${\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)$, este espa\c{c}o tangente
\'e simplesmente ${\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)$, e a
derivada $D(Ad)_I$ define uma a\c{c}\~ao de
\'al\-ge\-bras de Lie, denotada por
\begin{align}
ad:D(G)_I&\longrightarrow {\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)\notag\\
E&\mapsto ad(E):D(G)_I\rightarrow D(G)_I.\notag
\end{align}
A opera\c{c}\~ao
\begin{align}
D(G)_I\times D(G)_I&\longrightarrow
D(G)_Inotag\\
(E,E')&\mapsto [E,E']:= ad(E)(E')\notag
\end{align}
\'e uma (terceira) forma de dotar $D(G)_I$ de uma
estrutura de \'al\-ge\-bra de Lie. Assim, com um
{\it embarras de richesses\/}, foi indicado o


\medskip \indent
{\bf Teorema de Estrutura\c{c}\~ao do Espa\c{c}o
Tangente na Identidade como \'al\-ge\-bra de Lie.}
{\sl Se $G$ for um grupo de Lie ent\~ao o espa\c{c}o
tangente $D(G)_I$ na identidade tem naturalmente a
estrutura de uma \'al\-ge\-bra de Lie.\/}


\medskip \noindent
O que falta para ser visto da prova do teorema
depende de como se interprete a palavra
``naturalmente''. As tr\^es maneiras de definir
esta estrutura devem servir como uma justificativa
da qualifica\c{c}\~ao ``natural'', mas ent\~ao
deve ser provado que estas tr\^es maneiras coincidem;
isto n\~ao \'e dif\'{\i}cil: a {\sl representa\c{c}\~ao
adjunta\/} $ad:D(G)_I\rightarrow {\it Hom}_k
(D(G)_I,D(G)_I)$,
que foi a \'ultima forma de apresentar
a estrutura, \'e calculada pela s\'erie de Taylor,
como na primeira defini\c{c}\~ao. Em cada uma das
formas de apresentar foram omitidos detalhes (como
a prova da identidade de Jacobi), que s\~ao
rotineiros.
\medskip \noindent
O Teorema acima define um funtor da categoria
de {\bf GrpLie} de grupos de Lie para a categoria
{\bf AlgLie} de \'al\-ge\-bras de Lie:
$$\mathcal{ L}:{\bf GrpLie}\longrightarrow {\bf
AlgLie}.$$

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1. A \'al\-ge\-bra de Lie de $Gl_n({\bf R})$.}
O grupo de Lie $Gl_n({\bf R})$ \'e o grupo de
transforma\c{c}\~oes lineares invers\'{\i}veis
de ${\bf R}^n$; o c\'alculo que se segue se
aplica para o grupo de transforma\c{c}\~oes lineares
de qualquer espa\c{c}o vetorial $V$ de dimens\~ao
finita sobre $k$.
\par
Para tomar uma parametriza\c{c}\~ao local em torno
da identidade $I\in Gl_n({\bf R})$ satisfazendo as
condi\c{c}\~oes descritas acima basta fazer
\begin{eqnarray*}
h:U\subset {\bf R}^{n^2}
&\longrightarrow Gl_n({\bf R})\\
(c_{ij})_{i,j=1,\ldots ,n}&\mapsto I+(c_{ij}),
\end{eqnarray*}
com $(c_{ij})$ matriz $n\times n$ tomada em uma
vizinhan\c{c}a apropriada $U$ da origem em
${\bf R}^{n^2}$.
A expans\~ao de Taylor de $f=h^{-1}\circ \mu
\circ (h\times h)$ \'e ent\~ao simplesmente
$$f(A,B)=A+B+(AB-BA),$$
onde $A,B$ est\~ao
no espa\c{c}o $\mathcal{ M}_{n\times n}({\bf R})$
de matrizes $n\times n$ com coeficientes
reais. Assim, a \'al\-ge\-bra de Lie de $Gl_n(
{\bf R})$
\'e o espa\c{c}o $\mathcal{ M}_{n\times n}(
{\bf R})$
com a opera\c{c}\~ao dada por $[A,B]=AB-BA$.
Esta \'al\-ge\-bra \'e denotada por $gl_n(
{\bf R})$.

\bigskip \noindent
{\bf 2. O caso de $Sl_2({\bf R})$.} Um c\'alculo
an\'alogo pode ser feito para $Sl_2({\bf R})$
tomando a parametriza\c{c}\~ao em torno de
$I\in Sl_2({\bf R})$ dada por
\begin{eqnarray*}
h:U\subset {\bf R}^3
&\longrightarrow Sl_2({\bf R})\\
\begin{pmatrix}a\\ b\\ c
\end{pmatrix}&\mapsto I+\begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix},
\end{eqnarray*}
onde a entrada $d$ \'e obtida implicitamente.
De fato, vale
$1=\det(I+\begin{pmatrix}a&b\\
c&d
\end{pmatrix})=1+{\rm tr}\begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix}$, e
a condi\c{c}\~ao para o determinante
ser 1 requer ${\rm tr}\begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix}+\det \begin{pmatrix}a&b\\
c&d\end{pmatrix}=0$. Pelo teorema da fun\c{c}\~ao
impl\'{\i}cita esta condi\c{c}\~ao define
implicitamente $d$ como fun\c{c}\~ao suave
perto da origem.
\par
A \'al\-ge\-bra de Lie de $Sl_2({\bf R})$ \'e
dada pela sub\'al\-ge\-bra de $gl_2({\bf R})$
dada pelas matrizes de tra\c{c}o nulo,
como segue de uma aplica\c{c}\~ao da
aplica\c{c}\~ao exponencial abaixo. Ela \'e
denotada por $sl_2({\bf R})$.

\bigskip \noindent
{\bf 3. A aplica\c{c}\~ao exponencial.}
Dado um vetor tangente $E\in D(G)_I$ na
\'al\-ge\-bra de Lie $\mathcal{ L}(G)$ de um grupo
de Lie $G$, pelo teorema de exist\^encia e
unicidade de equa\c{c}\~oes diferenciais
ordin\'arias existe uma caminho $p_E:
(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow G$
tendo $E$ como vetor
tangente. A associa\c{c}\~ao
$$exp:tE\mapsto p_E(t)$$
define a aplica\c{c}\~ao exponencial
$$exp:\mathcal{ L}(G)\rightarrow G.$$
A aplica\c{c}\~ao exponencial \'e uma
transforma\c{c}\~ao natural
$exp: \mathcal{ L}\stackrel{\bullet}
{\longrightarrow} \mathcal{ I}$, onde $\mathcal{ I}$
denota o funtor identidade na categoria
de grupos de Lie.
\par
Para $G=Gl_n({\bf R})$ a \'al\-ge\-bra de Lie
\'e o conjunto das matrizes $n\times n$
com $[A,B]=AB-BA$, como visto em {\bf 1.}.
O sistema $x'(t)=Ax(t)$ com condi\c{c}\~ao
inicial $x(0)=1$ tem solu\c{c}\~ao
$$x(t)=e^{At}=\sum_{k\ge 0}\frac{A^k}{k!}t^k,$$
e logo a aplica\c{c}\~ao exponencial neste caso
\'e a exponencial usual $exp(A)=e^A$.
\par
Se $G$ \'e um grupo de Lie e $H$ um subgrupo conexo
(ou, pelo menos, com um n\'umero de componentes
conexas enumer\'avel) ent\~ao
$$\mathcal{ L}(H)=\{ X\in \mathcal{ L}(G)
\ |\ exp(X)\in H\ \}.$$
Se $A\in G=Gl_n({\bf R})$ \'e tal que $A=MJM^{-1}$,
onde $J$ \'e sua forma de Jordan, ent\~ao
$$\det(e^A)=\det(e^{MJM^{-1}})=Me^JM^{-1},$$
e logo $\det(e^A)=\prod_ie^{\lambda_i}=e^{{\rm tr}
A}$. Pelo c\'alculo da exponencial obtido para
$G=Gl_n({\bf R})$ e usando o enunciado acima
com $H=Sl_n({\bf R})$, segue que a \'al\-ge\-bra de
Lie $sl_n({\bf R})=\mathcal{ L}(Sl_n({\bf R}))$
de $Sl_n({\bf R})$
\'e dada pelas matrizes $n\times n$ de tra\c{c}o nulo,
conforme anunciado em {\bf 2.}.

\subsection{A \'Al\-ge\-bra dos Grupos Cl\'assicos}


Um algebrista, admirando grupos cl\'assicos,
fica fascinado como suas defini\c{c}\~oes independem
grandemente do corpo (ou anel) de constantes $k$
(no caso de grupos unit\'arios \'e necess\'ario
um automorfismo involutivo em $k$, mas isto \'e
tudo). Mais ainda, grupos cl\'assicos definidos
sobre an\'eis comutativos
$A$ e $A'$ podem ser comparados
atrav\'es de um morfismo $A\rightarrow A'$, que
define um morfismo dos grupos cl\'assicos por
``mudan\c{c}a de base''. Na verdade, o que o fascina
\'e o fato de grupos cl\'assicos serem
{\sl funtores\/}. Assim, por exemplo, $Gl_n(A)$
\'e o funtor da categoria de an\'eis comutativos
para a categoria de grupos
$$Gl_n:{\bf AnCom}\longrightarrow {\bf Grp}$$
que a cada anel $A$ associa $Gl_n(A)$.
A aplica\c{c}\~ao determinante aparece agora como
uma transforma\c{c}\~ao natural $\det:
Gl_n \stackrel {\bullet}{\rightarrow}
Gl_1$; a naturalidade de $\det$ se expressa
na comutatividade do diagrama
$$\begin{matrix} \qquad Gl_n(A)&
\mathop{\longrightarrow}
&Gl_n(B)
\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \det$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow
\vcenter{\hbox{$ \det$}}\\ \\
\qquad Gl_1(A)&
\mathop{\longrightarrow}
&Gl_1(B)
\end{matrix}$$
que resulta da express\~ao polinomial do
determinante nas coordenadas-entradas das matrizes:
um morfismo de anel nestas entradas for\c{c}osamente
preserva esta express\~ao polinomial, e o diagrama
ent\~ao comuta.
\par
O n\'ucleo de $\det$ \'e, como esperado, o
funtor $Sl_n$, que associa a cada anel $A$ o
grupo $Sl_n(A)$. Assumindo que o anel $A$
\'e comutativo e contem
o corpo $k$, ou seja, considerando os funtores
definidos na categoria ${\bf AlgCom}_k$ de \'al\-ge\-bras
comutativas sobre $k$, algo ainda mais interessante
acontece: existe um elemento universal para estes
funtores ou, equivalentemente, $Sl_n$ \'e
represent\'avel: para cada \'al\-ge\-bra comutativa
sobre $k$ vale
$$Sl_n(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}
(k[\{X_{ij}\}]/(1-\det),A).$$
Isto significa: o funtor $Sl_n$ \'e representado
pela \'al\-ge\-bra $k[\{X_{ij}\}]/(1-\det(X_{ij}))$.
Em \'ultima an\'alise o que se usa \'e a
propriedade universal de an\'eis de polin\^omios.
Por exemplo,
$$Sl_2(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}
(k[X_{11},X_{12},X_{21},X_{22}]
/(1-(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21})).$$
Tamb\'em $Gl_n$ \'e represent\'avel na categoria
${\bf AlgCom}_k$: neste caso \'e adicionada
uma vari\'avel extra $T$ ao conjunto $\{ X_{ij}\}$
de vari\'aveis, e vale
$$Gl_n(A)={\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}
(k[\{X_{ij}\},T]/(1-T\det
(X_{ij})),A).$$
Tamb\'em as condi\c{c}\~oes que definem os outros
grupos cl\'assicos podem ser expressas funtorialmente:
os grupos ortogonais, por exemplo, s\~ao grupos
dados por matrizes $A$ que satisfazem $AA^t=I$,
que \'e uma condi\c{c}\~ao polinomial nas entradas
de $A$. 
\par
O fato de grupos cl\'assicos serem
dados por funtores represent\'aveis se traduz
dizendo que estes objetos que os representam s\~ao
co-objetos de Hopf da categoria ${\bf AlgCom}_k$
(ver ({\bf A.6})).
A categoria ${\bf AlgCom}_k$ \'e completa
e cocompleta,
o co-produto de $A$ e $B$ sendo
dado pelo produto tensorial
$A\otimes_k B$. Um co-objeto de Hopf
\'e uma \'al\-ge\-bra $A$,
comutativa sobre $k$, para a qual existem os morfismos
em ${\bf AlgCom}_k$ dados por
$$\Delta:A\longrightarrow A\otimes A,$$
dito {\sl co-multiplica\c{c}\~ao\/},
$$\epsilon:A\longrightarrow k,$$
dito {\sl co-unidade\/} ou {\sl aumenta\c{c}\~ao\/},
e
$$S:A\longrightarrow A,$$
dito {\sl ant\'{\i}poda\/}. Estes
dados est\~ao submetidos
aos axiomas que se resumem na comutatividade dos
diagramas
$$\begin{matrix} A\otimes A\otimes A&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{id\otimes \Delta}
&A\otimes A
\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \Delta\otimes id$}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$ \Delta$}}\\ \\
\qquad A\otimes A&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{\Delta}
&A,
\end{matrix}$$
que garante a associatividade do grupo
${\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}(A,B)$,
$$\begin{matrix} k\otimes A&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{\epsilon \otimes id}
&A\otimes A
\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \simeq$}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$ \Delta$}}\\ \\
\qquad A&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{=}
&A,
\end{matrix}
$$
que garante que a co-unidade $\epsilon
:A\rightarrow k$ \'e o morfismo dual
da ``escolha de unidade'' $\{ *\}
\rightarrow G$ em um grupo $G$, e
$$\begin{matrix} A&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{(S,id)}
&A\otimes A
\\ \\
\vcenter{\hbox{$\ $}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$ \Delta$}}\\ \\
\qquad k&
\mathop{\longleftarrow}
\limits^{\epsilon}
&A\end{matrix},$$
que garante que o morfismo ant\'{\i}poda
funcione como o dual da invers\~ao no grupo.
\par
Uma \'al\-ge\-bra comutativa sobre $k$, objeto
de ${\bf AlgCom}_k$, dotada de morfismos
$\Delta, \epsilon$ e $S$ que funcionam,
respectivamente, como co-multiplica\c{c}\~ao,
co-unidade e ant\'{\i}poda (e logo tornam
comutativos os diagramas acima), \'e dita
uma {\sl \'al\-ge\-bra de Hopf comutativa\/}
sobre $k$.
\par
O lema de Yoneda ({\bf A.2}) garante que
funtores represent\'aveis ${\bf AlgCom}_k
\rightarrow {\bf Grp}$ (como os grupos
cl\'assicos) correspondem a \'al\-ge\-bras de
Hopf comutativas sobre $k$. S\~ao,
tamb\'em, os
co-objetos de Hopf de ${\bf AlgCom}_k$.
\par
Funtores represent\'aveis formam naturalmente
uma categoria, em que morfismos s\~ao dados
quer por transforma\c{c}\~oes naturais quer
(via o lema de Yoneda), por morfismos em
${\bf AlgCom}_k$ das \'al\-ge\-bras de Hopf
comutativas sobre $k$ correspondentes.
\'Al\-ge\-bras de Hopf comutativas sobre $k$
formam naturalmente
uma categoria ${\bf AlgHopfCom}_k$;
contrariamente
ao caso de \'al\-ge\-bras de Lie, uma
\'al\-ge\-bra de Hopf \'e uma \'al\-ge\-bra associativa,
e assim existe um funtor de esquecimento
\begin{equation}
\mathcal{ E}_{\bf HopfCom}:{\bf AlgHopfCom}_k
\longrightarrow {\bf AlgCom}_k.
\tag{\bf I.3.1}
\end{equation}
Uma \'al\-ge\-bra $A$, objeto de ${\bf Alg}_k$,
pode ser vista como um espa\c{c}o vetorial
dotado de morfismos
$$\mu:A\otimes A\longrightarrow A,
\qquad u:k\longrightarrow A,$$
que fornecem, respectivamente, a
multiplica\c{c}\~ao e a estrutura de \'al\-ge\-bra
sobre $k$. Estes morfismos devem satisfazer
as condi\c{c}\~oes usuais, que podem
ser expressas por comutatividade de
diagramas apropriados. No caso de uma
\'al\-ge\-bra de Hopf sobre $k$ temos morfismos
\begin{eqnarray*}
\Delta:A&\longrightarrow A\otimes A\\
\epsilon:A&\longrightarrow k\\
S:A&\longrightarrow A\\
\mu:A\otimes A&\longrightarrow A\\
u:k&\longrightarrow A,
\end{eqnarray*}
que satisfazem propriedades duais. A subcategoria
${\bf AlgHopfComCocom}_k$
de \'al\-ge\-bras de Hopf comutativas e
cocomutativas admite assim um processo
de {\sl dualiza\c{c}\~ao\/} natural $A\rightarrow
A^D$, em que a co-multiplica\c{c}\~ao de $A^D$
\'e o morfismo dual da multiplica\c{c}\~ao em $A$,
a co-unidade \'e o dual da estrutura\c{c}\~ao
sobre $k$, e assim por diante.

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1. O caso de $Sl_2$.} O grupo
cl\'assico $Sl_2$, visto como funtor
represent\'avel, \'e representado
pela \'al\-ge\-bra de Hopf comutativa
(o co-objeto de Hopf):
$$A=k[X_{11},X_{12},X_{21},X_{22}]
/(1-(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21})).$$
A co-multiplica\c{c}\~ao \'e dada por
\begin{eqnarray*}\Delta:A&\longrightarrow
A\otimes A\\
X_{11}&\mapsto X_{11}\otimes X_{11}+
X_{12}\otimes X_{21}\\
X_{12}&\mapsto X_{11}\otimes X_{12}+
X_{12}\otimes X_{22}\\
X_{21}&\mapsto X_{21}\otimes X_{11}+
X_{22}\otimes X_{21}\\
X_{22}&\mapsto X_{21}\otimes X_{12}+
X_{22}\otimes X_{22},
\end{eqnarray*}
a co-unidade por
\begin{eqnarray*}\epsilon:A&\rightarrow k\\
X_{11},X_{22}&\mapsto 1\\
X_{12},X_{21}&\mapsto 0,
\end{eqnarray*}
e o ant\'{\i}poda por
\begin{eqnarray*}S:A&\rightarrow A\\
X_{11}&\mapsto X_{22}\\
X_{22}&\mapsto X_{11}\\
X_{12}&\mapsto -X_{12}\\
X_{21}&\mapsto -X_{21}.
\end{eqnarray*}

\bigskip \noindent
{\bf Refer\^encias.}

\bigskip \noindent
O uso de \'al\-ge\-bras de Hopf comutativas
em Geometria Alg\'ebrica \'e exposto de
forma clara e elegante em [{\bf Wa}].


\subsection{\'Al\-ge\-bras de Lie
e \'Al\-ge\-bras Envolventes}

Tal como definidas em {\bf I.2}, as \'al\-ge\-bras
de Lie formam naturalmente uma categoria
{\bf AlgLie}, que j\'a foi invocada naquela
se\c{c}\~ao. Morfismos de \'al\-ge\-bras de Lie
s\~ao as transforma\c{c}\~oes lineares que
preservam as opera\c{c}\~oes $[\bullet,\bullet]$,
ideais (n\'ucleos de morfismos) em uma
\'al\-ge\-bra de Lie $V$ s\~ao sub\'al\-ge\-bras $J$
tais que $[J,V]\subset J$ e em geral
esta categoria funciona confortadoramente
pr\'oxima da categoria {\bf AnCom}.
\par
Uma \'al\-ge\-bra de Lie $V$ \'e {\sl abeliana\/}
se $[V,V]=0$. Todo espa\c{c}o vetorial pode
ser dotado de uma estrutura de \'al\-ge\-bra de Lie
abeliana definindo a opera\c{c}\~ao
$[\bullet,\bullet]$ desta maneira trivial. Mais
interessante, para toda espa\c{c}o vetorial $V$
sobre $k$ o conjunto das transforma\c{c}\~oes
lineares ${\it Hom}_k(V,V)$ tem naturalmente
a estrutura de \'al\-ge\-bra de Lie com a defini\c{c}\~ao
$$[A,B]=AB-BA.$$
Por causa do exemplo {\bf 1.} em {\bf I.2}, em
que esta defini\c{c}\~ao aparece como a \'al\-ge\-bra
de Lie $\mathcal{ L}(Gl_n({\bf R}))$, esta \'al\-ge\-bra
de Lie \'e denotada $gl(V)$. Mais geralmente,
cada \'al\-ge\-bra (associativa) $A$ sobre $k$
origina uma \'al\-ge\-bra de Lie $gl(A)$ definindo,
para $a,b\in A$,
$$[a,b]=ab-ba.$$
Assim, $gl(V)=gl({\it Hom}_k(V,V))$.
\par
Esta associa\c{c}\~ao define um funtor
$$gl:{\bf Alg}_k\longrightarrow {\bf AlgLie}_k.$$
(A nota\c{c}\~ao ${\bf Alg}_k$ designa a
categoria de \'al\-ge\-bras associativas, mas
n\~ao necessariamente comutativas, sobre $k$).
Se $A$, objeto de ${\bf Alg}_k$, for comutativa
ent\~ao $gl(A)$ \'e abeliana.
\par
Este funtor $gl$ tem um adjunto \`a esquerda,
geralmente denotado por $\mathcal{ U}$ por lembrar
``universal'', diretamente ligado ao Teorema
de Poincar\'e-Birkhoff-Witt. Para uma
\'al\-ge\-bra de Lie $A$ define-se uma \'al\-ge\-bra
associativa $\mathcal{ U}(A)$ denominada a {\sl \'al\-ge\-bra
envolvente\/} ou a {\sl \'al\-ge\-bra envolvente
universal\/}
de $A$, da seguinte maneira. Sobre o espa\c{c}o
vetorial subjacente de $A$ (que ser\'a denotado
confusamente pela mesma letra $A$), \'e tomada
a \'al\-ge\-bra tensorial
$$T=\oplus_{i\ge 0} T^i,\qquad {\rm onde}
\ T^i=\otimes_{1\le j\le i} A.$$
Em $T$ \'e considerado o ideal bilateral $J$
gerado por $a\oplus b-b\oplus a-[a,b]$ para
todos os pares $(a,b)\in A\times A$, e
a \'al\-ge\-bra envolvente \'e definida
como uma \'al\-ge\-bra quociente por 
$\mathcal{ U}(A)=T/J$.
Como morfismo de espa\c{c}os vetoriais existe
um mergulho can\^onico $A\rightarrow T\rightarrow
\mathcal{ U}(A)$. A adjun\c{c}\~ao 
$$\mathcal{ U}:{\bf AlgLie}_k\leftrightarrow
{\bf Alg}_k:gl$$
se expressa por
$${\it Hom}_{{\bf Alg}_k}(\mathcal{ U}(A),B)
\stackrel {\simeq}{\longrightarrow}
{\it Hom}_{{\bf AlgLie}_k}(A,gl(B)).$$
A verifica\c{c}\~ao \'e imediata.
\par
O Teorema de Poincar\'e-Birkhoff-Witt
garante mais do que esta adjun\c{c}\~ao:
mostra como construir uma base de $\mathcal{ U}
(A)$ a partir de uma base de $A$
(de dimens\~ao n\~ao necessariamente finita).
\par
Sendo adjunto \`a esquerda o funtor
$\mathcal{ U}$ naturalmente preserva colimites
(ver ({\bf A.4})).
Assim vale, para \'al\-ge\-bras de Lie $A$ e $B$,
que s\~ao isomorfas em ${\bf Alg}_k$ as
\'al\-ge\-bras
$$\varphi:
\mathcal{ U}(A\oplus B)\stackrel{\simeq}
{\longrightarrow}
\mathcal{ U}(A)\otimes
\mathcal{ U}(B).$$
Dada uma \'al\-ge\-bra de Lie $A$
aplicando o funtor $\mathcal{ U}$ ao morfismo
diagonal
\begin{eqnarray*}
\delta:A&\longrightarrow A\oplus A\\
a&\mapsto (a,a)
\end{eqnarray*}
e depois compondo com o isomorfismo
$\varphi$ definido acima resulta em um
morfismo
$$\varphi\circ \mathcal{ U}(\delta):\mathcal{ U}
(A)\longrightarrow \mathcal{ U}(A)\otimes
\mathcal{ U}(A).$$
Este morfismo resultante satisfaz a propriedade
co-associativa necess\'aria para defini-lo
como uma co-multiplica\c{c}\~ao
$\delta =\varphi\circ \mathcal{ U}(\delta)$
que \'e essencialmente a diagonal.
Por outro lado, o espa\c{c}o vetorial trivial
$\{ 0\}$, objeto inicial e final em ${\bf
Vect}_k$, \'e trivialmente uma \'al\-ge\-bra de
Lie que \'e objeto inicial e final em
${\bf AlgLie}_k$. Aplicando $\mathcal{ U}$
ao \'unico morfismo $A\rightarrow 0$
obtemos um morfismo $\epsilon:\mathcal{ U}(A)
\rightarrow
k$ que \'e compat\'{\i}vel com a
co-multiplica\c{c}\~ao $\Delta$ definida
acima.
\par
A categoria ${\bf AlgLie}_k$ admite um processo
de dualiza\c{c}\~ao: a cada \'al\-ge\-bra de Lie
$A$ pode ser considerada a \'al\-ge\-bra oposta
$A^{op}$ definida sobre o mesmo espa\c{c}o
subjacente com a opera\c{c}\~ao
$$[a,b]^{op}=[b,a]=-[a,b].$$
As \'al\-ge\-bras $A$ e $A^{op}$ s\~ao isomorfas
pelo isomorfismo $\omega:a\mapsto -a$.
Aplicando $\mathcal{ U}$ a $\omega$ obtemos
um morfismo $S=\mathcal{ U}(\omega)$ que \'e
compat\'{\i}vel com a co-multiplica\c{c}\~ao
$\Delta$ e com a co-unidade $\epsilon$ definidas
acima, e logo a \'al\-ge\-bra envolvente $\mathcal{ U}(A)$
tem uma estrutura natural de \'al\-ge\-bra de Hopf,
agora n\~ao mais comutativa. \'al\-ge\-bras de Hopf
sobre $k$ (n\~ao necessariamente comutativas)
formam naturalmente uam categoria
${\bf AlgHopf}_k$, e existe, como em ({\bf I.3.1})
um funtor de esquecimento
$$\mathcal{ E}_{\bf Hopf}:{\bf AlgHopf}_k
\longrightarrow {\bf Alg}_k.$$
A opera\c{c}\~ao descrita acima
define um funtor
$$\mathcal{ H}:{\bf AlgLie}_k\longrightarrow
{\bf AlgHopf}_k.$$
Para uma \'al\-ge\-bra de Lie $A$
a \'al\-ge\-bra de Hopf $\mathcal{ H}(A)$ n\~ao \'e,
em geral comutativa, j\'a que a multiplica\c{c}\~ao
em $\mathcal{ U}(A)$ \'e essencialmente o produto
tensorial, que n\~ao tem porque comutar. No
entanto $\mathcal{ H}(A)$ \'e co-comutativa, isto \'e,
o diagrama abaixo \'e comutativo, onde $\tau$
\'e troca de coordenadas
\begin{eqnarray*}\mathcal{ H}(A)\times \mathcal{ H}(A)
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\tau}
& \mathcal{ H}(A)\times \mathcal{ H}(A)\\
\Delta \nwarrow &\uparrow \Delta \\
&\mathcal{ H}(A).
\end{eqnarray*}
A comutatividade deste diagrama \'e consequ\^encia
da defini\c{c}\~ao de $\mathcal{ H}$ e da
comutatividade de
\begin{eqnarray*}A\oplus A
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\tau}
&  A\oplus A\\
\delta \nwarrow &\uparrow \delta \\
&A,
\end{eqnarray*}
onde, aqui tamb\'em, $\tau$ \'e (outra)
troca de coordenadas.

