

\chapter{Uma Visão Elementar de Supersimetria}
%\author{George Svetlichny}
%\date{\empty}
%\begin{document}
%\maketitle

Os físicos teóricos consideram a supersimetria uma idéia tão
bela que mesmo na ausência de qualquer indício empírico
direto da sua verdade, e somente um indireto de que {\em talvez \/}
seja verdade ({\bf [Wi]}),
% \cite{wilczek}
quase todas as propostas atuais de teorias
fundamentais incorporam a supersimetria. Pelas suas propriedades
matemáticas e conseqüências físicas marcantes, as teorias
supersimétricas destacam-se entre os candidatos mais promissores para
a nossa próxima visão do mundo físico. Mas o que é a
supersimetria? Não é fácil formular a resposta em termos leigos.
Há várias razões para isto. Em primeiro lugar, a supersimetria, do
jeito que o físico a entende, combina de uma maneira não trivial
a simetria do espaço-tempo e uma relação entre os dois tipos
fundamentais de campos físicos, os bosônicos e os fermiônicos ({\bf [So]}).
% \cite{sohnius}
Há muita especificidade nesta mistura, e isto oculta
as propriedades essenciais das estruturas matemáticas envolvidas,
apesar destas existirem independentemente de qualquer relação com
o espaço-tempo. De fato, todo aluno de matemática já é
familiar, sem perceber isto, com vários exemplos delas. Em segundo
lugar, uma boa parte de supersimetria é {\em formal\/}, ou seja, tem
mais a ver com expressões e não com objetos matemáticos
``verdadeiros''. Simetrias formais não tem muita graça, a qual só
aparece com as interpretações. Interpretações em termos de
teorias quânticas fundamentais estão longe da experiência leiga.
Infelizmente as conseqüências mais notáveis e úteis aparecem
só na teoria quântica. Fora deste contexto só um apelo à beleza
é capaz de manter interesse. Finalmente, a abordagem matemática
correta exige idéias que raramente fazem parte das matérias usuais
de cursos de matemática, e o aluno de modo geral tem pouca
familiaridade com elas, apesar de muitas serem bastante elementares.
Tentaremos, por meio de exemplos simples, apresentar aqui uma visão
elementar deste assunto tão extraordinário.

 
Considere a expressão \(xy\) e uma substituição \(\phi\) para
\(x\) e \(\psi\) para \(y\). Por exemplo, \(\phi=(-x)\) e \(\psi=(-y)\).
Temos agora \((-x)(-y)\). É tentador dizer que temos \(xy\) de novo,
mas com qual justificativa? Uma seria dizer que \(x\) e \(y\) são
números, ou matrizes, ou outros objetos parecidos, e portanto as
propriedades elementares destes justificam a conclusão. Ou seja, as
expressões são {\em interpretadas\/} e dada a interpretação
podemos {\em provar\/} que \(\phi\psi = xy\). Por outro lado, numa
abordagem mais formal, podemos introduzir algumas regras pelas quais uma
expressão poderia ser transformada numa outra e assim, após um
número finito de aplicações destas regras, \(\phi\psi\) {\em se
transforma\/} em \(xy\). Assim não dizemos o que \(x\) e \(y\) {\em
são\/} mas somente o que pode ser feito com expressões que os
envolvem. 

Digamos que \(\alpha\) e \(\beta\) são quaisquer justaposições
de símbolos, e admitamos as seguintes {\em regras de reescrita\/}: 
\[ -(-\alpha) \mapsto \alpha, \quad 
(\alpha)(-\beta) \mapsto -(\alpha)\beta 
\]
Temos agora a seguinte
seqüência legitima de reescrita: \[(-x)(-y) \mapsto -(-x)y \mapsto
xy.\]

A supersimetria atua em situações intermediárias entre as
interpretadas e as formais, onde certos símbolos tem
interpretação em termos de objetos matemáticos ``usuais'', e
outros não. Isto dá lugar a muita perplexidade em quem aborda o
assunto pela primeira vez, especialmente aos estudiosos de matemática
que tentam entender a literatura física. 

Dado que contemplamos substituições pelas quais \(\phi\psi\) pode
ser ``transformado'' de volta a \(xy\), ou seja, em que \(xy\) é
``invariante'', é tentador dizer que estamos diante de um ``grupo de
invariância''. O contexto porém é muito solto e não há
necessariamente um grupo a vista. Às vezes achamos grupos e às vezes
não. Às vezes achamos algo que tem muitas coisa em comum com grupos
mas que estritamente falando não o são. Supergrupos são exemplos
destes últimos objetos. Supersimetria na sua abordagem formal é
``simetria'' em relação a um ``grupo'' que de fato não o é. É
de fato um tipo de grupo quântico.

Consideremos algumas interpretações de \(xy\). Os símbolos
\(x\) e \(y\) então indicam objetos matemáticos de algum tipo e
portanto \(\phi\) e \(\psi\) devem ser objetos do mesmo tipo. Impomos a
condição \(\phi\psi=xy\). Se o tipo é número então
simplesmente passamos de um par de números a outro par que tem o mesmo
produto. Não há estrutura de grupo evidente nesta situação.
Mesmo sendo possível achar um grupo de transformações \((x,y)
\mapsto (\phi(x,y) , \psi(x,y))\) para o qual \(\phi\psi=xy\), não é
esta a idéia. Não estamos exigindo que \(\phi\) e \(\psi\) {\em
dependam\/} de \(x\) e \(y\), simplesmente que {\em os substituam\/}. A
situação muda um pouco se \(x\) e \(y\) agora são interpretados como
{\em funções\/} definidas no plano \(\l{R}^2\), a saber, as
funções coordenadas. Neste caso \(\phi\) e \(\psi\) são
funções também e temos \(\phi(x,y)\psi(x,y)=xy\). Há muitos
grupos de transformações \((x,y) \mapsto (\phi(x,y),\psi(x,y))\)
que podem ser formados por tais pares de funções. O conjunto de
todas as inversíveis que levam cada conjunto de nível da
função \(xy\) em si mesmo, é o maior grupo deste tipo. Este tem
dimensão infinita. 

Uma situação mais restrita acontece quando interpretamos \(x\) e
\(y\) como elementos geradores do anel polinomial \(\ca{R}
=\l{R}[x,y]\). Um par de  polinômios, \((\phi,\psi)\),
satisfaz \(\phi(x,y)\psi(x,y) = xy\) se e só se tem uma das