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1. O caso de $Sl_2$.}
Algebricamente $Sl_2$ \'e um funtor represent\'avel
${\bf AlgCom}_k\rightarrow {\bf Grp}$, representado
pela \'al\-ge\-bra de Hopf comutativa mas n\~ao
co-comutativa
$$A=k[X_{11},X_{12},X_{21},X_{22}]
/(1-(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}))$$
com co-multiplica\c{c}\~ao, co-unidade e
ant\'{\i}poda dado no exemplo {\bf 1.} de
{\bf I.3}. 
\par
Geometricamente, pelo menos para $k={\bf R}$
o grupo $Sl_2({\bf R})$ \'e um grupo de Lie,
e como tal tem associado sua \'al\-ge\-bra de Lie
$\mathcal{ L}(Sl_2({\bf R}))=sl_2({\bf R})$,
calculada no exemplo {\bf 2.} de {\bf I.2}.
Tomando a \'al\-ge\-bra envolvente
$$\mathcal{ UL}(Sl_2({\bf R}))=\mathcal{ U}(sl_2({\bf R})$$
temos uma \'al\-ge\-bra de Hopf
$\mathcal{ H}(sl_2({\bf R}))$, co-comutativa mas
n\~ao comutativa.
Naturalmente se coloca o problema de investigar
a rela\c{c}\~ao entre $A$
e $\mathcal{ H}(sl_2({\bf R})$.
De fato,
estas \'al\-ge\-bras s\~ao duais uma da outra.
\par
A \'al\-ge\-bra envolvente
$\mathcal{ U}(sl_2({\bf R}))$
\'e gerada pelos elementos
$$X:=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix},\qquad
Y:=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0\end{pmatrix},\ {\rm e}
\ H:=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}.$$
Valem as rela\c{c}\~oes em $\mathcal{ U}
(sl_2({\bf R}))$
\begin{align}
[X,Y]=H,\qquad [H,X]&=2X,\qquad [H,Y]=-2Y,\notag\\
X^iH^j=(H-2i)^jX^i, &\qquad Y^iH^j=(H+2i)^jY^i,\notag\\
[X,Y^i]=iY^{i-1}(H-i+1), & \qquad [X^i,Y]=iX^{i-1}(H+i-1).\notag
\end{align}
Como espa\c{c}o vetorial $\mathcal{ U}(sl_2({\bf R}))$
admite a base
$$\{ X^iY^jH^k\ |\ i,j,k\in {\bf N}\ \}.$$
O centro de $\mathcal{ U}(sl_2({\bf R}))$ \'e
gerado, como \'al\-ge\-bra, pelo {\sl elemento
de Casimir\/}
$$C=XY+YX+\frac{H^2}{2}.$$

\bigskip \noindent
{\bf 2. Mec\^anica alg\'ebrica na categoria ${\bf
AlgHopf}_k$.} Uma \'al\-ge\-bra $A$, objeto de ${\bf
Alg}_k$, \'e um espa\c{c}o vetorial dotado
de morfismos
$$\mu:A\otimes A\longrightarrow A,\qquad
u:k\longrightarrow A.$$
Se $A$ tiver dimens\~ao finita ent\~ao
o espa\c{c}o vetorial dual $A^*={\it Hom}_k
(A,k)$ n\~ao tem uma estrutura de \'agebra, mas
uma de {\sl co-\'al\-ge\-bra\/},
isto \'e, um espa\c{c}o
vetorial  dotado de morfismos
$$\Delta:A\longrightarrow A\otimes A,\qquad
\epsilon:A\longrightarrow k.$$
Estes morfismos s\~ao chamados de
co-multiplica\c{c}\~ao
e de co-unidade, respectivamente. Co-\'al\-ge\-bras,
claro, definem uma categoria ${\bf CoAlg}_k$.
\par
Uma \'al\-ge\-bra $A$ que \'e uma co-\'al\-ge\-bra \'e
algo interessante quando a multiplica\c{c}\~ao
$\mu$ e a unidade $u$ forem morfismos
de co-\'al\-ge\-bras,
e isto acontece exatamente a co-multiplica\c{c}\~ao
$\Delta$ e a co-unidade forem
morfismos de \'al\-ge\-bras.
Neste caso a \'al\-ge\-bra \'e
dita uma {\sl bi-\'al\-ge\-bra\/}.
\par
O morfismo que troca componentes em um produto
tensorial ser\'a denotado por $\tau:A\otimes A
\rightarrow A\otimes A$.
Se $A$ \'e bi-\'al\-ge\-bra ent\~ao $A^{op}$ \'a a
bi-\'al\-ge\-bra que tem como multiplica\c{c}\~ao
$\mu\circ \tau$, e as outras opera\c{c}\~oes como
$A$, $A^{cop}$ \'e a bi-\'al\-ge\-bra que tem como
co-multiplica\c{c}\~ao
$\tau\circ \Delta$, e as outras opera\c{c}\~oes como
$A$, e $A^{op\ cop}$ \'e a
bi-\'al\-ge\-bra que tem como
multiplica\c{c}\~ao $\mu\circ \tau$, como
co-multiplica\c{c}\~ao
$\tau\circ \Delta$, e as outras opera\c{c}\~oes como
$A$. O dual de uma bi-\'al\-ge\-bra tem uma estrutura
de bi-\'al\-ge\-bra.
\par
\'Al\-ge\-bras de Hopf s\~ao
bi-\'al\-ge\-bras que admitem
um ant\'{\i}poda $S$.
O dual de uma \'al\-ge\-bra de Hopf de dimens\~ao
finita
com ant\'{\i}poda $S$ \'e uma \'al\-ge\-bra de Hopf
com ant\'{\i}poda $S^*$, a adjunta linear de $S$.
Em uma \'al\-ge\-bra de Hopf $H$, o ant\'{\i}poda \'e
um morfismo de bi-\'al\-ge\-bras
$$S:H\longrightarrow H^{op\ cop}.$$
N\~ao \'e sempre verdade que $S^2=id$; isto se passa
exatamente quando para todo $x\in H$ vale
$$\mu\circ (S,id)\circ \Delta (x)=\epsilon(x).1,$$
que \'a equivalente a exigir
que para todo $x\in H$ vale
$$\mu\circ (id,S)\circ \Delta (x)=\epsilon(x).1.$$
Se $H$ for comutativa, isto \'e, se
$$\mu\circ\tau=\mu,$$
ou se $H$ for co-comutativa, isto \'e, se
$$\tau\circ\Delta=\Delta,$$
ent\~ao estas condi\c{c}\~oes s\~ao satisfeitas.
\par
Estes jogos de contas de vidro
prosseguem indefinidamente:
para uma \'al\-ge\-bra de Hopf $H$
a bi-\'al\-ge\-bra $H^{op\ cop}$ \'e \'al\-ge\-bra
de Hopf com multiplica\c{c}\~ao $\mu\circ\tau$
e co-multiplica\c{c}\~ao $\tau\circ\Delta$, o
ant\'{\i}poda $S$ sendo morfismo de \'al\-ge\-bra
de Hopf.
\par
A hip\'otese de dimens\~ao finita, duas vezes
formulada na discuss\~ao acima, \'e necess\'aria. Uma
co-\'algebra $C$
com co-multiplica\c{c}\~ao $\Delta$
traz naturalmente para seu dual linear
$C^*={\it Hom}_k
(C,k)$ uma estrutura de \'algebra atrav\'es
da adjunta $\Delta^*:(A\otimes A)^*
\rightarrow A^*$ de $\Delta$, depois
da restri\c{c}\~ao de $(A\otimes A)^*$
a $A^*\otimes A^*$. Analogamente, se $\epsilon
:A\rightarrow k$ \'e co-unidade ent\~ao
$\epsilon^*:k\rightarrow A^*$ \'e uma identidade
para $A^*$. No entanto, se $A$ \'e \'algebra
com multiplica\c{c}\~ao $\mu$, nem sempre
$\mu^*$ dota $A^*$ de uma estrutura de co-\'algebra:
o problema \'e que a imagem de
uma co-multiplica\c{c}\~ao
$\Delta:a\mapsto \sum_i a_i\otimes b_i$
deve ser tal que o somat\'orio seja uma opera\c{c}\~ao
{\it finita\/}; isto acontece se $A$ tiver dimens\~ao
finita.

\bigskip \noindent
{\bf 3. Grupos de Chevalley.} O material aqui reunido
adiciona algo mais ao assunto da classifica\c{c}\~ao
de grupos simples finitos.
\par
O contexto ser\'a a categoria ${\bf AlgLie}_k$
de \'al\-ge\-bras de Lie, e o ponto de vista ser\'a
cada vez mais alg\'ebrico, come\c{c}ando com o
caso $k={\bf C}$. Em {\bf I.2} foi visto que
$ad:D(G)_I\rightarrow {\it Hom}_k(D(G)_I,D(G)_I)$
\'e um homomorfismo em ${\bf AlgLie}_k$
da \'al\-ge\-bra de Lie $D(G)_I=\mathcal{ L}(G)$ associada
a um grupo de Lie $G$. Em geral, para uma \'al\-ge\-bra
de Lie $\mathcal{ L}$, objeto de
${\bf AlgLie}_k$, cada elemento
$X\in \mathcal{ L}$ define uma aplica\c{c}\~ao
$ad(X):\mathcal{ L}\rightarrow \mathcal{ L}$ por
$ad(X):Y\mapsto [X,Y]$.
Esta aplica\c{c}\~ao \'e linear mas n\~ao
\'e morfismo em ${\bf AlgLie}_k$: ao inv\'es, a
identidade de Jacobi mostra que
$$ad(X)([Y,Z])=[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]=
[ad(X)(Y),Z]+[Y,ad(X)(Z)],$$
algo como a regra de Leibniz para deriva\c{c}\~oes.
Assim definimos uma
{\sl deriva\c{c}\~ao\/} de $\mathcal{ L}$
como sendo uma aplica\c{c}\~ao linear
$\delta:\mathcal{ L}\rightarrow
\mathcal{ L}$ satisfazendo
$$\delta([X,Y])=[\delta(X),Y]+[X,\delta(Y)].$$
Assim, para todo $X\in \mathcal{ L}$
a aplica\c{c}\~ao $ad(X)$
\'e uma deriva\c{c}\~ao de $\mathcal{ L}$. 
\par
Sobre um corpo $k$ de caracter\'{\i}stica zero uma
deriva\c{c}\~ao $\delta$ nilpotente, isto \'e,
tal que $\delta^n =0$ para algum
$n$, gera um automorfismo 
$$exp(\delta):=1+\delta+\delta^2/2!+\cdots
+\delta^{n-1}/(n-1)!$$
de $\mathcal{ L}$. De fato,
por indu\c{c}\~ao se mostra
$$\delta^r([X,Y])=\sum_{0\le i\le r}
\binom{r}{i}[\delta^i(X),\delta^{r-i}(Y)],$$
e logo
$$\frac{\delta^r([X,Y])}{r!}=\sum_{0\le i\le r}
[\frac{\delta^i(X)}{i!},
\frac{\delta^{r-i}(Y)}{(r-i)!}].$$
Assim,
\begin{align}
exp(\delta)[X,Y]&=
\sum_{r\ge 0}\sum_{i+j=r}
[\frac{\delta^i(X)}{i!},
\frac{\delta^j(Y)}{j!}]\notag\\
&=
\sum_{i\ge 0}\sum_{j\ge 0}
[\frac{\delta^i(X)}{i!},
\frac{\delta^j(Y)}{j!}]notag\\
&=
[exp(\delta)(X),exp(\delta)(Y)].\notag
\end{align}
O que se usa agora \'e o in\'{\i}cio da
teoria cl\'assica de \'al\-ge\-bras de Lie
{\sl simples\/}, isto \'e, aquelas
que n\~ao tem ideais (no sentido de
\'al\-ge\-bras de Lie) n\~ao triviais
(ver [{\bf Hu}]).
Tais \'al\-ge\-bras foram classificadas
por Cartan e por Killing, e
nesta classifica\c{c}\~ao \'e crucial o
papel desempenhado pelas {\sl sub\'al\-ge\-bras
de Cartan\/}: tais sub\'al\-ge\-bras s\~ao
as sub\'al\-ge\-bras nilpotentes maximais, isto
\'e, sub\'al\-ge\-bras $\mathcal{ H}\subset 
\mathcal{ L}$ tais que
$$[\cdots [[\mathcal{ H},\mathcal{ H}],
\mathcal{ H}],\cdots ,\mathcal{ H}]=0,$$
onde a opera\c{c}\~ao $[\mathcal{ H},\mathcal{ H}]$
\`a esquerda foi tomada um n\'umero
finito de vezes, e tais que
se $[X,H]\in \mathcal{ H}$ para todo $H\in \mathcal{ H}$
ent\~ao $X\in \mathcal{ H}$, isto \'e, $\mathcal{ H}$
n\~ao \'e ideal de nenhuma sub\'al\-ge\-bra
de $\mathcal{ L}$ propriamente contendo $\mathcal{ H}$.
\par
Por exemplo, nas \'al\-ge\-bras de Lie $\mathcal{ L}=
sl_n(k)$ 
de matrizes $n\times n$
de tra\c{c}o nulo
uma sub\'al\-ge\-bra de Cartan
\'e dada pelo conjunto $\mathcal{ H}$
das matrizes $n\times n$ diagonais
de tra\c{c}o nulo.
Esta sub\'al\-ge\-bra tem dimens\~ao
$\dim (\mathcal{ H})=n-1$, e em geral a dimens\~ao
de uma sub\'al\-ge\-bra de Cartan $\mathcal{ H}
\subset \mathcal{ L}$ \'e
dito o {\sl posto\/} de $\mathcal{ L}$: este
conceito \'e bem definido, uma vez que a
dimens\~ao de uma sub\'al\-ge\-bra de Cartan
\'e um invariante de $\mathcal{ L}$, e de fato
todas as sub\'al\-ge\-bras de Cartan s\~ao conjugadas.
Se $\mathcal{ L}$ \'e simples ent\~ao $[\mathcal{ H},
\mathcal{ H}]=0$, e $\mathcal{ L}$ admite uma
decomposi\c{c}\~ao em subespa\c{c}os 
unidimensionais invariantes
pela a\c{c}\~ao de $[H,\bullet]$
para $H\in \mathcal{ H}$:
$$\mathcal{ L}=\mathcal{ H}\oplus \mathcal{ L}_1
\oplus \cdots \oplus \mathcal{ L}_r,$$
dita {\sl decomposi\c{c}\~ao de Cartan\/}.
Por exemplo, nas \'al\-ge\-bras de Lie $\mathcal{ L}=
sl_n(k)$ 
de matrizes $n\times n$
de tra\c{c}o nulo cada matriz
$E_{ij}=(\delta{ij})$ com $i\not j$ gera
um espa\c{c}o $\mathcal{ L}_i$ na
decomposi\c{c}\~ao de Cartan associada
a $\mathcal{ H}$ de matrizes diagonais
$H=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\ldots &0\\
0&\lambda_2&\ldots &0\cr &\cdots &&\\
0&\ldots &0&\lambda_n\end{pmatrix}$:
$$[H,E_{ij}]=(\lambda_i-\lambda_j)E_{ij}.$$
Em geral uma \'al\-ge\-bra de Lie
$\mathcal{ L}$ simples admite uma base
$\mathcal{ C}=\{ H_i\in \mathcal{ H},
E_i\in \mathcal{ L}_i\}$
na qual para quaisquer $X,Y\in \mathcal{ C}$
vale que $[X,Y]$ pode ser escrito como
uma combina\c{c}\~ao linear {\sl inteira\/}
de elementos de $\mathcal{ C}$. Bases de
$\mathcal{ L}$ com esta propriedade s\~ao
isoladas para classificar as \'al\-ge\-bras
simples $\mathcal{ L}$, e s\~ao chamadas
{\sl bases de Chevalley\/}.
\par
Dada uma base de Chevalley
$\mathcal{ C}=\{ H_i\in \mathcal{ H},
E_i\in \mathcal{ L}_i\}$ de $\mathcal{ L}$,
a a\c{c}\~ao de $ad(E_i)$ \'e nilpotente,
e pelo visto acima $exp(ad(E_i)$ \'e
um automorfismo de $\mathcal{ L}$.
Definimos, para $\alpha\in k$,
o automorfismo de $\mathcal{ L}$
$$x_i(\alpha)=exp(\alpha \ ad(E_i)),$$
e consideramos o grupo $\mathcal{ L}(k)$
que estes automorfismos geram
em ${\it Aut}_{{\bf AlgLie}_k}(
\cal L,\mathcal{ L})$.
\par
No exemplo de $sl_n(k)$ estes
automorfismos s\~ao exponenciais
de matrizes de tra\c{c}o nulo, e
est\~ao no grupo de Lie $Sl_n(k)$
associado. Em geral recuperamos
em $\mathcal{ L}(k)$ um esqueleto
do grupo de Lie.
\par
Com efeito, se dada uma \'al\-ge\-bra de
Lie simples $\mathcal{ L}$ considerarmos
uma base de Chevalley $\mathcal{ C}$ de
$\mathcal{ L}$ as rela\c{c}\~oes satisfeitas
pelos elementos $x_i(\alpha)$ (que
decorrem das {\sl constantes
estruturais\/} de $\mathcal{ L}$ em termos
da base $\mathcal{ C}$, isto \'e, da
express\~ao dos resultados $[H_i,E_j]$,
$[E_j,E_l]$ em termos da base $\mathcal{ C}$)
se expressam tamb\'em em inteiros (e,
claro, em $\alpha\in k$). Por exemplo,
vale,
$$x_i(\alpha)(E_i)=(E_i),\qquad
x_i(\alpha)(H_i)=H_i-2\alpha E_i,$$
e assim por diante.
\par
Isto permite a considera\c{c}\~ao,
em primeiro lugar, de uma ``\'al\-ge\-bra
de Lie inteira'' $\mathcal{ L}_{\bf Z}$,
como sendo o grupo abeliano livre gerado
por $\mathcal{ C}$ sobre o qual \'e
definida
uma opera\c{c}\~ao $[X,Y]$ {\it com as
mesmas constantes estruturais\/} que
$\mathcal{ L}$ admitia sobre $\mathcal{ C}$.
Se $K$ for agora um corpo qualquer,
toma-se o morfismo \'unico $\eta:{\bf Z}
\rightarrow K$ sobre $\mathcal{ L}_{\bf Z}$
e assim se define uma \'al\-ge\-bra
de Lie $\mathcal{ L}_K$ com as constantes
estruturais vindas das de $\mathcal{ L}_{\bf Z}$
atrav\'es de $\eta$. Nesta \'al\-ge\-bra
\'e poss\'{\i}vel definir automorfismos
``vindos'' de $x_1(\alpha)$ da seguinte
forma: a matriz que representa $x_i(\alpha)$
tem entradas da forma $l\alpha^j$, onde
$l\in {\bf Z}$ \'e inteiro. Se $a\in K$
ent\~ao aplicamos nas entradas desta
matriz a transforma\c{c}\~ao $l\alpha^j
\mapsto \eta(l)a^j$, e isto define
um automorfismo $x_i(a)$.
O subgrupo de ${\it Aut}_K(\mathcal{ L}_K,
\mathcal{ L}_K)$ gerado por tais elementos
$x_i(a)$ \' e denotado por $\mathcal{ L}(K)$.
Os elementos $x_i(a)\in \mathcal{ L}(K)$
ser\~ao exponenciais, estar\~ao ainda
em ``grupos de Lie'', que agora poder\~ao
ser tomados sobre qualquer corpo, {\it
inclusive sobre corpos finitos\/}.
\par
N\~ao deve ser surpreendente que
tomando $K$ um corpo finito
recuperamos os grupos cl\'assicos finitos
listados em {\bf 1.} de ({\bf I.1}).
Mais surpreendente s\~ao as ``exce\c{c}\~oes''
que o teorema de classifica\c{c}\~ao de
\'al\-ge\-bras de Lie simples indica: cinco
\'al\-ge\-bras, denotadas por $G_2, F_4, E_6,
E_7$ e $E_8$, que s\~ao \'al\-ge\-bras de Lie
simples n\~ao sendo \'al\-ge\-bras de Lie
de grupos cl\'assicos (o subscrito se
refere ao posto da \'al\-ge\-bra, isto \'e,
a dimens\~ao de qualquer sub\'al\-ge\-bra de
Cartan). Estas \'al\-ge\-bras s\~ao ditas
{\sl excepcionais\/}, e cumprem o mesmo
papel dos grupos espor\'adicos no teorema
de classifica\c{c}\~ ao de grupos simples.
Mas as \'al\-ge\-bras espor\'adicas $\mathcal{ L}$
{\sl geram grupos simples finitos\/}
$\mathcal{ L}({\bf F}_q)$ ditos
{\sl grupos de Chevalley\/} (que n\~ao s\~ao
grupos espor\'adicos).

\bigskip \noindent
{\bf 4. Estrutura\c{c}\~ao livre.}
As categorias de \'algebras aqui consideradas
s\~ao todas categorias concretas, para cada uma
existindo funtores de esquecimento para a categoria
{\bf Conj}. Adjuntos \`a esquerda de funtores
de esquecimento s\~ao funtores de estrutura\c{c}\~ao
livre.
\par
O funtor de esquecimento
$$\mathcal{ E}_{{\bf Alg}_k}\rightarrow {\bf Conj}$$
tem um adjunto \'a esquerda que a cada conjunto
$X$, objeto de {\bf Conj}, associa a \'algebra
$k\{ X\}$ de polin\^omios em vari\'aveis n\~ao
comutativas indexadas por $X$: como espa\c{c}o
vetorial sobre $k$ \'e gerado por palavras
$x_{i_1}\ldots x_{i_r}$, que se multiplicam
por concatena\c{c}\~ao. O funtor de esquecimento
$$\mathcal{ E}_{{\bf AlgCom}_k}\rightarrow {\bf Conj}$$
da categoria das \'algebras comutativas sobre $k$
tem um adjunto \'a esquerda que a cada conjunto
$X$, objeto de {\bf Conj}, associa a \'algebra
mais usual
$k[ X]$ de polin\^omios em vari\'aveis
comutativas indexadas por $X$.
\par
O funtor de esquecimento
$$\mathcal{ E}:{\bf Alg_k}\longrightarrow {\bf Mon}$$
que ignora a estrutura aditiva de uma \'algebra
e s\'o deixa o mon\'oide resultante, objeto de
{\bf Mon},
tem um adjunto \`a esquerda que associa a cada
mon\'oide $M$, objeto de {\bf Mon}, a {\sl \'algebra
do mon\'oide\/} $kM$, com a multiplica\c{c}\~ao
$$\mu:m\otimes n\mapsto mn$$
dependendo da opera\c{c}\~ao de $M$
e sendo comutativa
exatamente quando $M$ o for.
Esta \'algebra $kM$ tem estrutura
de co-\'algebra, co-comutativa sempre,
com co-multiplica\c{c}\~ao
e co-unidade dadas por
$$\Delta:m\mapsto m\otimes m,\qquad {\rm e}\qquad
\epsilon:m\mapsto 1.$$
Esta co-opera\c{c}\~oes indempendem da
opera\c{c}\~ao de $M$, e como co-\'algebra,
objeto em ${\bf CoAlg}_k$, $kM=kX$ pode ser
definida para qualquer conjunto $M=X$, objeto em
{\bf Conj}. {\it Caveat emptor:\/} a constru\c{c}\~ao
de $kX$ {\it n\~ao\/} define adjunto, \`a esquerda
ou \`a direita, do funtor de esquecimento
$$\mathcal{E}_{{\bf CoAlg}_k}:{\bf CoAlg}_k
\longrightarrow {\bf Conj};$$
de fato, ${\bf CoAlg}_k$ tem como objeto
final o corpo de constantes $k$ com a
estrutura de co-\'algebra dada por $1=1\otimes 1$,
para cada co-\'algebra
$C$, objeto em ${\bf CoAlg}_k$,
a co-unidade
$$\epsilon_C:C\longrightarrow k$$
sendo o \'unico morfismo em ${\it Hom}_{{\bf CoAlg}_k}
(C,k)$. Como $k$, depois de esquecida sua \'algebra,
n\~ao \'e o objeto final de {\bf Conj}, que \'e
o conjunto com um elemento s\'o, o funtor
de esquecimento
$\mathcal{E}_{{\bf CoAlg}_k}$ n\~ao pode ter
adjunto \`a direita.
Por outro lado, o conjunto vazio $\emptyset$,
o objeto inicial em {\bf Conj}, n\~ao tem estrutura
de co-\'algebra, n\~ao tendo sequer estrutura
de espq\c{c}o vetorial, e logo o funtor
de esquecimento $\mathcal{E}_{{\bf CoAlg}_k}$
n\~ao tem adjunto \`a esquerda. Como espa\c{c}o
vetorial sobre $k$, objeto em ${\bf Vect}_k$,
p espa\c{c}o vetorial subjacente \`a co-\'algebra
$kX$ \'e dado por
$$kX=\oplus_{x\in X}kx,$$
e $X\rightarrow kX$ \'e adjunto \`a esquerda
do funtor de esquecimento ${\bf Vect}_k\rightarrow
{\bf Conj}$, e assim sequer o funtor de
esquecimento ${\bf CoAlg}_k\rightarrow {\bf Vect}_k$
admite adjunto \`a esquerda.
\par
Se, al\'em de mon\'oide, $M=G$ for um grupo,
objeto em {\bf Grp}, ent\~ao $kG$
tem um ant\'{\i}poda $S:g\mapsto g^{-1}$ que faz de
$kG$ uma \'algebra de Hopf (co-comutativa, mas
nem sempre comutativa),
objeto de ${\bf AlgHopfCocom}_k$.
\par
Se $G$ for finito ent\~ao o dual ${\it Hom}_k(kG,k)$
\'e \'algebra de Hopf (comutativa, mas nem sempre
co-comutativa), objeto de ${\bf AlgHopfCom}_k$,
dada pelas fun\c{c}\~oes definidas em $G$ tomando
valores em $k$ com a estrutura natural usual de
\'agebra:
${\it Hom}_k(kG,k)={\it Hom}_{\bf Conj}(G,k)$; a
co-multiplica\c{c}\~ao e a co-unidade s\~ao dadas
por
$$\Delta(f)(g,h)=f(gh)\qquad {\rm e}\qquad
\epsilon(f)=f(1).$$
Se $G$ for, al\'em de finito, comutativo, ent\~ao
esta \'algebra de Hopf ${\it Hom}_k(kG,k)$ \'e
isomorfa a $k\hat{G}$, onde $\hat{G}$ \'e o
{\sl grupo de caracteres\/} de $G$ (o {\sl dual
de Pontryagin\/}), o isomorfismo sendo dado pela
transformada de Fourier. Se $G$ n\~ao for comutativo ent\~ao
$kG$ pode funcionar como fun\c{c}\~oes ${\it Hom}_k
(?,k)$ em um espa\c{c}o ``qu\^antico'' n\~ao
comutativo inexistente, que generaliza $\hat{G}$
(neste caso, $\hat{G}$, definido como classes
de equival\^encia de m\'odulos simples, --- n\~ao
mais unidimensionais --- n\~ao \'e mais um grupo).
  
\subsection{Representa\c{c}\~oes}

O conceito bastante geral de representa\c{c}\~ao
para grupos 
foi definido no exemplo {\bf 3.}
em {\bf I.3}:
$$\rho:G\longrightarrow {\it Aut}_{\bf C}(C,C).$$
Se {\bf C} for uma categoria de m\'odulos
com alguma estrutura ent\~ao a representa\c{c}\~ao
linear $\rho$ e o m\'odulo $C$ costumam ser
identificados.
Assim, por exemplo, se $G$ for um grupo de Lie
ent\~ao em {\bf I.2} foi visto que
$Ad$ \'e uma representa\c{c}\~ao de $G$ em
sua \'al\-ge\-bra de Lie $\mathcal{ L}(G)=D(G)_I$,
como um espa\c{c}o vetorial, isto \'e,
${\bf C}=Vect_k$ \'e a categoria dos espa\c{c}os
vetoriais sobre $k$. Uma tal representa\c{c}\~ao
linear \'e simplesmente um morfismo de grupos
$\rho:G\rightarrow Gl(V)$.
\par
Naturalmente se generaliza este conceito para
outras categorias.
Assim, para uma \'al\-ge\-bra de Lie $A$ uma
representa\c{c}\~ao \'e um morfismo
$\rho:A\rightarrow gl(V)$ de \'al\-ge\-bras
de Lie. Uma representa\c{c}\~ao de um grupo
de Lie $G$ d\'a origem a uma representa\c{c}\~ao
de sua \'al\-ge\-bra de Lie $\mathcal{ L}(G)$ por
deriva\c{c}\~ao, e localmente vale uma
rec\'{\i}proca. Se $G$ for conexo e simplesmente
conexo as representa\c{c}\~oes em dimens\~ao
finita de $G$ e de $\mathcal{ L}(G)$ se correspondem
bijetivamente.
\par
Para uma \'al\-ge\-bra $A$ sobre $k$, objeto de
${\bf Alg}_k$, uma representa\c{c}\~ao \'e
um morfismo $\rho:A\rightarrow {\it Hom}_k(V,V)$.
Para uma \'al\-ge\-bra de Lie $A$ sobre $k$ as
representa\c{c}\~oes de $A$ correspondem
bijetivamente \`as representa\c{c}\~oes de
sua \'al\-ge\-bra envolvente $\mathcal{ U}(A)$.
\par
Para um funtor $G:{\bf C}\rightarrow {\bf Grp}$
em grupos e um funtor $X:{\bf C}\rightarrow
{\bf Conj}$ em conjuntos uma representa\c{c}\~ao
\'e uma transforma\c{c}\~ao natural
$G\times X\stackrel{\bullet}{\rightarrow}
X$ que a cada objeto {\bf C} define uma
a\c{c}\~ao $G(C)\times X(C)\rightarrow X(C)$.
No caso tartado em ({\bf I.3})
acima ${\bf C}={\bf AlgCom}_k$, e a
representa\c{c}\~ao \'e linear se para
toda \'al\-ge\-bra $A$, objeto de ${\bf AlgCom}_k$,
$X(A)=V\times A$, para um m\'odulo $V$ sobre
$k$ fixo, e se $G(A)$ \'e linear sobre $k$.
Se os funtores forem represent\'aveis,
observando o que estes dados implicam para os
objetos que os representam, \`a maneira de
Yoneda, \'e natural a defini\c{c}\~ao:
se $A$ \'e um objeto de Hopf em ${\bf AlgCom}_k$
um m\'odulo $V$ sobre $k$ \'e dito um
{\sl com\'odulo\/} sobre $A$ se existir
$\rho:V\rightarrow V\otimes A$ tornando comutativos
os diagramas
$$\begin{matrix} V&
\mathop{\longrightarrow}
\limits^{\rho}
&V\otimes A
\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \rho$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow
\vcenter{\hbox{$ id\otimes \Delta$}}\\ \\
\qquad V\otimes A&
\mathop{\longrightarrow}
\limits^{\rho\otimes\Delta}
&V\otimes A\otimes A,
\end{matrix}$$
e
$$\begin{matrix} V&
\mathop{\longrightarrow}
\limits^{\rho}
&V\otimes A
\\ \\
\vcenter{\hbox{$=$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow
\vcenter{\hbox{$ id\otimes\epsilon$}}\\ \\
\qquad V&
\mathop{\longrightarrow}
\limits^{\simeq}
&V\otimes k.
\end{matrix}$$ 
Se $V=A$ e $\rho=\Delta$ temos a {\sl
representa\c{c}\~ao regular\/} de $A$.

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1. O caso de $Sl_2$.}
Representa\c{c}\~oes da \'al\-ge\-bra de Lie
$sl_2=\mathcal{ L}(Sl_2)$ correspondem a
representa\c{c}\~oes de sua \'al\-ge\-bra
envolvente $\mathcal{ UL}(sl_2)$.
Representa\c{c}\~oes irredut\'{\i}veis de
dimens\~ao finita de $\mathcal{ UL}(sl_2)$
s\~ao parametrizadas por naturais da seguinte
maneira. Lembramos ({\bf 1.} depois de ({\bf
I.4})) que $\mathcal{ UL}(sl_2)$ \'e gerada por
$X,Y$ e $H$; dado um m\'odulo $V$ sobre
$\mathcal{ UL}(sl_2)$, um autovetor $v\in V$
de $H$
$$Hv=\lambda v$$
\'e dito ter {\sl peso\/} $\lambda$.
(Aqui se identifica $H$ com $\rho (H)$).
Se, al\'em disso, $Xv=0$ ent\~ao $v$ \'e
dito ser {\sl vetor de peso m\'aximo\/}.
\par
Sobre um corpo algebricamente fechado $k$
todo m\'odulo tem vetor de peso m\'aximo:
certamente existir\'a um autovetor $v$
de $H$ com autovalor $\alpha$,
e se $Xv=0$ ele ser\'a vetor de
peso m\'aximo. Caso contr\'ario, considere-se
a sequ\^encia $X^i(v)$. Pelas rela\c{c}\~oes
listadas em {\bf 1.} de ({\bf I.4})
(v\'alidas tamb\'em em
$\mathcal{ U}(sl_2({\bf C}))$) vale
$$HX^i(v)=(\alpha +2i)X^iv,$$
e logo $X^iv$ s\~ao autovetores de $H$
com autovalores distintos. Como o m\'odulo
tem dimens\~ao finita, eventualmente
acontece que $X^iv\not= 0$ mas $X^{i+1}v=0$,
e neste caso $X^iv$ \'e vetor de peso m\'aximo.
Destas rela\c{c}\~oes ainda se deduz,
para $v$ vetor de peso m\'aximo com peso
$\lambda$,
$$H\frac{Y^iv}{i!}=(\lambda -2i)\frac{Y^iv}{i!},$$
$$X\frac{Y^iv}{i!}=(\lambda -i+1)
\frac{Y^{i-1}v}{(i-1)!}$$
e
$$Y\frac{Y^iv}{i!}=(i+1)\frac{Y^{i+1}v}{(i+1)!}.$$
Assim, $\{ \frac{Y^iv}{i!}\}$ \'e uma sequ\^encia
de autovetores de $H$ com autovalores distintos
e, novamente, deve existir um maior inteiro $i$
para o qual $\frac{Y^iv}{i!}$ n\~ao seja nulo. De fato,
pelas rela\c{c}\~oes acima $0=X\frac{Y^{i+1}v}
{(i+1)!}=
(\lambda -i)\frac{Y^iv}{i!}$, e logo $\lambda =i$ \'e
um inteiro. Al\'em disso, $\{ \frac{Y^jv}{j!}\}_{j=0,
\ldots ,\lambda}$ \'e conjunto linearmente
independente, uma vez que s\~ao autovetores
associados de $H$ a distintos autovalores.
O m\'odulo que estes vetores geram tem assim
dimens\~ao $\lambda +1$ e \'e
simples, e a a\c{c}\~ao de
$H$ \'e diagonal com $\lambda+1$ autovalores
distintos $\lambda, \lambda-2,\ldots ,\lambda-
2\lambda =-\lambda$. O vetor de peso m\'aximo
\'e distinguido entre os autovetores por estar
associado ao autovalor $\lambda$, de modo que
qualquer outro vetor de peso m\'aximo \'e
um m\'ultiplo escalar de $v$. Como qualquer
m\'odulo tem um vetor de peso m\'aximo,
os \'unicos m\'odulos simples $V$ (de dimens\~ao
finita) de $\mathcal{ U}(sl_2({\bf C}))$ s\~ao os
m\'odulos gerados por um vetor de peso m\'aximo
de peso inteiro $i=\dim V$. Este m\'odulo \'e
dito {\sl m\'odulo de peso m\'aximo\/} e
\'e denotado por $V(i)$, com a
representa\c{c}\~ao correspondente denotada
por $\rho_i:sl_2({\bf C})\rightarrow gl_{i+1}
({\bf C})$.
\par
Observe que
$\rho_0$ \'e a
representa\c{c}\~ao trivial,
$\rho_1$ \'e a
representa\c{c}\~ao natural $sl_2\rightarrow
gl_2$ e
$\rho_2$ \'e a
representa\c{c}\~ao adjunta com $X$
sendo o vetor de peso m\'aximo, $-H=[Y,X]$
e $Y=\frac{[Y,[Y,X]]}{2!}=-\frac{[Y,H]}{2!}$.
\par
No m\'odulo $V(i)$ qualquer elemento do
centro de $\mathcal{ U}(sl_2({\bf C}))$ age
por um m\'ultiplo escalar da identidade.
Em particular, como para $v$ o
vetor de peso m\'aximo e $C$ o elemento
de Casimir vale
$$Cv=XYv=YXv+\frac{H^2v}{2}=iv+\frac{i^2}{2}v,$$
o elemento de Casimir
age por multiplica\c{c}\~ao por $\frac{i(i+2)}{2}$.
\vfill \eject

\section{Grupos Qu\^anticos}

\vskip 2cm \noindent

\subsection{O Plano Qu\^antico, as Matrizes
Qu\^anticas e os Grupos Qu\^anticos} 


\bigskip \noindent
A primeira se\c{c}\~ao deste trabalho terminou
num impasse: disputando prioridade sobre o estudo
dos grupos cl\'assicos, os algebristas chamaram
\`a aten\c{c}\~ao que estes grupos eram funtores
${\bf AlgCom}_k\rightarrow {\bf Grp}$ (uma
terminologia francesa original era {\sl funtores
em grupos\/}; depois foi acatada a
denomina\c{c}\~ao {\sl esquemas afins de grupo\/}).
Estes funtores eram represent\'aveis, e tudo a ser
feito com eles podia ser feito, conforme Yoneda
dizia, com os objetos que os representavam. Ora,
estes objetos eram \'al\-ge\-bras de Hopf
{\it comutativas\/} sobre $k$, e a categoria
${\bf AlgHopfCom}_k$ ganhou fama e fortuna entre
os algebristas.
\par
Os ge\^ometras, por outro lado, viam os grupos
cl\'assicos como grupos de Lie, eram levados a
estudar suas \'al\-ge\-bras de Lie correspondentes e,
para fugir da n\~ao associatividade, passavam \`as
\'al\-ge\-bras envolventes, tendo aplicado o funtor
composto $\mathcal{ UL}:{\bf GrpLie}\rightarrow
{\bf Alg}_k$. Ora, as \'al\-ge\-bras onde ca\'{\i}ram
eram naturalmente \'al\-ge\-bras de Hopf sobre $k$
n\~ao comutativas, mas {\it co-comutativas\/}.
\par
Salomonicamente, a teoria de grupos qu\^anticos
postula que a categoria a estudar \'e
${\bf AlgHopf}_k$, a categoria das \'al\-ge\-bras
de Hopf n\~ao (necessariamente) comutativas
nem co-comutativas. A motiva\c{c}\~ao veio do
fato de os f\'{\i}sicos terem que trabalhar
com rela\c{c}\~oes de comuta\c{c}\~ao ex\'oticas,
o que os levaram a postular o {\sl plano
qu\^antico\/}, a ser definido a seguir.
\par
O plano comum $A^2$, para
$A$ uma \'al\-ge\-bra comutativa
sobre $k$, pode ser visto como o funtor
represent\'avel ${\bf AlgCom}_k\rightarrow {\bf
Conj}$ representado pela \'al\-ge\-bra de polin\^omios
em duas vari\'aveis comutativas $k[X_1,X_2]$: a cada
par ordenado $(a,b)$ \'e associado o \'unico
morfismo em ${\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}(k[x,y],
A)$ satisfazendo $x\mapsto a, y\mapsto b$.
Incidentalmente, o grupo abeliano subjacente
a $A^2$ torna $k[x,y]$ co-objeto de Hopf em
${\bf AlgCom}_k$, ou seja, uma \'al\-ge\-bra de Hopf
comutativa, com a co-multiplica\c{c}\~ao dada por
\begin{eqnarray*}
\Delta:x&\mapsto x\otimes 1+1\otimes x\\
y&\mapsto y\otimes 1+1\otimes y.
\end{eqnarray*}
\par
O golpe
de estado que os f\'{\i}sicos tramaram foi considerar
o plano qu\^antico baseado no anel de polin\^omios
em duas vari\'aveis n\~ao-comutativas,
denotado por $k\{ x,y\}$, e nele tomar o
ideal bilateral $I_q$ gerado pelo elemento
\begin{equation}
yx-qxy,\tag{\bf II.1.1}
\end{equation}
para $q$ um elemento n\~ao nulo do corpo
de constantes $k$. O par\^ametro $q$ vai funcionar
como um par\^ametro de deforma\c{c}\~ao; devemos
voltar a obter a situa\c{c}\~ao comutativa
``cl\'assica'' no caso $q=1$. O plano qu\^antico
\'e definido pela \'al\-ge\-bra quociente
$$k_q[x,y]:=k\{ x,y\}/I_q,$$
que \'e n\~ao comutativa se $q\not= 1$.
\par
A terminologia adotada confunde o plano qu\^antico
com a \'al\-ge\-bra que o representa. Para uma \'al\-ge\-bra
$A$, objeto de ${\bf Alg}_k$,  elementos
do conjunto
$${\it Hom}_{{\bf Alg}_k}(k_q[x,y],A)$$
est\~ao em bije\c{c}\~ao com pares ordenados
$(a,b)$ que satisfazem $ab=qba$, e s\~ao ditos
{\sl pontos do plano qu\^antico definidos\/}
sobre $A$.
\par
A \'al\-ge\-bra $k_q[x,y]$ \'e noetheriana, naturalmente
graduada, n\~ao tem divisores de zero e tem o
conjunto de mon\^omios
$$\{ x^iy^j\ |\ i,j\ge 0\ \}$$
como base do espa\c{c}o vetorial subjacente;
para provar isto \'e usada a rela\c{c}\~ao
$$y^jx^i=q^{ij}x^iy^j.$$
Outro plano qu\^antico usado em supergeometria
\'e definido pela \'al\-ge\-bra
$$_qk[x,y]:=k\{ x,y\}/(x^2,y^2,xy+qyx).$$
O ideal desta segunda \'al\-ge\-bra sendo tamb\'em
homog\^eneo, $_qk[x,y]$ \'e tamb\'em noetheriana e
graduada, e o espa\c{c}o vetorial subjacente
admite a seguinte base
$$\{ x^iy^j\ |\ 0\le i,j\le 1\ \}.$$
N\~ao se pode mais confiar que as ``matrizes''
que v\~ao agir no plano qu\^antico sejam
simplesmente os endomorfismos do plano em
alguma categoria: \'e preciso definir
as matrizes relevantes da mesma forma
como foi definido o plano, por deforma\c{c}\~ao,
e ent\~ao definir tamb\'em a a\c{c}\~ao.
\par
{\sl
No que se segue \'e assumido $q^4\not= 1$\/}.
\par
Na situa\c{c}\~ao cl\'assica
o conjunto das matrizes $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d
\end{pmatrix}$
com coeficientes em uma
\'al\-ge\-bra comutativa $A$ \'e identificado com
$${\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}(k[a,b,c,d], A).$$
Da mesma forma, no plano qu\^antico $k_q[x,y]$
em que vale a rela\c{c}\~ao
({\bf II.1.1}) $yx=qxy$ os produtos matriciais
$$\begin{pmatrix}x'\\ y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\qquad {\rm e}\qquad
\begin{pmatrix}x''\\ y''
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&c\\ b&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix},$$
referentes ao produto por
$\begin{pmatrix}a&c\\ b&d
\end{pmatrix}$ \`a esquerda e \`a
direita, as rela\c{c}\~oes $y'x'=qx'y'$ e
$y''x''=qx''y''$ s\~ao equivalentes \`as
rela\c{c}\~oes
\begin{align}
ab=q^{-1}ba, &\qquad ac=q^{-1}ca\notag\\
cd=q^{-1}dc, &\qquad bd=q^{-1}db\notag\\
bc=cb, &\qquad ad-da=(q^{-1}-q)bc.
\tag{\bf II.1.2}
\end{align}
Por exemplo, o produto matricial
\`a esquerda e ({\bf II.1.1})
para $x',y'$ implicam
$$(cx+dy)(ax+by)=q(ax+by)(cx+dy),$$
e identificando coeficientes de $x^2, y^2$
e $xy$ segue
$$ca=qac,\qquad db=qbd,\qquad {\rm e}\qquad
cb+qda=qad+q^2bc.$$
Esta \'ultima rela\c{c}\~ao implica na \'ultima
rela\c{c}\~ao de ({\bf II.1.2}) por divis\~ao
por $q$. As outras verifica\c{c}\~oes s\~ao
similares, assim como a verifica\c{c}\~ao
da rec\'{\i}proca.
\medskip 
Com isso, o conjunto das matrizes que v\~ao
operar no plano qu\^antico $k_q[x,y]$
s\~ao definidas por
$$\mathcal{ M}_q(2):=k\{ a,b,c,d\}/R,$$
onde $R$ \'e o ideal bilateral de $k\{ a,b,c,d\}$
gerado pelas rela\c{c}\~oes ({\bf II.1.2}) acima.
Se $q=1$ claramente $\mathcal{ M}_q(2)$ \'e 
a \'agebra comutativa $k[a,b,c,d]$ que representa
o funtor que para cada \'al\-ge\-bra comutativa $A$
fornece o conjunto das matrizes $2\times 2$
com coeficientes em $A$. Para definir o
produto matricial neste conjunto \'e neces\'ario
instituir a co-multiplica\c{c}\~ao que, no caso
comutativo ($q=1$) \'e dada por
\begin{eqnarray*}\Delta :a&\mapsto a'\otimes a''+b'
\otimes c'\\
b&\mapsto a'\otimes b''+b'\otimes d''\\
c&\mapsto c'\otimes a''+d'\otimes c''\\
d&\mapsto c'\otimes b''+d'\otimes d''.
\end{eqnarray*}
Como as rela\c{c}\~oes ({\bf II.1.2}) s\~ao
homog\^eneas em $a,b,c,d$ a \'al\-ge\-bra
$\mathcal{ M}_q(2)$ \'e graduada, e o espa\c{c}o
vetorial subjacente admite a base
$$\{ a^ib^jc^md^n\ |\ i,j,m,n \ge 0\ \}.$$
Se $A$ \'e uma \'al\-ge\-bra sobre $k$, objeto de
${\bf Alg}_k$, ent\~ao os elmentos de
${\it Hom}_{{\bf Alg}_k}(\mathcal{ M}_q(2),A)$
s\~ao ditos {\sl pontos de $\mathcal{ M}_q(2)$
definidos sobre $A$\/}. A nota\c{c}\~ao matricial
$\begin{pmatrix}f(a)&f(b)\\ f(c)&f(d)
\end{pmatrix}$
para o ponto $f$ \'e inevit\'avel.
\par
As matrizes $2\times 2$ e o plano
est\~ao assim definidos, bem como o(s) produto(s)
de uma matriz por um vetor. A pr\'oxima
defini\c{c}\~ao \'e
\begin{equation}
{\det}_q=ad-q^{-1}bc=da-qbc\in \mathcal{ M}_q(2).
\tag{\bf II.1.3}
\end{equation}
De
$${\det}_q a=(ad-q^{-1}bc)a=a(da-qbc)=a{\det}_q$$
segue que $\det_q$ comuta com $a$, e da mesma
forma, $\det_q$ comuta com todas os geradores,
e $\det_q$ est\'a assim no centro de
$\mathcal{ M}_q(2)$. O determinante qu\^antico
se define tamb\'em para um ponto $f$ de
$\mathcal{ M}_q(2)$ definido sobre uma \'al\-ge\-bra
$A$ por $\det_q(f)=f(a)f(d)-q^{-1}f(b)f(c)$.
Se $f,g$ s\~ao pontos de $\mathcal{ M}_q(2)$
definidos sobre uma \'al\-ge\-bra $A$ tais que
$f(a),f(b),f(c),f(d)$ comutam com $g(a),
g(b),g(c),g(d)$ ent\~ao o {\sl produto\/}
$$\begin{pmatrix}f(a)&f(b)\\ f(c)&f(d)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}g(a)&g(b)\\ g(c)&g(d)\end{pmatrix}$$
\'e um ponto $fg$ de 
$\mathcal{ M}_q(2)$ definido sobre $A$, e neste
caso ${\det}_q(f)=\det_q(g)=\det_q(fg)\in A$.
\par
Em $\mathcal{ M}_q(2)$ \'e definida uma
co-multiplica\c{c}\~ao $\Delta$
e uma co-unidade $\epsilon$
que generalizam o caso comutativo:
\begin{eqnarray*}\Delta :a&\mapsto a\otimes a+b
\otimes c\\
b&\mapsto a\otimes b+b\otimes d\\
c&\mapsto c\otimes a+d\otimes c\\
d&\mapsto c\otimes b+d\otimes d,
\end{eqnarray*}
e
$$\epsilon:a,d\mapsto 1,\qquad {\rm e}
\qquad \epsilon:b,c\mapsto 0.$$
Com estas opera\c{c}\~oes
$$\Delta({\det}_q)={\det}_q\otimes {\det}_q,
\qquad {\rm e}\qquad \epsilon({\det}_q)=1.$$
Podemos agora definir
$$(Gl_2)_q=\mathcal{ M}_q(2)[t]/(t{\det}_q-1),$$
e $$(Sl_2)_q=\mathcal{ M}_q(2)/({\det}_q-1).$$
Para uma \'al\-ge\-bra $A$ um {\sl ponto de\/}
$(Gl_2)_q$ ou de $(Sl_2)_q$ {\sl definido
sobre \/} $A$ \'e um elemento do
conjunto
$${\it Hom}_{{\bf Alg}_k}(G_q,A),\qquad
{\rm para}\qquad G_q=(Gl_2)_q\ {\rm ou}
\ G_q=(Sl_2)_q.$$
Os grupos qu\^anticos $G_q$ s\~ao objetos de Hopf em
${\bf Alg}_k$, ou seja, s\~ao \'al\-ge\-bras
de Hopf com o ant\'{\i}poda definido
matricialmente por
$$\begin{pmatrix}S(a)&S(b)\\ S(c)&S(d)
\end{pmatrix}=
\frac{1}{\det_q}\begin{pmatrix}d&-qb\\ -q^{-1}c&a
\end{pmatrix}.$$
H\'a muita verifica\c{c}\~ao a ser
cumprida para este enunciado. H\'a
algum susto, tamb\'em: o ant\'{\i}poda
{\it n\~ao\/} \'e involutivo:
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}S^2(a)&S^2(b)\\ S^2(c)&S^2(d)
\end{pmatrix}&=
\begin{pmatrix} a&q^2b\\ q^{-2}c&d
\end{pmatrix}\\ &=
\begin{pmatrix}q&0\\ 0&q^{-1}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}q^{-1}&0\\ 0&q\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
As \'al\-ge\-bras de Hopf $G_q$ n\~ao s\~ao nem
comutativas nem co-comutativas.

\bigskip \noindent
{\bf Exemplos e Exerc\'{\i}cios}

\bigskip \noindent
{\bf 1.} Seja $B$ a \'al\-ge\-bra comutativa
$$B:= {\it Hom}_{\bf Diff}({\bf C}\setminus \{ 0\},
{\bf C}),$$
e seja $q\in {\bf C}\setminus \{ 0,1\}$.
\par
Considere
a \'al\-ge\-bra n\~ao comutativa $A$,
sub\'al\-ge\-bra de ${\it Hom}_{{\bf AlgCom}_k}(B,B)$,
gerada por $\tau_q$ e $\delta_q$, onde
\begin{align}
\tau_q:B&\longrightarrow B\\
f&\mapsto \tau_q(f):{\bf  C}\setminus \{ 0\}
\rightarrow {\bf C}\notag\\
&\qquad \qquad \ x\mapsto f(qx)\notag
\end{align}
e
\begin{align}
\delta_q:B&\longrightarrow B\\
f&\mapsto \delta_q(f):{\bf  C}\setminus \{ 0\}
\rightarrow {\bf C}\notag\\
&\hspace{1in}x\mapsto \frac{f(qx)-f(x)}
{qx-x}\notag
\end{align}
O par $(\tau_q,\delta_q)$ \'e um ponto de
$k_q[x,y]$ definido sobre $A$. Quando $q$ tende
a 1, $\delta_q$ tende para a derivada usual.

\subsection{A \'Al\-ge\-bra Envolvente}

No que se segue $k={\bf C}$ ser\'a
uma hip\'otese
simplificadora (sem ser trivializante).
\par
Definimos a \'al\-ge\-bra $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
como sendo a \'al\-ge\-bra (associativa)
gerada pelos s\'{\i}mbolos $E,F,K,K^{-1}$
e $L$ submetidos \`as rela\c{c}\~oes
$$KK^{-1}=K^{-1}K=1,\qquad KEK^{-1}=q^2E,
\qquad
KFK^{-1}=q^2F,$$
e
$$[E,F]=L,\qquad (q-q^{-1})L=K-K^{-1},$$
$$[L,E]=q(EK+K^{-1}E),
\qquad [L,F]=-q^{-1}(FK+K^{-1}F).$$
Se $q=\pm 1$ ent\~ao $K^2=1$, e $K$
comuta ent\~ao com os demais geradores,
estando assim no centro
$Z(\mathcal{ U}_{\pm 1}(sl_2))$. Se $q=1$
ent\~ao fazendo
$X=EK, Y=F$ e $H=LK$ valem as
rela\c{c}\~oes
$$[X,Y]=[EK,F]=[E,F]K=LK=H,$$
$$[H,Y]=[LK,EK]=[L,E]=2EK=2X$$
e
$$[H,Y]=[LK,F]=[L,F]K=-2FK^2=-2Y.$$
Cotejando estas rela\c{c}\~oes com as
rela\c{c}\~oes de defini\c{c}\~ao
de $\mathcal{ U}(sl_2)$ (listadas em
{\bf 1.} de ({\bf I.4})), fica claro
que existe em epimorfismo
em ${\bf Alg}_k$
$$\mathcal{ U}(sl_2)\longrightarrow
\mathcal{ U}_1(sl_2)$$
satisfazendo $X\mapsto EK, Y\mapsto F$
e $H\mapsto LK$, e de fato vale
$$\mathcal{ U}_1(sl_2)=\mathcal{ U}(sl_2)[K]/
(K^2-1),$$
e a \'al\-ge\-bra $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ pode
assim ser vista como uma deforma\c{c}\~ao
da \'al\-ge\-bra envolvente $\mathcal{ U}(sl_2)$,
como a nota\c{c}\~ao sugere.
\par
A {\sl \'al\-ge\-bra envolvente qu\^antica\/}
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ assim definida pode
ser apresentada, se $q\not=\pm 1$,
de uma forma mais simples
como sendo a \'al\-ge\-bra (associativa)
gerada pelos s\'{\i}mbolos $E,F,K$ e
$K^{-1}$
submetidos \`as rela\c{c}\~oes
$$KK^{-1}=K^{-1}K=1,\qquad KEK^{-1}=q^2E,
\qquad
KFK^{-1}=q^2F,$$
como acima,
e $$ [E,F]=\frac{K-K^{-1}}{q-q^{-1}}.$$
O isomorfismo entre estas duas
apresenta\c{c}\~oes identifica letras
que combinam, o \'unico ponto
n\~ao trivial \'e mostrar que as
rela\c{c}\~oes ``mais complexas''
envolvendo $L$,
da primeira apresenta\c{c}\~ao,
s\~ao satisfeitas, mas isto \'e
uma f\'acil manipula\c{c}\~ao.
Supondo $q\not=\pm 1$, ser\'a
usada preferencialmente a segunda
apresenta\c{c}\~ao de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$,
por ser mais simples.
\par
Assim, $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
\'e noetheriana, sem divisores de zero, e
tem como base
$$\{\ E^iF^jK^l\ |\ i,j\in {\bf N}, l\in
{\bf Z}\ \};$$
al\'em disso, $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
admite um automorfismo $$\omega:
\mathcal{ U}_q(sl_2)\rightarrow \mathcal{ U}_q(sl_2)$$
satisfazendo $E\mapsto F, F\mapsto E$
e $K\mapsto K^{-1}$, e um antiautomorfismo
$$\tau:\mathcal{ U}_q(sl_2)^{op}
\rightarrow \mathcal{ U}_q(sl_2)$$
satisfazendo $E\mapsto E, F\mapsto F$
e $K\mapsto K^{-1}$. (Dada uma \'al\-ge\-bra $A$
sobre $k$, objeto de ${\bf Alg}_k$, a
\'al\-ge\-bra oposta $A^{op}$ tem o mesmo
espa\c{c}o vetorial subjacente e a
multiplica\c{c}\~ao oposta: o produto
$ab$ em $A^{op}$ \'e o produto $ba$ em
$A$. Esta defini\c{c}\~ao \'e uma d\'adiva
do fato de os axiomas de anel serem auto-duais;
se $A$ \'e comutativa ent\~ao $A=A^{op}$).
\par
Dotando os geradores dos graus $gr(E)=1$,
$gr(F)-1$ e $gr(K)=gr(K^{-1})=0$, as
rela\c{c}\~oes que definem $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
s\~ao homog\^eneas, e logo $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
admite uma grada\c{c}\~ao natural em que
o mon\^omio $E^IF^jK^l$ tem grau $i-j$.
Se $u\in \mathcal{ U}_q(sl_2)$ tem grau $g$
ent\~ao se deduz das rela\c{c}\~oes de
defini\c{c}\~ao que
$$KuK^{-1}=q^{2g}u.$$
Se $q$ nao for raiz da unidade estes
autovalores $q^g$ s\~ao distintos, e a
parte homog\^enea de grau $g$ de
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ s\~ao os autoespa\c{c}os
de $u\mapsto KuK^{-1}$. Se $q$ for raiz
da unidade a gradua\c{c}\~ao de
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ refina esta decomposi\c{c}\~ao
em autoespa\c{c}os.
\par
A sub\'al\-ge\-bra $\mathcal{ U}^+$
(resp., $\mathcal{ U}^-$)
de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ gerada por $E$ (resp.,
por $F$) tem como base $\{\ E^i\ |\ i\in{\bf N}
\ \}$ (resp., $\{\ F^j\ |\ j\in{\bf N}
\ \}$). Assim, $\mathcal{ U}^+$ e $\mathcal{ U}^-$
s\~ao comutativas, isomorfas a $k[T]$.
\par
A sub\'al\-ge\-bra $\mathcal{ U}^0$
de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ gerada por $K$ e $K^{-1}$ 
tem como base $\{\ K^l\ |\ l\in{\bf Z}
\ \}$.  Assim, $\mathcal{ U}^0$
\'e comutativa, isomorfa \`a localiza\c{c}\~ao
$k[T,T^{-1}]$ de $k[T]$.
\par
A \'al\-ge\-bra envolvente qu\^antica tem
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ admite um {\sl elemento
de Casimir qu\^antico\/} $C_q$ dado
por
$$C_q=EF+\frac{q^{-1}K+qK^{-1}}{(q-q^{-1})^2}=
FE+\frac{qK+q^{-1}K^{-1}}{(q-q^{-1})^2}.$$
Este elemento $C_q$ est\'a no centro
$Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
e satisfaz
$$\omega(C_q)=C_q=\tau(C_q).$$
\par
A \'al\-ge\-bra envolvente qu\^antica tem
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ uma
estrutura de \'al\-ge\-bra de Hopf, como se espe\-raria
por ser deforma\c{c}\~ao de $\mathcal{ U}(sl_2)$,
dada pela
comultiplica\c{c}\~ao
$$\Delta:E\mapsto E\otimes 1+K\otimes E,$$
$$\Delta:F\mapsto F\otimes K^{-1}+1\otimes F,$$
$$\Delta:K\mapsto k\otimes K,$$
a co-unidade
$$\epsilon:E,F\mapsto 0,\qquad K\mapsto 1,$$
e o ant\'{\i}poda
$$S:E\mapsto -K^{-1}E,\qquad F\mapsto -FK,
\qquad K\mapsto K^{-1}.$$
Novamente $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ n\~ao \'e nem comutativa
nem co-comutativa, como se v\^e do fato de o
ant\'{\i}poda n\~ao ser involutivo.

\subsection{M\'odulos}

Nesta se\c{c}\~ao $q\not= \pm 1$, de modo que
$1/(q-q^{-1})$ est\'a bem definido. Isto ser\'a
aproveitado na defini\c{c}\~ao
$$[n]_q=\frac{q^n-q^{-n}}{q-q^{-1}}=q^{n-1}+
q^{n-3}+\cdots +q^{-n+3}+q^{-n+1}.$$
Estes elementos aparecem substituindo inteiros
em f\'ormulas nos m\'odulos de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$.
Os ``fatoriais'' e ``coeficientes
binomiais'' que surgem s\~ao
definidos por
$$[n]_q!=[1]_q.[2]_q.\cdots ,[n]_q,
\qquad \binom{n}{k}_q=\frac{[n]_q!}{[k]_q!
[n-k]_q!}.$$
Valem
$$[-n]_q=-[n]_q,\qquad [n+m]_q=q^n[m]+q^{-m}[n].$$
Se $q$ n\~ao for raiz da unidade ent\~ao
$[n]_q\not= 0$. 
\par
O objetivo agora \'e quantizar o que foi feito
em {\bf 1.} de {\bf I.5} para representa\c{c}\~oes
de $sl_2$. Os m\'odulos simples de dimens\~ao finita
de $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ s\~ao tamb\'em ``m\'odulos
de peso m\'aximo'', mas agora os vetores
de peso m\'aximo s\~ao autovetores de $K$.
Especificamente, se $V$ for um m\'odulo
sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$ ent\~ao se
$$Kv=\lambda v\qquad {\rm para}\qquad
v\not= 0$$
$\lambda$ \'e chamado de {\sl peso\/}, e para
$\lambda$ um peso o autoespa\c{c}o de $K$ associado
a $\lambda$ \'e denotado $V^\lambda$. Valem
$$EV^\lambda\subset V^{q^2\lambda}\qquad
{\rm e}\qquad FV^\lambda\subset V^{q^{-2}\lambda}.$$
Se $v\in V^\lambda\setminus \{0\}$ for tal que
$Ev=0$ ent\~ao $v$ \'e dito {\sl vetor de
peso m\'aximo\/}. Um {\sl m\'odulo de peso
m\'aximo\/} \'e um m\'odulo gerado por um
vetor de peso m\'aximo.
\par
Sob a hip\'otese $k={\bf C}$ todo m\'odulo de
dimens\~ao finita tem um vetor de peso m\'aximo.
A demosntra\c{c}\~ao segue os passos da apresentada
para o caso cl\'assico.
\par
Valem as seguintes rela\c{c}\~oes an\'alogas
\`as cl\'assicas encontradas em {\bf 1.}
de ({\bf I.4}), para um vetor de peso m\'aximo $V$
de peso $\lambda$:
$$K\frac{F^iv}{[i]_q!}=\lambda q^{-2i}
\frac{F^iv}{[i]_q!},$$
$$E\frac{F^iv}{[i]_q!}=\frac{q^{-(i-1)}\lambda -q^{i-1}
\lambda^{-1}}{q-q^{-1}}
\frac{F^{i-1}v}{[i-1]_q!},$$
e
$$F\frac{F^{i-1}v}{[i-1]_q!}=[i]_q
\frac{F^iv}{[i]_q!}.$$
Assim, $\{ \frac{F^iv}{[i]_q!}\}$ \'e uma sequ\^encia
de autovetores de $K$ com autovalores distintos
e, novamente, deve existir um maior inteiro $i$
para o qual $\frac{F^iv}{[i]_q!}$ n\~ao seja nulo.
De fato,
pelas rela\c{c}\~oes acima $$0=E
\frac{F^{i+1}v}{{i+1}!}=
\frac{q^{-i}\lambda -q^i
\lambda^{-1}}{q-q^{-1}}
\frac{F^iv}{[i]_q!},$$
e logo $\lambda =\pm q^i$. Como no caso cl\'assico
segue que se o m\'odulo for simples ent\~ao \'e
m\'odulo de peso m\'aximo de dimens\~ao $i+1$, e
estes m\'odulos s\~ao denotados por $V_{\pm, i}$,
onde o sinal \'e dado por $\lambda =\pm q^i$.
Tamb\'em  $\{ \frac{F^jv}{[j]_q!}\}_{i=0,\ldots ,i}$
\'e base de $V_{\pm, i}$, e a a\c{c}\~ao de $K$
\'e diagonal com $i+1$ autovalores distintos
$\pm q^i,\pm q^{i-2},\ldots ,\pm q^{-i+2},
\pm q^i$ (com sinais combinando: ou todos $+$
ou todos $-$). Quaisquer dois vetores de peso
m\'aximo diferem por uma constante multiplicativa.
Finalmente, qualquer m\'odulo simples de
dimens\~ao finita sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
\'e um m\'odulo de peso m\'aximo, e dois
destes n\~ao s\~ao isomorfos. Assim, para cada
dimens\~ao $i$ existem exatamente {\it dois\/}
m\'odulos simples sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
n\~ao isomorfos $V_{+,i-1}$ e $V_{-,i-1}$.
\par
Para um escalar $\lambda$ qualquer (n\~ao
da forma $\lambda=\pm q^i$), as seguintes
rela\c{c}\~oes impostas sobre o espa\c{c}o
vetorial $V(\lambda)$ de dimens\~ao infinita
com base enumer\'avel $\{ v_j\}_{j\in {\bf N}}$
$$Kv_j=\lambda q^{-2j}v_j,$$
$$Ev_j=\frac{q^{-(i-1)}\lambda -q^{i-1}
\lambda^{-1}}{q-q^{-1}}v_{j-1},$$
e
$$Fv_{j-1}=[i]_qv_j$$
dotam $V(\lambda)$ da estrutura de um m\'odulo
sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$, onde $v_0$ \'e vetor
de peso m\'aximo. Estes m\'odulos s\~ao ditos
{\sl m\'odulos de Verma\/} e s\~ao universais
no sentido de que todo m\'odulo de peso
m\`aximo $V$ sobre $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
com peso m\'aximo $\lambda$ \'e quociente
de $V(\lambda)$.
\par
O comutador de $K$ em  $\mathcal{ U}_q(sl_2)$,
denotado por  $\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$
\'e o conjunto de elementos de  $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
que comutam com $K$. Como a conjuga\c{c}\~ao
por $K$ atua na base de  $\mathcal{ U}_q(sl_2)$
por
$$K(F^iK^lE^j)K^{-1}=q^{2(j-i)}F^iK^lE^j,$$
vale que
$$\mathcal{ U}_q(sl_2)_K=\sum_{i\in {\bf N}}
F^iP_i(K,K^{-1})E^i,$$
onde $P_i\in k[T,T^{-1}]$.
o ideal \`a esquerda ${cal I}$
de  $\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$ gerado por $E$,
$$\mathcal{ I}=\mathcal{ U}^+\cap
\mathcal{ U}_q(sl_2)_K,$$
\'e dado tamb\'em por
$$\mathcal{ I}=\mathcal{ U}^+\cap
\mathcal{ U}_q(sl_2)_K,$$
e vale
$$\mathcal{ U}_q(sl_2)_K=
k[K,K^{-1}]\oplus \mathcal{ I}.$$
Isto se v\^e diretamente.
\par
Assim $\mathcal{ I}$ \'e um ideal bilateral de
$\mathcal{ U}_q(sl_2)_K$ e a proje\c{c}\~ao
$$\varphi:\mathcal{ U}_q(sl_2)_K\longrightarrow
l[K,K^{-1}]$$
\'e um morfismo em ${\bf Alg}_k$ dito o
{\sl homomorfismo de Harish-Chandra\/}.
\par
Se $V$ for m\'odulo de peso m\'aximo de
$\mathcal{ U}_q(sl_2)$ com peso m\'aximo
$\lambda$ ent\~ao para todo elemento central
$z\in Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ e todo $v\in V$
vale
$$zv=\varphi(z)(\lambda)v.$$
De fato, $z$ pode ser escrito
$$z=\varphi(z)+\sum_{i\in {\bf N}^+}
F^iP_iE^i.$$
Se $v_0$ for o vetor de peso m\'aximo
ent\~ao $Ev_0=0$, e como $Kv_0=\lambda v_0$
vale $zv_0=\varphi(z)(\lambda)v_0$. Mas
$V(\lambda)$ \'e gerado por $v_0$, e logo
para todo $v=uv_0\in V(\lambda)$ com
$u\in \mathcal{ U}_q(sl_2)$ vale
$$zv=zuv_0=uzv_0=\varphi(\lambda)uv_0=
\varphi(\lambda)v.$$
Em particular,  o elemento de Casimir
qu\^antico age por multiplica\c{c}\~ao pelo
escalar
$$\frac{q\lambda+q^{-1}k^{-1}}{(q-q^{-1})^2}.$$
A restri\c{c}\~ao de homomorfismo de
Harish-Chandra $\varphi$ ao centro
$Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$ \'e injetiva,
j\'a que se $z\in Z(\mathcal{ U}_q(sl_2))$
\'e n\~ao nulo e satisfaz $\varphi(z)=0$
\'e poss\'{\i}vel escrever
$$z=\sum_{0<i\le l}F^iP_iE^i.$$
Tomando um m\'odulo de Verma $V(\lambda)$
com $\lambda\not= q^r$ para nenhum $r$,
ent\~ao $Ev_i=0$ s\'o para $i=0$, e aplicando
$z$ em $v_i$ vale que
$$zv_i=\varphi(z)(\lambda)v_i=0,$$
por um lado, e por outro,
$$zv_i=F^IP_iE^iv_i=cP_i(\lambda)v_i$$
para $c\not= 0$. Segue que
$P_i(\lambda)=0$ e haveria um polin\^omio
com infinitas ra\'{\i}zes, um absurdo.

\vfill \eject
\section*{Ap\^endice A: A Linguagem Categ\'orica}

\bigskip \noindent
{\bf A.1 Categorias, funtores e transforma\c{c}\~oes
naturais.}
Uma {\it cate\-goria} {\bf C} \'e uma classe de objetos
tal que:
\begin{itemize} % era 1., 2., 3.
\item{Para cada par ordenado $(X,Y)$ de objetos
\'e especificado
um conjunto de {\it morfismos\/} denotado
por ${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$.}
\item{Para cada objeto $X$ \'e destacado
um ele\-men\-to ${\it id}_X$ 
em ${\it Hom}_{\bf C} (X,X)$.}
\item{Para cada terno ordenado
$(X,Y,Z)$ de objetos \'e
especificada uma fun\c{c}\~ao}
\end{itemize}
\begin{eqnarray*}\circ :
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y) \times {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)
&\rightarrow {\it Hom}_{\bf C} (X,Z)\\
(f,g)&\mapsto g\circ f.
\end{eqnarray*}
\medskip
Estes dados est\~ao sujeitos aos seguin\-tes axiomas:
\begin{itemize} % era A.1.1
\item{ Para $f\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, $g\in 
{\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ e $h\in
{\it Hom}_{\bf C} (Z,W)$ temos
$$(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f).$$}
\item{ Para $f\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ temos
$${\it id}_Y\circ f = f = f\circ {\it id}_X.$$}
\end{itemize}
Um {\it funtor} $\cal F$ entre duas cate\-gorias
{\bf C} e {\bf D},
denotado por $\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow
{\bf D}$, \'e a 
especifica\c{c}\~ao, para cada objeto $X$ de {\bf C},
de um objeto $\mathcal{ F}(X)$ de {\bf D} e,
para cada par de
objetos $(X,Y)$ de {\bf C}, de uma aplica\c{c}\~ao de
${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ em ${\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(X),$
$\mathcal{ F}(Y))$,
denotada por $f\mapsto \mathcal{ F}(f)$. Estes dados
est\~ao sujeitos
aos seguin\-tes axio\-mas:
\begin{itemize} % era A.1.3
\item{Para cada objeto $X$ de {\bf C}
temos $\mathcal{ F}({\it id}_X)
= {\it id}_{\mathcal{ F}(X)}$.}
\item{Para cada par $(f,g)\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)\times
{\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ temos
$\mathcal{ F}(g\circ f)=\mathcal{ F}(g)
\circ \mathcal{ F}(f)$.}
\end{itemize}
Um funtor tal como defi\-nido acima \'e
\`as vezes qualificado de
{\it covariante}, para distinguir da
defini\c{c}\~ao afim de funtor
{\it contravariante} entre duas
cate\-gorias {\bf C} e {\bf D}, que
\'e a especifica\c{c}\~ao, para cada
objeto $X$ de {\bf C}, de
um objeto $\mathcal{ F}(X)$ de {\bf D}
e, para cada par $(X,Y)$ de
objetos de {\bf C}, de uma
aplica\c{c}\~ao de ${\it Hom}_{\bf C}
(X,Y)$ em ${\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(Y),\mathcal{ F}(X))$, denotada
por $f\mapsto \mathcal{ F}(f)$.
Estes dados est\~ao sujeitos aos
axiomas ({\bf A.1.3}) e
\begin{itemize} % A.1.4
\item{ Para cada par
$(f,g)\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)
\times {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$
temos $\mathcal{ F}(g\circ f) =
\mathcal{ F}(f)\circ \mathcal{ F}(g)$.}
\end{itemize}
A contravari\^ancia \'e um artif\'{\i}cio conveniente
de nota\c{c}\~ao, mas
formalmente desne\-cess\'ario: dada
uma cate\-goria {\bf C},
denotamos por ${\bf C}^{\rm op}$
a cate\-goria que tem os
mesmos objetos de {\bf C}
e para a qual um morfismo de $X$
em $Y$ \'e um morfismo de {\bf C} de $Y$ para $X$:
$${\it Hom}_{{\bf C}^{\rm op}}(X,Y)
={\it Hom}_{\bf C}(Y,X).$$
Assim, um funtor contravariante de
{\bf C} para {\bf D}
\'e um funtor covariante de
${\bf C}^{\rm op}$ para {\bf D}.
\par
Dados dois funtores $\cal F$ e
$\cal G$ entre as cate\-gorias {\bf C}
e {\bf D} uma {\it transforma\c{c}\~ao
natural} $\kappa$ entre
$\cal F$ e $\cal G$, denotada $\kappa :\mathcal{ F}
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ G}$,
\'e a especifica\c{c}\~ao, para cada objeto
$X$ de {\bf C}, de um ele\-men\-to
$\kappa_X\in {\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(X),
\mathcal{ G}(X))$. Este dado \'e sujeito
ao seguin\-te axioma
\begin{itemize}
\item{Para cada ele\-men\-to
$f\in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ temos
$\mathcal{ G}(f)\circ \kappa_X =
\kappa_Y\circ \mathcal{ F}(f)$.}
\end{itemize}
Este axioma se representa graficamente
pela comutatividade
do quadrado de naturalidade
(escrito em {\bf D}):
$$\begin{matrix} \qquad \mathcal{ F}(X)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\kappa_X}
&\mathcal{ G}(X)\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \mathcal{ F}(f)$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow 
\vcenter{\hbox{$ \mathcal{ G}(f)$}}\\ \\
\qquad\mathcal{ F}(Y)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\kappa_Y}
&\mathcal{ G}(Y)
\end{matrix}$$
\medskip
Categorias, funtores e transforma\c{c}\~oes
naturais formam
o contexto natural de trabalho do que
faremos a seguir.
Os objetos comumente estudados em \'al\-ge\-bra e Topologia
naturalmente se constituem em cate\-gorias:
por exemplo, a
cate\-goria dos grupos, denotada por
{\bf Grp}, tem por objetos
grupos e por morfismos homomorfismos
de grupos, e analogamente para
a cate\-goria dos aneis, denotada por {\bf An},
para a cate\-goria dos
m\'odulos \`a esquerda sobre um anel $A$,
denotada por $_A {\bf Mod}$,
para a cate\-goria {\bf Top} que
tem por objetos espa\c{c}os topol\'ogicos e 
por morfismos fun\c{c}\~oes
cont\'{\i}nuas, e assim por diante. Os
objetos destas cate\-gorias s\~ao
conjuntos dotados de uma estrutura
adicional (de grupo, espa\c{c}o
topol\'ogico, etc) e os morfismos
s\~ao as fun\c{c}\~oes entre os objetos
que preservam esta estrutura
adicional. Estas cate\-gorias s\~ao
chamadas {\it cate\-gorias concretas},
e se caracterizam pela exist\^encia de um funtor fiel 
$\mathcal{ E}:{\bf C}
\rightarrow {\bf Conj}$, onde {\bf Conj}
\'e a cate\-goria que tem
por objetos, conjuntos, e por morfismos,
fun\c{c}\~oes, e $\cal E$
\'e dito {\it funtor de esque\-cimento},
que associa a cada objeto
de {\bf C} o conjunto subjacente
sobre o qual \'e construida a 
estrutura adicional. (Um funtor \'e
{\it fiel\/} se for injetor em
cada conjunto de morfismos e
\'e {\it pleno\/} se for sobrejetor
nestes conjuntos).
\par
H\'a tamb\'em funtores de esque\-cimento como
${\bf An}\rightarrow {\bf Grp}$, que
esquece a estrutura multiplicativa
dos an\'eis, $_A{\bf Mod}\rightarrow {\bf Grp}$,
e assim por diante.
\par
Dadas duas transforma\c{c}\~oes naturais
$\kappa :\mathcal{ F}
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ G}$ e
$\psi :\mathcal{ G}
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow} \mathcal{ H}$
de funtores $\mathcal{ F,G}$ e $\mathcal{ H}$ de {\bf C}
em {\bf D},
podemos considerar as compostas
a n\'{\i}vel de cada objeto
$X$ de {\bf C}: $(\psi \circ \kappa)_X=\psi_X \circ
\kappa_X$. Assim, as transforma\c{c}\~oes naturais
entre funtores de {\bf C} em {\bf D} se comp\~oem, e
esta composi\c{c}\~ao obedece aos axiomas
({\bf A.1.1}) e ({\bf A.1.2}), de maneira que
transforma\c{c}\~oes naturais s\~ao
morfismos de uma cate\-goria
denotada por ${\bf D}^{\bf C}$ cujos objetos s\~ao
funtores de {\bf C} em {\bf D}.
\par
Dado um morfismo $f \in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, se existir
$g\in {\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$ com
$g\circ f ={\it id}_X$
(resp., $f\circ g ={\it id}_Y$) ent\~ao $g$
\'e dito {\it inversa \`a esquerda\/} 
(resp., {\it inversa \`a direita\/}) de $f$.
Se $f$ tiver simultaneamente
inversa \`a esquerda e \`a direita
ent\~ao $f$ \'e dito 
{\it invers\'{\i}vel\/}, ou um {\it isomorfismo\/}.
Os morfismos de {\bf Conj} que tem inversa \`a esquerda
s\~ao as fun\c{c}\~oes injetoras,
os que tem inversas \`a direita s\~ao as
fun\c{c}\~oes sobrejetoras e os
invers\'{\i}veis s\~ao as fun\c{c}\~oes bijetoras,
mas mesmo em cate\-gorias concretas,
t\~ao pr\'oximas de {\bf Conj},
um morfismo pode ser dado por uma fun\c{c}\~ao injetora
sem que tenha uma inversa \`a esquerda: por exemplo,
a inclus\~ao
${\bf Z}\rightarrow {\bf Q}$ em {\bf Anud},
a cate\-goria dos an\'eis com unidade
(morfismos devem respeitar
esta condi\c{c}\~ao e levar unidades em unidades).
Dois ele\-men\-tos
$X$ e $Y$ de {\bf C} para os quais exis\-te
$f \in {\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$
invers\'{\i}vel s\~ao ditos
{\it isomorfos}. Assim, dois objetos
de {\bf Conj} s\~ao isomorfos se e
s\'o se tiverem a mesma
cardinalidade. Se {\bf C} e {\bf D}
s\~ao cate\-gorias e
$\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ e
$\mathcal{ G}:{\bf D}\rightarrow {\bf C}$
funtores satisfazendo
$\mathcal{ F}\mathcal{ G}\simeq {\it id}_{\bf D}$ e
$\mathcal{ G}\mathcal{ F}\simeq {\it id}_{\bf C}$,
isomorfismos naturais
em ${\bf D}^{\bf D}$ e ${\bf C}^{\bf C}$,
respectivamente,
ent\~ao $\mathcal{ F}$ ou $\mathcal{ G}$ s\~ao chamados de
{\it equival\^encias
de cate\-gorias\/}. Uma equival\^encia
de cate\-gorias 
$\mathcal{ F}$ como acima \'e necessariamente
um funtor pleno e fiel,
e al\'em disso todo objeto de {\bf D}
\'e isomorfo a um objeto da
forma $\mathcal{ F}(C)$.
\par
Dado um morfismo $f \in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$, se para
quaisquer $g,h\in
{\it Hom}_{\bf C}(Z,X)$ a equa\c{c}\~ao
$f\circ g=f\circ h$ implicar $g=h$ ent\~ao $f$ \'e um
{\it monomorfismo\/} --- este ser\'a
certamente o caso se
$f$ tiver uma inversa \`a esquerda. Dualmente, se para
quaisquer $g,h\in {\it Hom}_{\bf C}(Y,Z)$ a
equa\c{c}\~ao
$g\circ f=h\circ f$ implicar
$g=h$ ent\~ao $f$ \'e um
{\it epimorfismo\/} --- este
ser\'a certamente o caso se
$f$ tiver uma inversa \`a direita.
Em {\bf Conj} todo monomorfismo
\'e uma inje\c{c}\~ao que
tem uma inversa \`a esquerda;
tamb\'em, todo epimorfismo
\'e uma sobreje\c{c}\~ao que
tem uma inversa \`a direita, mas
para ver isto \'e necess\'ario
o uso do axioma da escolha.
Na cate\-goria de an\'eis {\bf An}
a inclus\~ao ${\bf Z}\rightarrow
{\bf Q}$ \'e um epimorfismo.
\par
Dados dois monomorfismos
$f:Y\rightarrow X$ e $g:Z\rightarrow X$,
dizemos que $f\subset g$ quando
existir $h:Y\rightarrow Z$,
necessariamente um monomorfismo,
tal que $f=g\circ h$.
Esta rela\c{c}\~ao s\'o n\~ao
\'e uma ordem parcial por falha da
anti-simetria, mas, como
\'e usual nestes casos, podemos passar
ao quociente pela rela\c{c}\~ao de equival\^encia 
que identifica $f\subset g$ e
$g\subset f$ para obter uma ordem
parcial no conjunto quociente,
denotado por ${\rm Sub}_{\bf C}(X)$;
um ele\-men\-to deste conjunto
quociente \'e dito um {\it subobjeto\/}.

\bigskip \noindent
{\bf A.2. O lema de Yoneda.}
Um objeto $X$ de uma cate\-goria
{\bf C} define naturalmente um funtor
covariante ${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$
e um funtor contravariante
${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$
de {\bf C} para {\bf Conj} da seguin\-te
maneira. A cada objeto $Y$ de {\bf C} o funtor 
${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$ associa o conjunto
${\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ e o funtor
${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$
associa o conjunto ${\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$,
e a cada
morfismo $f\in {\it Hom}_{\bf C} (Y,Z)$ o funtor
${\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$
associa a fun\c{c}\~ao
${\it Hom}_{\bf C} (X,f):
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)\rightarrow
{\it Hom}_{\bf C} (X,Z)$ obtida por
$g\mapsto f\circ g$ e o funtor
${\it Hom}_{\bf C} (\bullet ,X)$
associa a fun\c{c}\~ao
${\it Hom}_{\bf C} (f,X):{\it Hom}_{\bf C} (Z,X)
\rightarrow
{\it Hom}_{\bf C} (Y,X)$ obtida
por $g\mapsto g\circ f$. Um
funtor $\mathcal{ F}:{\bf C}
\rightarrow {\bf Conj}$ \'e {\it represent\'avel}
se for essencialmente obtido assim, isto \'e,
se existir um
objeto $X$ em {\bf C} e transforma\c{c}\~oes
naturais $\psi
:{\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow}
\mathcal{ F}$ e $\varphi
:\mathcal{ F}
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow}
{\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )$
tais que para cada objeto
$Y$ em {\bf C} as composi\c{c}\~oes
$\varphi_Y\circ \psi_Y$
e $\psi_Y\circ \varphi_Y$ sejam identidades.
Dois funtores para os quais exis\-te este par de
transforma\c{c}\~oes
naturais s\~ao ditos naturalmente isomorfos.
H\'a uma defini\c{c}\~ao
dual para um funtor contravariante represent\'avel.
\par
Dados um funtor $\mathcal{ F}:
{\bf C}\rightarrow {\bf Conj}$
e um objeto $X$ em {\bf C},
uma transforma\c{c}\~ao natural
$\psi
:{\it Hom}_{\bf C} (X,\bullet )
\stackrel{\bullet}{\longrightarrow}
\mathcal{ F}$ \'e inteiramente
descrita pela a\c{c}\~ao de $\psi_X$ em
${\it id}_X$; com efeito,
para todo objeto $Y$ em {\bf C} temos que para $f\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)$ vale a igualdade
\begin{equation}
\psi_Y\circ {\it Hom}_{\bf C} (X,f) =
\mathcal{ F}(f)\circ \psi_X
\tag{\bf A.2.1}
\end{equation}
de fun\c{c}\~oes $:{\it Hom}_{\bf C}
(X,X)\rightarrow \mathcal{ F}(Y)$.
Aplicando esta fun\c{c}\~ao em ${\it id}_X$ temos
\begin{eqnarray*}
\psi_Y\circ {\it Hom}_{\bf C}
(X,f)({\it id}_X) &= \psi_Y
(f\circ {\it id}_X)\cr &= \psi_Y(f) =
\mathcal{ F}(f)\circ \psi_X(
{\it id}_X),
\end{eqnarray*}
e assim para qualquer
objeto $Y$ em {\bf C}
des\-crevemos $\psi_Y$ em termos das
vari\'aveis $\cal F$ e $X$.
A classe de transforma\c{c}\~oes naturais de
${\it Hom}_{\bf C}(X,\bullet )$
em $\mathcal{ F}$ \'e ent\~ao um conjunto que 
denotamos por ${\it Hom}_{{\bf Conj}^{\bf C}}
({\it Hom}_{\bf C}(X,\bullet ),\mathcal{ F})$,
e temos uma bije\c{c}\~ao
(escrita em {\bf Conj})
\begin{equation}
{\it Hom}_{{\bf Conj}^{\bf C}}
({\it Hom}_{\bf C}(X,\bullet ),\mathcal{ F})
\longrightarrow \mathcal{ F}(X),\tag{\bf A.2.2}
\end{equation}
natural em $\mathcal{ F}$ e em $X$.
Esta observa\c{c}\~ao \'e comumente
chamada de {\it lema de
Yoneda}, e a equa\c{c}\~ao acima se representa
graficamente pela comutatividade do
diagrama (escrito em {\bf Conj})
$$\begin{matrix} \qquad{\it Hom}_{\bf C} (X,X)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\psi_X}
&\mathcal{ F}(X)\\ \\
\vcenter{\hbox{$ {\it Hom}_{\bf C} (X,f)$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow 
\vcenter{\hbox{$ \mathcal{ F}(f)$}}\\ \\
\qquad{\it Hom}_{\bf C} (X,Y)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\psi_Y}
&\mathcal{ F}(Y)
\end{matrix}$$

\bigskip \noindent 
{\bf A.3. Limites.}
Muitas cons\-tru\c{c}\~oes comuns das cate\-gorias
usuais da \'al\-ge\-bra
e da Topologia s\~ao exemplos do
conceito categ\'orico de
limite, ou de colimite, seu dual: dados
uma cate\-goria {\bf C},
uma cate\-goria {\bf J} (a ser usada
como \'{\i}ndice) e um
funtor $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$,
um {\it limite}
de $\cal F$ \'e um objeto
${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ em {\bf C} 
e, para cada objeto $i$ de {\bf J}, um morfismo 
$f_i\in {\it Hom}_{\bf C}
({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(i))$
tal que para cada morfismo
$u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$
temos $f_j = \mathcal{ F}(u)\circ f_i$.
Estes dados devem obedecer
a uma propriedade dita universal:
para cada objeto $X$ em {\bf C} ao qual se associa
uma cons\-tru\c{c}\~ao ``paralela'' \`a que
${\rm Lim}\ \mathcal{ F}$
possui, a saber,
para cada objeto $i$ de {\bf J}, temos um morfismo 
$g_i\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(i))$
tal que para cada morfismo
$u\in {\it Hom}_{\bf J}(i,j)$
tenhamos $g_j = \mathcal{ F}(u)\circ g_i$,
deve existir um
\'unico morfismo $t\in {\it Hom}_{\bf C}
(X, {\rm Lim }\ \mathcal{ F})$
satisfazendo  $g_i=f_i\circ t$
para todo objeto $i$ de {\bf J}.
\par
Por exemplo, se {\bf J} for
a cate\-goria {\bf 2} que tem apenas dois objetos
1 e 2 e nenhum morfismo que
n\~ao seja a identidade, um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf 2}\rightarrow
{\bf C}$ \'e simplesmente a
escolha de dois objetos
$\mathcal{ F}(i)=X_i$ para $i=1,2$ em
{\bf C}, enquanto que um
limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ \'e um
objeto em {\bf C} determinado por dois morfismos 
$p_i\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }\ \mathcal{ F},X_i)$
para $i=1,2$, tal que para todo objeto
$X$ de {\bf C} dotado
de morfismos $g_i\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,X_i)$ exis\-te um
\'unico morfismo $g\in {\it Hom}_{\bf C}
(X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$
para o qual $g_i=p_i\circ g$.
Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$
\'e dito {\it produto} de $X_1$ e $X_2$, e
sempre exis\-te se {\bf C}
for uma das cate\-gorias {\bf Conj}, {\bf Top}
ou {\bf Grp}, sendo simplesmente
o produto cartesiano de conjuntos,
o espa\c{c}o topol\'ogico
produto ou o produto de grupos, 
respectivamente.
\par
Se {\bf Vaz} for a cate\-goria
sem objetos nem morfismos
ent\~ao um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf Vaz}\rightarrow {\bf C}$ \'e vazio,
enquanto que um limite ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ \'e um
objeto em {\bf C} 
tal que para cada objeto
$X$ de {\bf C} exis\-te um \'unico
morfismo $X\rightarrow 
{\rm Lim }\ \mathcal{ F}$. Este objeto
${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ \'e dito
{\it objeto final} em {\bf C}, e
exis\-te se {\bf C} for
{\bf Conj} (neste caso ${\rm Lim }
\ \mathcal{ F}$ \'e qualquer
conjunto com um \'unico ele\-men\-to),
{\bf Top} (${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$
ser\'a ent\~ao o espa\c{c}o
topol\'ogico construido sobre um
conjunto com um \'unico
ele\-men\-to com a \'unica topologia poss\'{\i}vel)
ou {\bf Grp} (${\rm Lim }
\ \mathcal{ F}$ \'e o grupo trivial). 
\par
Se {\bf J} for
a cate\-goria {\bf Paral} que tem apenas dois objetos
1 e 2 e cujos \'unicos
morfismos fora as identidades s\~ao descritos por
$ 1\stackrel{\longrightarrow}
{\longrightarrow} 2$, um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf Paral}
\rightarrow {\bf C}$ \'e dado por
dois morfismos
$f,g\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(1),\mathcal{ F}(2))$, 
enquanto que um li\-mi\-te
${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ \'e um
objeto em {\bf C} dado com um morfismo 
$p\in {\it Hom}_{\bf C} ({\rm Lim }
\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(1))$
satisfazendo $f\circ p=g\circ p$, 
tal que para todo objeto $X$ de {\bf C} dotado
de um morfismo $q\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(1))$
satisfazendo $f\circ q=g\circ q$
exis\-te um
\'unico morfismo $u\in
{\it Hom}_{\bf C} (X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$
com $q=p\circ u$. Este objeto
${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$
\'e dito {\it equa\-lizador} de $f$ e $g$.
Claramente se v\^e que $p$ \'e necessariamente um
monomorfismo.
\par
Se {\bf J} for
a cate\-goria {\bf Transv}
que tem apenas tres objetos
1, 2 e 3, e cujos \'unicos
morfismos fora as identidades s\~ao descritos por
$$ \begin{matrix} &3\\ \\
&\Big\downarrow\\ \\
1\longrightarrow &2
\end{matrix}$$ um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf Transv}\rightarrow
{\bf C}$ \'e dado por
dois morfismos $f\in
{\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(1),\mathcal{ F}(2))$
e $g\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(3),\mathcal{ F}(2))$ 
enquanto que um li\-mi\-te
${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$ \'e um
objeto em {\bf C} dado com morfismos
$p_1\in {\it Hom}_{\bf C}
({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(1))$
e $p_3\in {\it Hom}_{\bf C}
({\rm Lim }\ \mathcal{ F},\mathcal{ F}(3))$
satisfazendo $f\circ p_1=g\circ p_3$, 
tal que para todo objeto $X$ de {\bf C} dotado
de morfismos $q_1\in {\it Hom}_{\bf C}
(X,\mathcal{ F}(1))$
e $q_3\in {\it Hom}_{\bf C} (X,\mathcal{ F}(3))$
satisfazendo $f\circ q_1=g\circ q_3$
exis\-te um
\'unico morfismo $u\in {\it Hom}_{\bf C}
(X,{\rm Lim }\ \mathcal{ F})$
com $q_1=p_1\circ u$ e $q_3=p_3\circ u$.
Este objeto ${\rm Lim }\ \mathcal{ F}$
\'e dito {\it produto fibrado}
de $f$ e $g$, e denotado por
$\mathcal{ F}(1)\times_{\mathcal{ F}(2)}
\mathcal{ F}(3)$. Se $f$ for um monomorfismo
representando um subobjeto (ver ({\bf A.1})),
ent\~ao $p_3$ ser\'a tamb\'em
um monomorfismo, representando
um subobjeto de $\mathcal{ F}(3)$
denotado por ${\rm Sub}_{\bf C}(g)$.
Como ${\rm Sub}_{\bf C}(g\circ h)={\rm Sub}_{\bf C}
(h)\circ {\rm Sub}_{\bf C}(g)$,
temos que ${\rm Sub}_{\bf C}$
\'e um funtor contravariante de {\bf C}
em {\bf Conj}. Quando este funtor
\'e represent\'avel de modo a termos
${\rm Sub}_{\bf C}(X) \simeq
{\it Hom}_{\bf C}(X,\Omega)$ ent\~ao chamamos
este objeto $\Omega$ que o representa de
{\it classificador
de subobjetos \/}. Por exemplo,
${\rm Sub}_{\bf Conj}$ \'e representado pelo
objeto classificador de
subobjetos dado por qualquer conjunto
com dois ele\-men\-tos,
j\'a que um subconjunto $Y$ em
${\rm Sub}_{\bf Conj}(X)$ \'e caracterizado por sua
fun\c{c}\~ao caracter\'{\i}stica $\chi_Y:X
\rightarrow \{ 0,1\}$, definida por $\chi_Y(x)=
1$ se e s\'o se $x\in Y$.
\par
Limites nem sempre exis\-tem:
a cate\-goria {\bf Cor} de corpos n\~ao
tem produtos (um ``produto''
de corpos \'e um anel apenas, n\~ao \'e
um corpo). Quando exis\-tem
n\~ao s\~ao \'unicos: qualquer conjunto com
um \'unico ele\-men\-to
\'e um objeto final em {\bf Conj}; mas dois limites
$\mathcal{ L}$ e $\mathcal{ L}'$
de $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$
s\~ao sempre isomorfos.
Com efeito, $\mathcal{ L}$ e
$\mathcal{ L}'$ devem satisfazer as propriedades
universais apropriadas;
por defini\c{c}\~ao da propriedade universal
para $\mathcal{ L}$ deve existir
$f'\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ L}',
\mathcal{ L})$ satisfazendo as
propriedades de comuta\c{c}\~ao e
analogamente para $f\in
{\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ L},\mathcal{ L}')$.
Estas composi\c{c}\~oes
tamb\'em ir\~ao satisfazer as propriedades
de comuta\c{c}\~ao,
assim como obviamente as satisfazem as identidades
$id_\mathcal{ L}$ e $id_{\mathcal{ L}'}$.
Agora invocamos a unicidade na
propriedade universal para concluir
que estas composi\c{c}\~oes s\~ao isomorfismos.
\par
O conceito dual de limite \'e o do {\it colimite}: 
dados uma cate\-goria {\bf C},
uma cate\-goria {\bf J}
(a ser usada como \'{\i}ndice) e um
funtor $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$,
um {\it colimite}
de $\cal F$ \'e um objeto ${\rm Colim }\ \mathcal{ F}$
em {\bf C} 
e para cada objeto $i$ de {\bf J} um morfismo 
$f_i\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(i),
{\rm Colim }\ \mathcal{ F})$
tal que para cada morfismo $u\in
{\it Hom}_{\bf J}(i,j)$
temos $f_i = f_j\circ \mathcal{ F}(u)$.
Estes dados devem obedecer
\`a seguin\-te propriedade universal:
para cada objeto $X$ em {\bf C} ao qual se associa,
para cada objeto $i$ de {\bf J}, um morfismo 
$g_i\in {\it Hom}_{\bf C} (\mathcal{ F}(i),X)$
tal que para cada morfismo $u\in
{\it Hom}_{\bf J}(i,j)$
tenhamos $g_i = g_j\circ \mathcal{ F}(u)$ deve existir um
\'unico morfismo $t\in {\it Hom}_{\bf C}
({\rm Colim }\ \mathcal{ F},X)$
satisfazendo  $g_i=t\circ f_i$
para todo objeto $i$ de {\bf J}.
Colimites para funtores
tendo como dom\'{i}nios as cate\-gorias
{\bf 2}, {\bf Vaz},
{\bf Paral} e {\bf Transv}
s\~ao chamados {\it coprodutos}, 
{\it objetos iniciais},
{\it coequa\-lizadores} e {\it somas
fibradas}, respectivamente.
Coprodutos exis\-tem em {\bf Top},
sendo a cons\-tru\c{c}\~ao
da soma topol\'ogica de dois espa\c{c}os,
em {\bf Conj}, sendo a uni\~ao
disjunta de dois conjuntos,
em $_A {\bf Mod}$, sendo a soma externa
$M\oplus N$ de dois
modulos sobre um anel $A$, e em
{\bf AnCom}, a cate\-goria de
aneis comutativos com unidade,
sendo o produto tensorial. 
O conjunto vazio \'e objeto inicial
de {\bf Conj} e de {\bf Top},
o anel dos inteiros
\'e objeto inicial de {\bf Anud}.
Somas fibradas e coequa\-lizadores
exis\-tem em {\bf Conj} e em
{\bf Top}. Como no caso de limites, os colimites,
quando exis\-tem,
s\~ao \'unicos a menos de isomorfismos.
\par
Os limites que existirem em uma cate\-goria {\bf D}
existir\~ao em qualquer
cate\-goria de funtores ${\bf D}^{\bf C}$,
e s\~ao calculados
``ponto a ponto'' da seguin\-te forma:
se ${\bf J}$ \'e uma
cate\-goria \'{\i}ndice para a qual
limites de funtores
${\bf J}\rightarrow
{\bf D}$ exis\-tem ent\~ao, para todo
objeto $X$ de {\bf C},
a avalia\c{c}\~ao em $X$ preserva
este limite, de tal modo que um funtor $\mathcal{ F}:
{\bf J}\rightarrow {\bf D}^{\bf C}$
fornece por avalia\c{c}\~ao
em $X$ um funtor
$\mathcal{ F}_X:{\bf J}\rightarrow {\bf D}$
tal que $\mathcal{ F}_X(j)=\mathcal{ F}(j)(X)$, cujo limite
exis\-te por hip\'otese.
Estes limites se juntam em um limite para $\mathcal{ F}$
para o qual temos a equa\c{c}\~ao escrita em {\bf D}
$${\rm Lim}\ \mathcal{ F}(X)={\rm Lim}\ \mathcal{ F}_X,$$
onde o limite \`a direita
\'e calculado em {\bf D} e o limite
\`a esquerda em ${\bf D}^{\bf C}$.
\par
Uma cate\-goria \'e dita {\it completa\/} (resp.,
{\it cocompleta\/}) se tiver todos os limites
(resp., todos os colimites).
A este respeito temos o

\medskip \noindent
{\bf Teorema sobre a Exist\^encia de Limites.}
{\sl A cate\-goria {\bf C} \'e completa se e s\'o se
tiver produtos e equalizadores\/.}

\medskip
A prova mostra como construir o limite de um funtor
arbitr\'ario $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$
a partir de produtos e de equalizadores. Para isso em
{\bf C} consideramos o produto
$P$ dos objetos $\mathcal{ F}(i)$
para cada objeto $i$ de {\bf J},
e o produto $Q$ dos
objetos $\mathcal{ F}(j)$ para
cada morfismo $u:i\rightarrow j$
em {\bf J}. Assim,
para cada objeto $i$ de {\bf J} temos
uma proje\c{c}\~ao $p_i:P\rightarrow
\mathcal{ F}(i)$ e para
cada morfismo $u:i\rightarrow j$ de {\bf J}
temos uma
proje\c{c}\~ao $q_u:Q\rightarrow \mathcal{ F}(j)$. Pela
universalidade do produto $Q$ exis\-te um
\'unico morfismo
$f:P\rightarrow Q$ com $\mathcal{ F}(u)\circ
p_i=q_u\circ f$
e um \'unico morfismo
$g:P\rightarrow Q$
com $p_j=q_u\circ g$ para cada objeto $i$ e cada
morfismo $u:i\rightarrow j$
de {\bf J}. O limite Lim $\mathcal{ F}$
ent\~ao pode ser construido como o
equalizador de $f$ e $g$.
\medskip
Um esquema mnem\^onico para esta prova \'e o seguinte:
para $\mathcal{ F}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ o
${\rm Lim}\ \mathcal{ F}$
\'e o equalizador de $f,g:\prod_j
\mathcal{ F}(j)\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow}
\prod_{u:j\rightarrow j'}
\mathcal{ F}(j')$, onde o primeiro produto \'e tomado
sobre os objetos $j$
de {\bf J} e o segundo sobre os morfismos
$u:j\rightarrow j'$ de {\bf J}
e, se $\pi_u:\prod_u \mathcal{ F}(j')\rightarrow
\mathcal{ F}(j')$ denota a proje\c{c}\~ao can\^onica,
ent\~ao $\pi_u\circ
f=\pi_u\circ g$.
\par
Vale um enunciado dual para colimites, que podem ser
construidos atrav\'es de coprodutos e coequalizadores.
Em {\bf Conj}, por exemplo,
\begin{equation} {\rm Colim}\ \mathcal{ F}=\amalg_j
\mathcal{ F}(j)/E\tag{\bf A.3.1}
\end{equation}
onde $E$ \'e a rela\c{c}\~ao de
equival\^encia no coproduto
(isto \'e, a reuni\~ao disjunta) dada
colocando $x\in \mathcal{ F}(j)$
equivalente a $x'\in \mathcal{ F}(j')$
exatamente quando existirem
$u:j\rightarrow k$ e $u':j'\rightarrow k$,
morfismos em {\bf J},
com $\mathcal{ F}(u)(x)=\mathcal{ F}(u')(x')$.
\par
A cate\-goria {\bf Conj}
\'e completa, e, pelo visto acima,
tamb\'em as cate\-gorias
${\bf Conj}^{\bf C}$.

\bigskip \noindent
{\bf A.4. Funtores adjuntos.}
Dado um funtor $\mathcal{ F}$ entre duas
cate\-gorias {\bf C} e {\bf D},
diz-se que $\mathcal{ F}$ {\it preserva limites}
se para cada limite
${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ em {\bf C} tivermos
$\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) =
{\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$.
O estudo sobre a preserva\c{c}\~ao
de limites em funtores nos
leva ao conceito mais importante da teoria
de cate\-gorias: Um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow
{\bf D}$ \'e {\it adjunto \`a esquerda}
de um funtor $\mathcal{ G}:{\bf D}
\rightarrow {\bf C}$ se para cada 
par de objetos
$C$ em {\bf C} e $D$ em {\bf D}
existir uma bije\c{c}\~ao
(escrita em {\bf Conj})
\begin{equation}
\varphi_{C,D} : {\it Hom}_{\bf D}(\mathcal{ F}(C),D) 
\stackrel{\sim}{\rightarrow}
{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D)),\tag{\bf A.4.1}
\end{equation}
natural em $C$ e $D$. Para designar a adjun\c{c}\~ao
descrita acima usa\-remos a nota\c{c}\~ao
$$\mathcal{ F}:{\bf C}
\longleftrightarrow {\bf D}:\mathcal{ G},$$
onde o adjunto \`a esquerda \'e escrito \`a esquerda.
\par
Grande n\'umero de situa\c{c}\~oes
familiares s\~ao exemplos de
adjun\c{c}\~oes. A propriedade
que caracteriza o produto tensorial
de m\'odulos sobre um
anel $A$ pode ser escrita como a exist\^encia
de uma bije\c{c}\~ao natural
\begin{equation}
{\it Hom}_{\bf _AMod}(U\otimes_A V,W) \rightarrow
{\it Hom}_{\bf _AMod}(U,{\it Hom}_{\bf _AMod}(V,W)).
\tag{\bf A.4.2}
\end{equation}
Isto \'e equivalente a dizer que o funtor
${\it Hom}_{\bf _AMod}(V,\bullet )$
representado por $V$ \'e adjunto \`a direita do funtor
$\bullet \otimes_A V: {\bf _AMod}
\rightarrow {\bf _AMod}$.
\par
Na defini\c{c}\~ao de funtor adjunto a naturalidade
(em $C$) de $\varphi$
deve ser entendida da seguin\-te maneira:
dados objetos $C$ e $C'$ em
{\bf C} e $f\in {\it Hom}_{\bf C}(C,C')$
vale a equa\c{c}\~ao
escrita em ${\it Hom}_{\bf D}(C',\mathcal{ G}(D))$
$$\varphi_{C',D} (u\circ \mathcal{ F}(f)) = \varphi_{C,D}
(u)\circ f$$
para todo $u \in {\it Hom}_{\bf D}(\mathcal{ F}(C'),D)$.
Este racioc\'{\i}nio
se representa graficamente pelo diagrama comutativo
(escrito em {\bf Conj})
$$\begin{matrix} \qquad{\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(C'),D)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\varphi_{C',D}}
&{\it Hom}_{\bf C}(C',\mathcal{ G}
(D))\\ \\
\vcenter{\hbox{$ {\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(f),D)$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow 
\vcenter{\hbox{$ {\it Hom}_{\bf C}(f,
\mathcal{ G}(D))$}}\\ \\
\qquad{\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(C),D)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\varphi_{C,D}}
&{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D))
\end{matrix}$$
Uma equa\c{c}\~ao
an\'aloga para naturalidade em $D$ pode
ser analogamente explicitada.
\par
Um Teorema importante garante que um funtor
adjunto \`a esquerda
preserva colimites:

\medskip \noindent
{\bf Teorema da Preserva\c{c}\~ao de Limites.}
{\sl Valem as seguintes situa\c{c}\~oes
em que limites s\~ao
preservados.
\par
{\bf 1.} Se
$\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$
tem adjunto \`a esquerda
(resp., \`a direita) e 
$\mathcal{ L}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$ tem um limite
${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$
(resp., um colimite ${\rm Colim}\ \mathcal{ L}$)
em {\bf C} ent\~ao $\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) =
{\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$
(resp., $\mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L}) =
{\rm Colim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$).
\par
{\bf 2.} Funtores represent\'aveis preservam limites:
se $C$ \'e
objeto de uma cate\-goria {\bf C} ent\~ao
o funtor represent\'avel
${\it Hom}_{\bf C}(C,\bullet )\rightarrow
{\bf Conj}$ \'e
tal que, se $\mathcal{ L}:{\bf J}\rightarrow {\bf C}$
tem um limite
${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$ ent\~ao ${\it Hom}_{\bf C}
(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})=
{\rm Lim}\ ({\it Hom}_{\bf C}
(C,\bullet )\circ \mathcal{ L})$.
\par
{\bf 3.} Limites comutam com limites
(e colimites comutam com colimites),
isto \'e, se o funtor $\mathcal{ F}$
for definido por limites
ent\~ao vale $\mathcal{ F}({\rm Lim}\ \mathcal{ L}) = 
{\rm Lim}(\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L})$.
Formalmente isto significa
que se $\mathcal{ F}:{\bf I}\times
{\bf J}\rightarrow {\bf C}$
for funtor
em {\bf A} e em {\bf J} e se existirem os limites
${\rm Lim}_{\bf I}\ 
\mathcal{ F}(\bullet ,j)$, ${\rm Lim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}(i,\bullet )$ e ${\rm Lim}_{\bf I}\ 
{\rm Lim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}$, ent\~ao ${\rm Lim}_{\bf I}\ 
{\rm Lim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}={\rm Lim}_{\bf J}\ 
{\rm Lim}_{\bf I}\ 
\mathcal{ F}$, e analogamente para colimites.
\par
{\bf 4.} Colimites n\~ao comutam necessariamente com
limites ---
ao inv\'es disto temos um morfismo natural
$\kappa : {\rm Colim}_{\bf J}\ 
{\rm Lim}_{\bf I}\ 
\mathcal{ F}\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}\
{\rm Colim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}$, que nem sempre \'e isomorfismo.
No caso de um funtor
$\mathcal{ F}:{\bf I}\times {\bf J}\rightarrow {\bf Conj}$
uma condi\c{c}\~ao
suficiente para termos $\kappa$ isomorfismo \'e
a cate\-goria {\bf I}
ser finita e a cate\-goria {\bf J}
n\~ao ser vazia e satisfazer
\par {\bf 4.i} Para quaisquer objetos $j, j'$ de
{\bf J} temos
um objeto $k$ de {\bf J} e morfismos $j\rightarrow k$
e $j'\rightarrow k$.
\par {\bf 4.ii} Para quaisquer
morfismos paralelos $u,v:j
\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow} j'$
exis\-te um morfismo
$w:j'\rightarrow k$ com $w\circ u=w\circ v$.}

\medskip
Uma cate\-goria safisfazendo as condi\c{c}\~oes
em {\bf 4.} \'e dita
{\it filtrada\/}.
\par
Para provar {\bf 1.} suponhamos, por exemplo, que
$\mathcal{ F}:{\bf C}\rightarrow {\bf D}$ tem adjunto
\`a direita
$\mathcal{ G}:{\bf D}\rightarrow {\bf C}$,
tomamos o objeto
$\mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L})$
em {\bf D} e mostremos que ele satisfaz \`a
propriedade universal de
colimite para $\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}$.
Para isso consideremos um 
objeto $D$ em {\bf D} tal que para cada
objeto $i$ de {\bf J}
tenhamos especificado um morfismo
$u_i:\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}(i)
\rightarrow D$ em
{\bf D} tal que para cada morfismo
$f:i\rightarrow j$ em {\bf J}
tenhamos $u_j\circ (\mathcal{ F}\circ \mathcal{ L}(f))
= u_i$. Aplicando
a bije\c{c}\~ao $\varphi_{\mathcal{ L}(i),D}$ dada pela
adjun\c{c}\~ao ao morfismo
$u_i$ obtemos $\varphi_{\mathcal{ L}(i),D} (u_i)
\in {\it Hom}_{\bf C}(\mathcal{ L}(i),
\mathcal{ G}(D))$, e a naturalidade de $\varphi$ nos
objetos de {\bf C} 
garante que $\varphi_{\mathcal{ L}(j),D}
(u_j)\circ \mathcal{ L}(f)
= \varphi_{\mathcal{ L}(i),D} (u_i)$
para cada morfismo $f:i\rightarrow j$ em {\bf J}.
Pela universalidade
de ${\rm Colim}\ \mathcal{ L}$ exis\-te um \'unico
morfismo
$v:{\rm Colim}\ \mathcal{ L}\rightarrow \mathcal{ G}(D)$
ao qual aplicamos
$\varphi^{-1}_{{\rm Colim}\ \mathcal{ L},\mathcal{ G}(D)}
$ obtendo um morfismo $\varphi^{-1}(v):
\mathcal{ F}({\rm Colim}\ \mathcal{ L})\rightarrow
D$ em {\bf D}. Este
morfismo satisfaz as propriedades de
comuta\c{c}\~ao apropriadas
e \'e \'unico por naturalidade.
\par
Para provar {\bf 2.} aplicamos o funtor
${\it Hom}_{\bf C}(C,\bullet)$ em
$\nu_i:{\rm Lim}\ \mathcal{ L}
\rightarrow \mathcal{ L}(i)$, obtendo morfismos $
{\it Hom}_{\bf C}(C,\nu_i):
{\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})\rightarrow
{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ L}(i))$ por composi\c{c}\~ao.
Para mostrar a universalidade
de ${\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})$
tomamos um outro objeto $X$ em {\bf Conj} com
morfismos
$\tau_i:X\rightarrow {\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ L}(i))$,
para cada objeto $i$ de
{\bf J}, satisfazendo as propriedades necess\'arias
de comuta\c{c}\~ao. Cada ele\-men\-to $x$ de $X$
fornece um
morfismo $\tau_i(x):C\rightarrow \mathcal{ L}(i)$
em {\bf C},
tamb\'em satis\-fazendo estas
comuta\c{c}\~oes necess\'arias.
Por universalidade do limite
${\rm Lim}\ \mathcal{ L}$, exis\-te
um \'unico morfismo
$h_x:C\rightarrow {\rm Lim}\ \mathcal{ L}$
com $\nu_i\circ h_x=\tau_i(x)$.
Defi\-ni\-mos ent\~ao
$h:X\rightarrow
{\it Hom}_{\bf C}(C,{\rm Lim}\ \mathcal{ L})$
por $k(x)=h_x$, e $k$ \'e a
\'unica defini\c{c}\~ao poss\'{\i}vel
com ${\it Hom}_{\bf C}(C,\nu_i)
\circ k=\tau_i$, provando
a universalidade.
\par
Para provar {\bf 3.} construimos,
para cada objeto $i$ de
{\bf I} e cada objeto $j$ de {\bf J},
o diagrama escrito em
{\bf C}
$$\begin{matrix} \qquad \mathcal{ F}(i,j)&
\mathop{\longleftarrow}\limits^{\nu_{ij}}
&{\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}(\bullet ,j)\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \mu_{ij}$}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$ \nu_j$}}\\ \\
\qquad{\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )&
\mathop{\longleftarrow}\limits^{\alpha_i}
&{\rm Lim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}
\ \mathcal{ F}\\ \\
\vcenter{\hbox{$\mu_i$}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\downarrow
\vcenter{\hbox{$\kappa$}}\\ \\
\qquad{\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}&
\mathop{\longleftarrow}\limits^{=}
&{\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Lim}_{\bf J}
\ \mathcal{ F}\\ 
\end{matrix}$$
onde, por exemplo,
$\mathcal{ F}(i,\bullet )$ denota um
funtor
${\bf J}\rightarrow {\bf C}$, e por isto
indexamos seu limite
por {\bf J}; observamos que ele s\'o depende de $i$.
Os morfismos
$\mu_{ij}, \mu_i, \nu_{ij}$ e $\nu_j$ s\~ao dados
pelas cons\-tru\c{c}\~oes
dos limites ${\rm Lim}_{\bf J},
{\rm Lim}_{\bf I}{\rm Lim}_{\bf J},
{\rm Lim}_{\bf I}$ e ${\rm Lim}_{\bf J}
{\rm Lim}_{\bf I}$, respectivamente.
Como, para cada objeto $i$ de {\bf I},
o morfismo composto
$\nu_{ij}\circ \nu_j$ \'e natural em $j$,
a universalidade do limite
${\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$
fornece um \'unico morfismo
$\alpha_i:{\rm Lim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow
{\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$.
Esta cons\-tru\c{c}\~ao \'e
natural em $i$, e por universalidade
do limite ${\rm Lim}_{\bf I}\ 
{\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$
temos um \'unico morfismo $\kappa:
{\rm Lim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}\rightarrow
{\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Lim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$. Revertendo a
situa\c{c}\~ao em {\bf I}
e {\bf J}, temos um morfismo \'unico
que ser\'a o inverso deste,
e logo este $\kappa$ \'e um
isomorfismo.
\par
Para provar {\bf 4.}
construimos o morfismo $\kappa$ de modo
an\'alogo ao de {\bf 3.},
com algumas setas invertidas:
$$\begin{matrix} \qquad \mathcal{ F}(i,j)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\mu_{ij}}
&{\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )\\ \\
\vcenter{\hbox{$ \nu_{ij}$}}
\Big\uparrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$ \nu_i$}}\\ \\
\qquad{\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}(\bullet ,j)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\alpha_j}
&{\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}\\ \\
\vcenter{\hbox{$\mu_j$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\uparrow
\vcenter{\hbox{$\kappa$}}\\ \\
\qquad{\rm Colim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}&
\mathop{\longleftarrow}\limits^{=}
&{\rm Colim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}
\ \mathcal{ F}\\
\end{matrix}$$
Os morfismos $\mu_{ij}$ e
$\mu_j$ s\~ao dados pelas cons\-tru\c{c}\~oes
dos colimites
${\rm Colim}_{\bf J}$ e ${\rm Colim}_{\bf J}\ 
{\rm Lim}_{\bf I}$,
respectivamente, e os morfismos $\nu_{ij}$
e $\nu_i$ s\~ao dados pelas
cons\-tru\c{c}\~oes dos limites
${\rm Lim}_{\bf I}$ e
${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}$,
respectivamente. Como, para
cada objeto $j$ de {\bf J}, o morfismo
composto $\mu_{ij}\circ \nu_{ij}$
\'e natural em $i$, temos
que a universalidade do
limite ${\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}$ fornece um
\'unico morfismo $\alpha_j:{\rm Lim}_{\bf I}\ 
\mathcal{ F}(\bullet ,j)
\rightarrow {\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Colim}\ \mathcal{ F}$.
Esta cons\-tru\c{c}\~ao
\'e natural em $j$, e por universalidade
do colimite ${\rm Colim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$ temos
um \'unico morfismo
$\kappa:{\rm Colim}_{\bf J}\ {\rm Lim}_{\bf I}\ 
\mathcal{ F}\rightarrow
{\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$.
\par
Suponhamos agora {\bf J}
filtrada. Um ele\-men\-to $x$
do limite ${\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$
\'e caracterizado,
como todo ele\-men\-to de
um objeto de {\bf Conj}, por um morfismo
$x_0:\{ \ast \}\rightarrow
{\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}$. Para cada objeto
$i$ de {\bf I} tomamos a composta
$x_i:\{ \ast \}\rightarrow
{\rm Lim}_{\bf I}\ {\rm Colim}_{\bf J}
\ \mathcal{ F}\rightarrow
{\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,\bullet )$,
que \'e um ele\-men\-to do
colimite ${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}
(i,\bullet )$. Por
defini\c{c}\~ao de limite, para um morfismo
$u:i\rightarrow i'$ em
{\bf I} devemos ter ${\rm Colim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}(u,\bullet )(x_i)=x_{i'}$, como ele\-men\-tos
em ${\rm Colim}_{\bf J}\
\mathcal{ F}(i',\bullet )$. Recordando a
cons\-tru\c{c}\~ao de colimites
em {\bf Conj} ({\bf A.3.1}) vemos que este
ele\-men\-to pode ser representado
por um ele\-men\-to $\tilde x_i$ de
$\mathcal{ F}(i,j)$, para algum $j$,
sujeito \`a equival\^encia descrita em
({\bf A.3}). Por {\bf 4.i},
a igualdade destes ele\-men\-tos em
${\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}(i,
\bullet )$ pode ser testada em um
mesmo conjunto $\mathcal{ F}(i,j')$,
e por {\bf 4.ii} esta igualdade pode
ser testada pela aplica\c{c}\~ao
de um morfismo $j'\rightarrow k$
de {\bf J}. Como {\bf I} \'e finito,
este ele\-men\-to $x$ de ${\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Colim}_{\bf J}\ \mathcal{ F}$
pode ser representado por um ele\-men\-to
$\tilde x_i$ em $\mathcal{ F}(i,k)$
que obedece, para cada morfismo
$u:i\rightarrow i'$ em {\bf I},
$tilde x_{i'}=\mathcal{ F}(u,k)(\tilde x_i)$.
Por defini\c{c}\~ao, este \'e
um ele\-men\-to do ${\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}
(\bullet ,k)$. Tomando a imagem
deste ele\-men\-to em ${\rm Colim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$,
temos um aplica\c{c}\~ao ${\rm Lim}_{\bf I}
\ {\rm Colim}_{\bf J}\ 
\mathcal{ F}\rightarrow {\rm Colim}_{\bf J}
\ {\rm Lim}_{\bf I}\ \mathcal{ F}$ bem
definida e natural, e inversa
do morfismo $\kappa$ acima. 
\medskip
O funtor de esque\-cimento $\mathcal{ E}:
{\bf Grp}\rightarrow {\bf Conj}$
tem um adjunto \`a esquerda $\mathcal{ F}:
{\bf Conj}\rightarrow {\bf Grp}$
que associa a cada conjunto $X$ o
grupo livre $\mathcal{ F}(X)$ gerado
por $X$; o funtor $\mathcal{ E}$ \'e adjunto
\`a direita de $\mathcal{ F}$
e logo preserva limites: isto explica
porque o produto de grupos
\'e construido sobre o produto
cartesiano dos conjuntos subjacentes
aos grupos. No entanto, o objeto
inicial de {\bf Grp} \'e o
grupo trivial (s\'o a identidade como
ele\-men\-to; \'e tamb\'em
objeto final em {\bf Grp}), e
fazendo o funtor de esque\-cimento
agir neste objeto n\~ao obtemos o
objeto inicial de {\bf Conj}
(que \'e o conjunto vazio).
Isto mostra que $\mathcal{ E}$ n\~ao 
preserva colimites, e portanto
n\~ao tem funtor adjunto \`a
direita.
\par
O funtor de esque\-cimento $\mathcal{ E}:
{\bf Top}\rightarrow {\bf Conj}$
tem um adjunto \`a esquerda $\mathcal{ D}:
{\bf Conj}\rightarrow {\bf Top}$
que associa a cada conjunto $X$ o espa\c{c}o
topol\'ogico dado pela
topologia discreta em $X$ (tudo aberto),
e tem um adjunto \`a
direita $\mathcal{ G}:{\bf Conj}\rightarrow
{\bf Top}$ que associa a
cada conjunto $X$ o espa\c{c}o topol\'ogico dado pela
topologia grosseira em $X$ (s\'o $X$ e
$\emptyset$ abertos).
Isto explica porque $\mathcal{ E}$ preserva
limites e colimites de
{\bf Top}: a topologia produto \'e
construida sobre o produto
cartesiano dos conjuntos subjacentes
aos espa\c{c}os, e a soma topol\'ogica
\'e construida sobre
a soma (i.e., a uni\~ao disjunta)
dos conjuntos subjacentes.
Assim, tamb\'em como {\bf Conj},
a cate\-goria {\bf Top}
\'e completa e cocompleta.
\par
Adjun\c{c}\~oes \`as vezes se
manifestam sem a interfer\^encia
dos conjuntos de morfismos, por exemplo,
das seguin\-tes maneiras.
Podemos em ({\bf A.4.1}), \`a maneira de Yoneda,
avaliar a bije\c{c}\~ao $\varphi_{C,
\mathcal{ F}(C)}$ na identidade
${\it id}_{\mathcal{ F}(C)}$, obtendo
um morfismo $\eta_C:C\rightarrow
\mathcal{ G}\mathcal{ F}(C)$. Esta
aplica\c{c}\~ao $\eta$ \'e dita a
{\it unidade\/} da adjun\c{c}\~ao
em $C$. Como temos, para todo
morfismo $h\in {\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(C),D)$, o seguin\-te diagrama comutativo
escrito em {\bf Conj} expressando a
naturalidade de $\varphi$
$$\begin{matrix} \qquad{\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(C),\mathcal{ F}(C))&
\mathop{\longrightarrow}
\limits^{\varphi_{C,\mathcal{ F}(C)}}
&{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}\mathcal{ F}
(C))\\ \\
\vcenter{\hbox{$ {\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(C),h)$}}
\Big\downarrow &&\quad \Big\downarrow 
\vcenter{\hbox{$ {\it Hom}_{\bf C}
(C, \mathcal{ G}(h))$}}\\ \\
\qquad{\it Hom}_{\bf D} (\mathcal{ F}(C),D)&
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\varphi_{C,D}}
&{\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(D))
\end{matrix}$$
segue que
\begin{eqnarray*}\varphi_{C,D}(h)
&=\varphi_{C,D}\circ {\it Hom}_{\bf D}
(\mathcal{ F}(C),h)({\it id}_{\mathcal{ F}(C)})
=h\circ {\it id}_{\mathcal{ F}(C)}\\
&={\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(h))
\circ \varphi_{C,\mathcal{ F}(C)}
({\it id}_{\mathcal{ F}(C)})\\
&={\it Hom}_{\bf C}(C,\mathcal{ G}(h))
\circ \eta_C,
\end{eqnarray*}
o que mostra que $\varphi_{C,D}$
pode ser escrito em termos
de $\eta_C$, e logo a unidade
$\eta$ determina a adjun\c{c}\~ao
$\varphi$.
\par
Uma adjun\c{c}\~ao pode ser
tamb\'em determinada pelo dual da unidade,
a saber, a {\it co\-unidade\/}
da adjun\c{c}\~ao, dada pela
aplica\c{c}\~ao de $\varphi_{C,D}^{-1}$ \`a unidade
${\it id}_{\mathcal{ G}(D)}$
do conjunto
de morfismos $ {\it Hom}_{\bf C}(\mathcal{ G}(D),
\mathcal{ G}(D))$. O argumento que mostra
isto, \`a maneira de Yoneda, \'e inteiramente dual.
\par
Se a unidade $\eta:1\stackrel
{\bullet}{\rightarrow} \mathcal{ GF}$ e a
co\-unidade $\epsilon:\mathcal{ FG}
\stackrel{\bullet}{\rightarrow} 1$
de uma adjun\c{c}\~ao forem
isomorfismos naturais ent\~ao
$\mathcal{ F}$ (ou $\mathcal{ G}$)
definem uma equival\^encia de cate\-gorias,
e vale a rec\'{\i}proca.
Neste caso, $\mathcal{ F}$
\'e tanto o adjunto \`a esquerda
de $\mathcal{ G}$ por uma
adjun\c{c}\~ao cuja unidade \'e $\eta$ quanto
o adjunto \`a direita
de $\mathcal{ G}$ por uma adjun\c{c}\~ao cuja unidade
\'e $\epsilon^{-1}$.

\bigskip \noindent
{\bf A.5. Espa\c{c}os sob e sobre espa\c{c}o.}
Seja $C$ um objeto de uma cate\-goria {\bf C}. A
cate\-goria ${\bf C}_C$
de espa\c{c}os sobre $C$
tem por objetos ele\-men\-tos $f \in
{\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ e
os morfismos entre $f \in {\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ e
$g \in {\it Hom}_{\bf C}(Y,C)$ s\~ao dados por
ele\-men\-tos
$h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ que
satisfazem $g\circ h = f$.
De maneira dual a cate\-goria ${\bf C}^C $
de espa\c{c}os sob $C$
tem por objetos ele\-men\-tos $f \in
{\it Hom}_{\bf C}(C,X)$ e
os morfismos entre $f \in {\it Hom}_{\bf C}(C,X)$ e
$g \in {\it Hom}_{\bf C}(C,Y)$ s\~ao dados
por ele\-men\-tos
$h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ que satisfazem
$h\circ f = g$.
Tanto ${\bf C}_C$ quanto ${\bf C}^C$
admitem naturalmente
funtores de esque\-cimento $\mathcal{ E}_C:
{\bf C}_C\rightarrow {\bf C}$
e $\mathcal{ E}^C:{\bf C}^C\rightarrow {\bf C}$ levando
o objeto $f \in {\it Hom}_{\bf C}(X,C)$ em
$X$
e o morfismo $h \in {\it Hom}_{\bf C}(X,Y)$ em
$h$.
\par
A identidade ${\it id}_C:C\rightarrow C$
\'e objeto final
de ${\bf C}_C$ e objeto inicial de
${\bf C}^C$. Os funtores
$\mathcal{ E}_C$ e $\mathcal{ E}^C$ levam naturalmente
${\it id}_C$ em
$C$, o que mostra que $\mathcal{ E}_C$
(respectivamente, $\mathcal{ E}^C$)
n\~ao tem em geral adjunto
\`a esquerda (respectivamente,
\`a direita). Se, no entanto, {\bf C} tiver
coprodutos finitos (isto \'e,
colimites para funtores vindo de cate\-gorias 
com finitos objetos e
sem morfismos que n\~ao sejam identidades)
ent\~ao $\mathcal{ E}^C$
tem um adjunto \`a esquerda que associa
a cada objeto $X$ de
${\bf C}$ o objeto de ${\bf C}^C$ dado por
$C\rightarrow X\amalg C$
(onde $X\amalg C$ denota o coproduto de $X$ e $C$).
A bije\c{c}\~ao natural $\varphi$ que define
a adjun\c{c}\~ao
associa a cada morfismo $h:X\rightarrow Y$ de {\bf C}
a aplica\c{c}\~ao \'unica $X\amalg C\rightarrow Y$
dada pela
propriedade universal do coproduto.
De maneira dual, se {\bf C}
tiver produtos finitos ent\~ao $\mathcal{ E}_C$
tem um adjunto \`a
direita que associa a cada objeto $X$
de {\bf C} o objeto de
${\bf C}_C$ dado pela proje\c{c}\~ao
$X\times C\rightarrow C$.
Isto mostra que as cate\-gorias ${\bf Conj}_C$
e ${\bf Top}_C$
s\~ao completas, e que as cate\-gorias
${\bf Conj}^C$ e ${\bf Top}^C$
s\~ao cocompletas.
\par
Se {\bf C} possui produtos fibrados (respectivamente,
somas fibradas) ent\~ao tanto ${\bf C}^C$ quanto
${\bf C}_C$
possuem estes produtos (resp., somas) e
tanto $\mathcal{ E}^C$ quanto $\mathcal{ E}_C$ preservam estes
produtos (resp., somas). No caso de produtos,
por exemplo, consideramos
os morfismos $f_1:X_1\rightarrow X_2$ e
$f_3:X_3\rightarrow X_2$
entre os objetos $g_i:X_i\rightarrow C$ de
${\bf C}_C$, para
$i=1,2,3$; temos o produto fibrado
$X_1\times_{X_2}X_3$ de
$f_1$ e $f_2$ em {\bf C} dado com
$l_i:X_1\times_{X_2}X_3\rightarrow X_i$ para $i=1,3$.
Tomando o produto fibrado $X_1\times_CX_3$ de $g_1$
e $g_3$ e
sua universalidade obtemos
$X_1\times_{X_2}X_3\rightarrow X_1\times_CX_3$ 
e a composta $X_1\times_{X_2}X_3
\rightarrow X_1\times_CX_3
\rightarrow C$ ser\'a vista como
o objeto $g_1\circ l_1 =
g_3\circ l_3$ de ${\bf C}_C$.
Para testar nesta composta a
propriedade universal tomamos um objeto 
$h:Y\rightarrow C$ de ${\bf C}_C$ e morfismos
$h_1:Y\rightarrow X_1$
e $h_3:Y\rightarrow X_3$ em ${\bf C}_C$
(de modo que $g_i\circ l_i = h$
para $i=1,3$) satisfazendo comuta\c{c}\~oes
(de modo que
$f_1\circ h_1 = f_3\circ h_3$ em ${\bf C}_C$);
pela universalidade
de $X_1\times_{X_2}X_3$ em {\bf C}
exis\-te um \'unico morfismo
$u:Y\rightarrow X_1\times_{X_2}X_3$
em {\bf C} satisfazendo
$l_i\circ u = h_i$ para $i=1,3$. Devemos mostrar que 
$u$ \'e morfismo em ${\bf C}_C$, mas isto \'e
consequ\^encia de
$g_i\circ l_i\circ u=g_i\circ h_i=h$.
\par
Um argumento an\'alogo mostra que se {\bf C}
tem coequa\-lizadores
ent\~ao ${\bf C}_C$ tamb\'em os tem e
$\mathcal{ E}_C$ os preserva:
dados objetos $g_1:X_1\rightarrow C$
e $g_2:X_2\rightarrow C$
em ${\bf C}_C$ e morfismos $m,n:X_1
\rightarrow X_2$ em ${\bf C}_C$
tomamos o coequa\-lizador $X_2\stackrel{c}
{\rightarrow} X_3$ em {\bf C}.
Como $m$ e $n$ s\~ao morfismos em ${\bf C}_C$ temos
$g_2\circ m=g_1=g_2\circ n$, e usando
a universalidade do
coequa\-lizador temos que exis\-te um \'unico morfismo
$u:X_3\rightarrow C$ com $g_2=u\circ c$, e logo
$u:X_3\rightarrow C$ \'e coequa\-lizador
em ${\bf C}_C$.
A universalidade de um coproduto $X_1\amalg X_2$
que existir em {\bf C} mostra que o coproduto tamb\'em
ser\'a um objeto de ${\bf C}_C$, e tamb\'em
coproduto l\'a.
Isto mostra que ${\bf Conj}_C$ e ${\bf Top}_C$
s\~ao cocompletas.
\par
Se $C$ for objeto inicial
(respectivamente, final) de {\bf C}
ent\~ao ${\bf C}^C$ (resp., ${\bf C}_C$)
se reduz a {\bf C}.
Por exemplo, em {\bf Conj} o conjunto $\{\ast \}$ com 
um s\'o ele\-men\-to \'e objeto final, e logo
${\bf Conj}_\ast$ \'e {\bf Conj}, mas
${\bf Conj}^\ast$ \'e
a cate\-goria de conjuntos com um ponto base
e analogamente
para ${\bf Top}^\ast$.
\par
Se {\bf C} possui produtos fibrados
(resp., somas fibradas)
e $f:C'\rightarrow C$ \'e morfismo
em {\bf C} ent\~ao o
funtor $f^\ast :{\bf C}_C\rightarrow {\bf C}_{C'}$
(resp.,
$f_\ast :{\bf C}^{C'}\rightarrow {\bf C}^C$)
que a cada objeto $g:D\rightarrow C$ de ${\bf C}_C$
(resp., $g:C'\rightarrow D'$ de
${\bf C}^{C'}$) associa
o produto fibrado $D\times_C C'$ (resp., a soma
fibrada
$C\amalg D'$) tem um adjunto \`a esquerda $\Sigma_f$
(resp., um adjunto \`a direita $\Pi_f$)
dado pela composi\c{c}\~ao com $f$ \`a esquerda
(resp., \`a direita):
\begin{equation}
\Sigma_f :{\bf C}_{C'}\longleftrightarrow
{\bf C}_C:f^\ast
\tag{\bf A.5.1}
\end{equation}
e
\begin{equation}
f_\ast:{\bf C}^C\longleftrightarrow
{\bf C}^{C'}:\Pi_f.
\tag{\bf A.5.2}
\end{equation}
Nos dois casos, os adjuntos s\~ao dados pelas
propriedades universais
envolvidas.
\vskip 2cm \noindent
{\bf A.6. Objetos de Hopf.}
Seja {\bf C} uma cate\-goria
que possua produtos finitos,
inclusive o objeto terminal, denotado
por 1, que \'e o produto vazio.
Um {\it objeto de Hopf\/} (ou {\it objeto de grupo\/})
\'e um objeto $H$ de {\bf C}
tal que exis\-te um morfismo
$\mu :H\times H\rightarrow H$
que faz com que  para todo objeto $X$ de {\bf C}, 
${\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ tenha uma estrutura
de grupo, natural em $X$, dada pela seguin\-te regra:
para morfismos
$f,g\in {\it Hom}_{\bf C}(X,H)$
ent\~ao a opera\c{c}\~ao
\'e definida por
$X\stackrel{(f,g)}{\longrightarrow} H\times H
\stackrel{\mu}{\longrightarrow} H$,
(aqui $(f,g) \in {\it Hom}_{\bf C}
(X,H\times H)$ \'e a aplica\c{c}\~ao dada pela 
propriedade universal do produto).
Desta maneira temos um funtor de
esque\-cimento contravariante
$\mathcal{ E}:{\bf C}\rightarrow {\bf Grp}$
representado por $H$.
\par
O conceito dual de {\it co-objeto de
Hopf\/} em cate\-gorias que tenham coprodutos
significa um objeto $H$ de {\bf C}
para o qual exis\-te um morfismo
$\Delta :H\rightarrow H\amalg H$
que faz com que  para todo objeto $X$ de {\bf C}, 
${\it Hom}_{\bf C}(H,X)$ tenha uma estrutura
de grupo, natural em $X$, dada pela seguin\-te regra:
para morfismos
$f,g\in {\it Hom}_{\bf C}(H,X)$
ent\~ao a opera\c{c}\~ao
\'e definida por
$H\stackrel{\Delta}{\longrightarrow} H\amalg H
\stackrel{(f,g)}{\longrightarrow} X$
Desta maneira temos um funtor de
esque\-cimento covariante
$\mathcal{ E}:{\bf C}\rightarrow {\bf Grp}$
representado por $H$.
\par
Para um objeto de Hopf $H$ em {\bf C}
a naturalidade da
estrutura de grupo no conjunto
${\it Hom}_{\bf C}(X,H)$
significa
que para um morfismo $f:X\rightarrow X'$ a fun\c{c}\~ao
${\it Hom}_{\bf C}(f,H):
{\it Hom}_{\bf C}(X',H)\rightarrow
{\it Hom}_{\bf C}(X,H)$ \'e um homomorfismo de grupos.
\par
Como ${\it Hom}_{\bf C}(1,H)$ tem estrutura de grupo
exis\-te um morfismo $\epsilon:1\rightarrow H$ que \'e
a unidade deste grupo, caracterizado
pela comutatividade
do diagrama escrito em {\bf C}
\begin{eqnarray*}H=H\times 1 
\longrightarrow &H\times H\\
{\it id}_H \searrow &\downarrow \mu \\
&H
\end{eqnarray*}
Um objeto de Hopf $H$ em {\bf Conj} \'e simplesmente
um grupo, que pode ser identificado com
${\it Hom}_{\bf C}(1,H)$.
\par
Um objeto de Hopf $H$
\'e dito {\it abeliano\/} se for
comutativo o seguin\-te diagrama
escrito em {\bf C} onde
o morfismo horizontal $\tau$ \'e a troca
de coordenadas
\begin{eqnarray*}H\times H
\mathop{\longrightarrow}\limits^{\tau}
&H\times H\\
\mu \searrow &\downarrow \mu \\
&H
\end{eqnarray*}
\par
Top\'ologos identificaram pela primeira
vez objetos e co-objetos de Hopf, na categoria
${\bf HomTop}_*$ de classes de homotopia
de espa\c{c}os top\'ogicos com um ponto-base,
sob a denomina\c{c}\~ao {\sl H grupos\/} e
{\bf H cogrupos\/}
(ver, por exemplo, [{\bf Sp}], que 
inclui os axiomas de co-objeto de
Hopf na p\'agina 40).

\vfill \eject
\section*{Ap\^endice B: A Categoria de Variedades
Diferenci\'aveis}

\bigskip \noindent
Este ap\^endice resume 
brevemente os fatos necess\'arios
da categoria diferenci\'avel, e assume do
leitor alguma lembran\c{c}a de An\'alise.
Especificamente, esta categoria \'e definida
para agregar todo conhecimento {\sl local\/}
da An\'alise. Assim n\~ao haver\'a necessidade
de se lembrar de nenhuma f\'ormula de
C\'alculo, mas sim dos teoremas locais
de exist\^encia:
o teorema da fun\c{c}\~ao inversa e o teorema
da fun\c{c}\~ao impl\'{\i}cita.

\bigskip \noindent
{\bf B.1. Variedades.}
A An\'alise que ser\'a utilizada aqui \'e real e
euclidiana, baseada nos espa\c{c}os ${\bf R}^n$.
Apesar disso, seguindo os passos dos mestres
em [{\bf M-S}],
adotamos a id\'eia de introduzir
um espa\c{c}o ambiente
do tipo ${\bf R}^A$ onde $A$ 
\'e um conjunto qualquer, objeto de {\bf Conj}.
Este espa\c{c}o ambiente nada mais \'e do que
$${\bf R}^A={\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}).$$
Tomando $A$
de cardinalidade finita $n$, normalizado
em {\bf Conj} como sendo o conjunto
$A=\{ 1,\ldots ,n\}$,
recupera-se o espa\c{c}o euclidiano ${\bf R}^n$
identificando a fun\c{c}\~ao $x\in
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ com o vetor
$(x_1,\ldots ,x_n)$ atrav\'es
de $x_i:=x(i)$.
A familiaridade com este
exemplo ser\'a aproveitada no uso da nota\c{c}\~ao
$x_a$ para o valor da fun\c{c}\~ao $x\in
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ em $a\in A$,
isto \'e, vale $x_a=x(a)$ em geral.
\par
Cada elemento $a\in A$ \'e uma coordenada em
${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$, definindo
uma fun\c{c}\~ao de proje\c{c}\~ao
$$\pi_a:{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})
\longrightarrow
{\bf R}\qquad \pi_a(x)=x(a)=x_a,$$ 
morfismo em {\bf Conj}. A topologia
de {\bf R} como objeto de {\bf Top}
\'e invocada para
fazer desta proje\c{c}\~ao 
um morfismo em {\bf Top}
de maneira universal, isto \'e,
${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ \'e
dotado da maior topologia
que torna tais proje\c{c}\~oes
cont\'{\i}nuas;
isto significa: para um objeto $Y$ em {\bf Top}
uma fun\c{c}\~ao
$f:Y\rightarrow {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
\'e morfismo em {\bf Top} se e s\'o se
para cada $a\in A$ a composta $\pi_a\circ f$ \'e
morfismo em {\bf Top}.
\par
Os objetos da categoria diferenci\'avel
{\bf Diff}
ser\~ao subconjuntos $M$ em
$${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$
com a topologia induzida universal, isto \'e,
para um objeto $Y$ em {\bf Top}
uma fun\c{c}\~ao
$f:Y\rightarrow M$
\'e morfismo em {\bf Top} se e s\'o se
a composta $\iota\circ f$ \'e
morfismo em {\bf Top}, onde
$\iota :M\hookrightarrow 
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$ 
\'e a inclus\~ao; pelo visto acima,
isto acontece se e
s\'o se para cada $a\in A$ a
composta $f_a:=\pi_a\circ \iota \circ f:
Y\rightarrow {\bf R}$
\'e morfismo em {\bf Top}.
\par
Al\'em de espa\c{c}o topol\'ogico,
uma estrutura adicional que $Y$ tiver
permite considerar a fun\c{c}\~ao
$f:Y\rightarrow M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
como morfismo em outras categorias.
O exemplo relevante \'e 
o de um subconjunto de um espa\c{c}o
euclidiano no qual \'e poss\'{\i}vel
tomar derivadas: se $U\subset {\bf R}^n$ 
ent\~ao uma fun\c{c}\~ao
$f:U\rightarrow
M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
\'e {\sl suave\/} se para cada
$a\in A$ as compostas $f_a=
\pi_a\circ \iota \circ f:U
\rightarrow {\bf R}$ forem
infinitamente diferenci\'aveis.
As derivadas parciais
$\frac{\partial f}{\partial x_i}$
s\~ao definidas
como as fun\c{c}\~oes
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}:
U\rightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$
que para cada $a\in A$ tem
como coordenada $a$ a fun\c{c}\~ao
$\frac{\partial f_a}{\partial x_i}$.
Seja observado que, apesar da considera\c{c}\~ao 
do espa\c{c}o ${\bf R}^A$ de
``dimens\~ao infinita'', a no\c{c}\~ao de
diferenciabilidade s\'o foi
aplicada para fun\c{c}\~oes $f_a:U 
\rightarrow {\bf R}$; nenhuma diferenciabilidade
mais geral ser\'a jamais envolvida nestas
notas.  Como \'e necess\'ario tomar
derivadas --- um processo local ---, 
o subconjunto $U$ ser\'a sempre
tomado aberto em ${\bf R}^n$.
\par
Estas simples considera\c{c}\~oes
permitem a postula\c{c}\~ao da categoria
{\bf Diff}: um subconjunto
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
\'e uma {\sl variedade diferenci\'avel\/}
de dimens\~ao $n$ se para cada
$x\in M$ existir
uma fun\c{c}\~ao suave
$h:U\rightarrow M\subset
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$,
definida em um aberto
$U\subset {\bf R}^n$, tal que
$h$ seja um homeomorfismo de $U$ em $V
\subset M$
e que para $u\in U$ com $h(u)=x$
a matrix $(
\frac{\partial f_a}{\partial x_i}(u))$
tenha posto $n$. Neste caso \'e dito
que $V=h(U)$ \'e  uma {\sl vizinhan\c{c}a
coordenada\/} e $(U,V,h)$ uma
{\sl parametriza\c{c}\~ao local\/}.
\par
Casos simples mas importantes de
variedades s\~ao os pr\'oprios
abertos $U$ em ${\bf R}^n$, para
qualquer ponto dos quais \'e poss\'{\i}vel
tomar a mesma
parametriza\c{c}\~ao $(U,U,id:U
\rightarrow U)$. Em particular o
espa\c{c}o euclidiano ${\bf R}^n$ \'e
uma variedade diferenci\'avel
de dimens\~ao $n$.

\bigskip \noindent
{\bf B.2. Mudan\c{c}a de parametriza\c{c}\~ao.}
Segue do teorema da fun\c{c}\~ao
impl\'{\i}cita que se duas
parametriza\c{c}\~oes locais
$(U,V,h)$ e $(U',V',h')$ se encontram,
isto \'e, s\~ao tais que $V\cap V'\not=
\emptyset$ ent\~ao $$h^{-1}\circ h':
(h')^{-1}(V\cap V')\rightarrow
h^{-1}(V\cap V')$$
\'e infinitamente diferenci\'avel.
Esta fun\c{c}\~ao $h^{-1}\circ h'$
associa dois abertos $(h')^{-1}(V\cap V')$
e $h^{-1}(V\cap V')$ do mesmo espa\c{c}o
euclidiano onde $U$ e $U'$ s\~ao abertos.
A dimens\~ao de uma veriedade diferenci\'avel
\'e, assim, bem definida.

\bigskip \noindent
{\bf B.3. Fun\c{c}\~oes suaves.}
Parametriza\c{c}\~oes locais s\~ao
usadas na defini\c{c}\~ao dos morfismos
na categoria {\bf Diff} de variedades
diferenci\'aveis.
Estes morfismos, ditos fun\c{c}\~oes
suaves, s\~ao definidos a partir do
conceito de fun\c{c}\~oes suaves
definidas em um aberto $U\subset
{\bf R}^n$ como em {\bf B.1}:
sejam dadas duas variedades
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
e
$N\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$;
uma fun\c{c}\~ao $f:M\rightarrow
N$ \'e {\sl suave em um ponto\/}
$m\in M$ se para uma
parametriza\c{c}\~ao local $(U,V,h)$
em $M$ tal que $m\in V$ tenhamos
$f\circ h:U\rightarrow 
{\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$
suave. O resultado enunciado em
{\bf B.2}
implica que esta a defini\c{c}\~ao
de suavidade em um ponto $m\in M$
independe da escolha da
parametriza\c{c}\~ao local $(U,V,h)$
com $m\in V$. Uma fun\c{c}\~ao
$f:M\rightarrow N$ \'e {\sl suave\/}
se for suave em cada ponto $m\in M$.
Variedades diferenci\'aveis e
fun\c{c}\~oes suaves entre elas
definem a categoria {\bf Diff}.
Isomorfismos em {\bf Diff} s\~ao
chamados {\sl difeomorfismos\/}.
\par
Para um aberto $U\subset {\bf R}^n$
tomado com a estrutura natural de
variedade como em {\bf B.1} o conceito
de fun\c{c}\~ao suave como morfismo
em ${\it Hom}_{\bf Diff}(U,M)$ coincide
com a no\c{c}\~ao introduzida em {\bf B.1}.
\par
Pela pr\'opria postula\c{c}\~ao
dos objetos como conjuntos com
uma estrutura adicional (que permite
tomar derivadas), h\'a funtores
de esquecimento de {\bf Diff} para
{\bf Conj} e para {\bf Top}, mas estes
funtores s\~ao pouco interessantes:
a estrutura adicional de variedade
\'e excessivamente ligada aos processos
da An\'alise para que estes funtores
tenham algum adjunto. No entanto,
{\bf Diff} possui produtos
constru\'{\i}dos sobre o produto
cartesiano.

\bigskip \noindent
{\bf B.4. Sobre a defini\c{c}\~ao de
variedades.}
A defini\c{c}\~ao de variedade pode
ser apresentada de muitas maneiras
diferentes. O tratamento adotado
aqui \'e calcado em [{\bf M-S}] e
sofre o defeito de exigir que a
variedade 
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
esteja definida em um
espa\c{c}o ambiente
${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$,
que depende do conjunto $A$
que aparentemente pouco se manifesta
na estrutura diferencial. Esta
depend\^encia, de fato, \'e
algo irrelevante:
se $g:A\rightarrow B$ \'e monomorfismo
em {\bf Conj} ent\~ao
\begin{eqnarray*}{\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})
&\rightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})\\
h&\mapsto \quad g\circ h
\end{eqnarray*}
\'e uma inje\c{c}\~ao, e a variedade
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
pode ser igualmente
considerada em
${\it Hom}_{\bf Conj}(B, {\bf R})$
para qualquer conjunto $B$ que contenha
$A$. (O problema de descrever
o conjunto $A$ {\it m\'{\i}nimo\/}, no
entanto, \'e interessante: h\'a variedades
de dimens\~ao $n$ que s\'o aparecem em
${\bf R}^{2n+1}$).
\par
H\'a, no entanto, um conjunto $A$
m\'aximo ``can\^onico'': dada uma variedade
$\iota:M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$,
para cada $a\in A$ temos a fun\c{c}\~ao
$\pi_a\circ \iota:M\rightarrow {\bf R}$
que \'e suave, isto \'e, um morfismo
em ${\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R})$,
e a identifica\c{c}\~ao
$a\leftrightarrow \pi_a\circ \iota$
injeta $A$ como subconjunto de
${\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R})$.
Tomemos ent\~ao $$A_M:=
{\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R})$$
e a inje\c{c}\~ao can\^onica
$$\iota_\kappa:M\rightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A_M, {\bf R})=
{\it Hom}_{\bf Conj}(
{\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R}),
{\bf R})$$
dada por $\iota_\kappa(m)(f)=f(m)$.
Esta inje\c{c}\~ao \'e um difeomorfismo
de $M$ sobre sua imagem $\iota_\kappa(M)$.
\par
Agora a variedade
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A_M, {\bf R})=
{\it Hom}_{\bf Conj}(
{\it Hom}_{\bf Diff}(M, {\bf R}),
{\bf R})$ \'e apresentada de forma
intr\'{\i}nseca, e este processo
pode ser usado para uma redefini\c{c}\~ao:
dado um conjunto $M$ em {\bf Conj}
e $A\subset 
{\it Hom}_{\bf Conj}(M, {\bf R})$ um
subconjunto de fun\c{c}\~oes 
reais em $M$ que
{\sl separa pontos\/}, isto \'e,
tal que a aplica\c{c}\~ao can\^onica
$\iota_\kappa$ definida 
como acima seja uma inje\c{c}\~ao
(esta condi\c{c}\~ao esmiu\c{c}ada
significa: dados $m_1\not= m_2\in M$
existe $f\in A$ com $f(m_1)\not=
f(m_2)$), $A$ \'e chamado uma
{\sl estrutura diferencial\/} em $M$
se $\iota_\kappa(M)\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
for uma variedade diferenci\'avel
e se $A=A_M=
{\it Hom}_{\bf Diff}(
\iota_\kappa(M), {\bf R})$, isto \'e,
se $A$ for o conjunto de morfismos
em {\bf Diff} (isto \'e,
de fun\c{c}\~oes suaves)
desta variedade para a reta {\bf R}.

\bigskip \noindent
{\bf B.5. O espa\c{c}o tangente.}
Seja
$M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
uma variedade de dimens\~ao $n$
e $m\in M$. Um
{\sl caminho\/} passando por $m$
\'e uma fun\c{c}\~ao
suave
$$p:(-\epsilon,\epsilon)\longrightarrow
M\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R}),
\qquad {\rm com}\ p(0)=m,$$
onde $\epsilon > 0$.
O {\sl vetor velocidade\/} \'e
ent\~ao definido como sendo o vetor
$$\frac{\partial p}{\partial t}
|_{t=0}=\frac{dp}{dt}|_{t=0}
\in {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$$
tendo como coordenada $a$ exatamente
$\frac{d(\pi_a\circ p)}{dt}|_{t=0}$.
Um elemento de
${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
\'e dito um {\sl vetor tangente\/}
em $m$ se for vetor velocidade de
algum caminho passando por $m$.
O conjunto destes vetores \'e
chamado de {\sl espa\c{c}o tangente\/}
de $M$ em $m$, denotado por
$D(M)_m$.
\par
Se $(U,V,h)$ for uma parametriza\c{c}\~ao
local com $m\in V=h(U)$, digamos
$m=h(x)$ para $x\in U\subset {\bf R}^n$,
ent\~ao $v\in
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
\'e vetor tangente em $m$ se e s\'o
se existir uma combina\c{c}\~ao linear
$$v=\sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial h}{
\partial x_i}(x), \qquad c_i\in
{\bf R}.$$
Assim o espa\c{c}o tangente
$D(M)_m$ \'e
espa\c{c}o vetorial real de dimens\~ao
$n$. No caso de a veriedade diferenci\'avel
ser um aberto $U$
do espa\c{c}o euclidiano
${\bf R}^n$ o espa\c{c}o tangente
$D(U)_u$
em qualquer ponto $u$ \'e o
pr\'oprio ${\bf R}^n$.
\par
O {\sl fibrado tangente\/} de $M$
\'e o subconjunto $D(M)\subset
M\times {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})$
dado por
$$D(M):=\{\ (m,v)\in
M\times {\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})
\ |\ v\in D(M)_m\ \}.$$
Tomando uma vers\~ao contravariante do
Teorema de Preserva\c{c}\~ao de Limites
{\bf A.4} para ${\it Hom}_{\bf Conj}(
\bullet , {\bf R})$ vemos que
${\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})\times
{\it Hom}_{\bf Conj}(A, {\bf R})
\simeq {\it Hom}_{\bf Conj}(
A\amalg A,{\bf R})$, e
considerando $D(M)\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(
A\amalg A,{\bf R})$,
o fibrado tangente \'e uma variedade
diferenci\'avel de dimens\~ao $2n$.
\par
A associa\c{c}\~ao $M\rightarrow
D(M)$ \'e (a fun\c{c}\~ao nos objetos
de) um funtor
$$D:{\bf Diff}\longrightarrow
{\bf Diff}.$$
A fun\c{c}\~ao nos morfismos \'e
dada pela {\sl derivada\/} de uma
fun\c{c}\~ao suave $f:M\rightarrow N$,
definida por
\begin{eqnarray*}
D(f):D(M)&\longrightarrow D(N)\\
(m,v)&\mapsto (f(m), Df_m(v)),
\end{eqnarray*}
onde $D(f)_m\in {\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m,
D(N)_{f(m)})$ \'e a transforma\c{c}\~ao 
linear $$\frac{dp}{dt}|_{t=0}\mapsto
\frac{d(f\circ p)}{dt}|_{t=0}.$$
Em termos de uma parametriza\c{c}\~ao
local $(U,V,h)$ com $m=h(x)\in
V=h(U)$ vale
$$D(f)_m(
\sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial h}{
\partial x_i}(x))=
\sum_{i=1}^n c_i\frac{\partial (f\circ h)
}{\partial x_i}(x).$$
\par
Por exemplo, para toda variedade
$M$ a associa\c{c}\~ao
$(m,v)\mapsto m$
define uma fun\c{c}\~ao suave
$\pi:D(M)\rightarrow M$.
A derivada $D(\pi):D^2(M)\rightarrow D(M)$
\'e calculada associando
ao vetor velocidade do caminho
\begin{align}
(-\epsilon,\epsilon)&\longrightarrow
D(M)\hookrightarrow
{\it Hom}_{\bf Conj}(
A\amalg A,{\bf R})\notag\\
t&\mapsto\ (m(t),v(t))
\qquad {\rm onde}\ v(t)
\in D(M)_{m(t)}\notag
\end{align}
o vetor velocidade
$\frac{dm(t)}{dt}|_{t=0}$, isto \'e,
$$D(\pi):((m(0),v(0),\frac{d(m(t),
v(t))}{dt}|_{t=0})\mapsto
(m(0),\frac{dm(t)}{dt}|_{t=0}).$$
Uma inversa \`a direita $\chi$
em {\bf Diff}
desta fun\c{c}\~ao suave $\pi$ \'e
dita um {\sl campo vetorial\/}. Um
campo vetorial pode ser escrito
\begin{align}
\chi:M&\longrightarrow D(M) \notag\\
m&\mapsto (m,\chi_0(m)),\ {\rm 
onde}\ \chi_0(m)\in D(M)_m; \notag
\end{align}
em geral as refer\^encias
confundem $\chi$ e $\chi_0$.
As estruturas de espa\c{c}os vetoriais
em $D(M)_m$ fornecem uma estrutura
de espa\c{c}o vetorial no conjunto
de campos vetoriais
$$Vect(M)=\{ \chi\in{\it Hom}_{\bf Diff}
(M,D(M))\ |\ \pi\circ\chi=id_M\ \},$$
definida para $\chi,\eta\in Vect(M)$
e $\alpha\in {\bf R}$ por
$$(\chi+\eta)_0=\chi_o+\eta_0,\qquad
(\alpha \chi)_0=\alpha \chi_0.$$

Para uma fun\c{c}\~ao real suave
$f\in {\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$
a derivada em um ponto $m\in M$
\'e uma transforma\c{c}\~ao linear
$D(f)_m:D(M)_m\rightarrow D({\bf R})_
{f(m)}$. Como o espa\c{c}o tangente
$D({\bf R})_\alpha$
de {\bf R} em qualquer real
$\alpha$ \'e simplesmente
{\bf R} esta derivada \'e um
elemento do espa\c{c}o vetorial dual
${\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m,{\bf R})$.
Fixando o ponto $m\in M$ a associa\c{c}\~ao
$f\mapsto D(f)_m$ define uma
aplica\c{c}\~ao
$${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})
\longrightarrow
{\it Hom}_{\bf R}(D(M)_m,{\bf R}).$$
Dom\'{\i}nio e contradom\'{\i}nio
desta aplica\c{c}\~ao herdam uma
estrutura de \'al\-ge\-bra real atrav\'es
do produto em {\bf R} (o produto de
fun\c{c}\~oes \'e o produto de valores
das fun\c{c}\~oes). A aplica\c{c}\~ao
descrita acima 
{\it n\~ao\/} preserva este produto,
antes obedece \`a {\sl regra de Leibniz\/}
$$D(fg)_m=f(m)D(g)_m+g(m)D(F)_m.$$
Fixando agora $m\in M$ e $v\in D(M)_m$
o valor $D(f)_m(v)\in D({\bf R})_{f(m)}=
{\bf R}$ \'e um n\'umero real, e a
associa\c{c}\~ao $f\mapsto D(f)_m(v)$
define uma
aplica\c{c}\~ao
\begin{align}
X_{(m,v)}:{\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})
&\longrightarrow {\bf R}\notag\\
f&\mapsto D(f)_m(v).\notag
\end{align}
A regra de Leibniz se escreve
$$X_{(m,v)}(fg)=f(m)X_{(m,v)}(g)+g(m)
X_{(m,v)}(f),$$
ou seja, $X_{(m,v)}$ \'e uma {\sl deriva\c{c}\~ao\/}
da \'al\-ge\-bra ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$.
A associa\c{c}\~ao $(m,v)\leftrightarrow
X_{(m,v)}$ identifica o fibrado tangente $D(M)$
como a \'al\-ge\-bra de deriva\c{c}\~oes
de ${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$.
Alguns tratamentos definem assim o fibrado
tangente (por exemplo, [{\bf H}]).
Dado um campo vetorial $\chi\in Vect(M)$
definimos uma transforma\c{c}\~ao linear
\begin{align}
\chi_1:
{\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})
&\longrightarrow {\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})
\notag\\
{\rm por}\qquad f&\mapsto \chi_1(f):M\rightarrow
{\bf R}\notag\\
&\qquad \qquad m\mapsto D(f)_m(\chi_0(m)).\notag
\end{align}
A regra de Leibniz assume ent\~ao a forma
$$\chi_1(fg)=f\chi_1(g)+g\chi_1(f),$$
e $\chi_1$ est\'a na \'al\-ge\-bra $Der
({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))$
de transforma\c{c}\~oes
lineares $({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))
\rightarrow ({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))$
que s\~ao deriva\c{c}\~oes (isto \'e, obedecem
\`a regra de Leibniz); a composta de duas
destas transforma\c{c}\~oes {\it n\~ao\/}
obedece \`a regra de Leibniz, antes
esta \'al\-ge\-bra tem como
produto a opera\c{c}\~ao {\sl comutador\/}
definida por
$$[D_1,D_2]=D_1D_2-D_2D_1.$$
Esta opera\c{c}\~ao n\~ao \'e associativa.
Em vez da associatividade, \'e
satisfeita a crucial {\sl identidade
de Jacobi\/}
$$[D_1,[D_2,D_3]]+[D_2,[D_3,D_1]]+[D_3,
[D_1,D_2]]=0;$$
a regra da identidade de Jacobi \'e fixar
uma conforma\c{c}\~ao de colchetes,
(a usada acima, por exemplo, \'e
$[\bullet,[\bullet,\bullet]]$)
e fazer permuta\c{c}\~oes c\'{\i}clicas
nos \'{\i}ndices. Uma \'al\-ge\-bra cujo
produto satisfaz a identidade de Jacobi
\'e dita uma {\sl \'al\-ge\-bra de Lie\/}.
\par
A associa\c{c}\~ao
\begin{align}
Vect(M)&\longrightarrow Der
({\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R}))\notag\\
\chi&\mapsto \chi_1\notag
\end{align}
identifica o espa\c{c}o de campos vetoriais
com a \'al\-ge\-bra de deriva\c{c}\~oes
de
${\it Hom}_{\bf Diff}(M,{\bf R})$, e assim
$Vect(M)$ ganha uma estrutura de \'al\-ge\-bra
de Lie.

\vfill \eject
\section*{Refer\^encias para o Cap\'\i tulo 5}

\vskip 1.5cm
[{\bf C-P}]
C. De Concini, C. Procesi, {\sl Quantum Groups\/},
{\it in\/} {\sl D-modules, Representation Theory and
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[{\bf D}] J. Dieudonn\'e, {\sl La G\'eometrie des
Groupes Classiques\/}, Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete, 5, Springer-Verlag, 1955.
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[{\bf Go}] D. Gorenstein, {\sl Finite Groups\/},
Harper and Row, 1968.
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[{\bf H}]
S. Helgason, {\sl Differential Geometry, Lie Groups
and Symmetric Spaces\/}, Pure and Applied Mathematics,
80, Academic Press, 1978.
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[{\bf Hu}] J.E. Humphreys, {\sl Introduction to Lie
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[{\bf Ja}]
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A. Joseph, {\sl Quantum Groups and their Primitive
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[{\bf K}] 
C. Kassel, {\sl Quantum Groups\/}, Graduate Texts
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[{\bf M-S}] J. Milnor, J. Stasheff, {\sl Characteristic
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Princeton University Press, 1974.
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[{\bf Sp}] E. Spanier, {\sl Algebraic Topology\/},
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[{\bf Wa}] W. Waterhouse, {\sl Introduction to
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[{\bf W}] H. Weyl, {\sl The Classical Groups, their
Invariants and their Representations\/}, Prin\-ceton
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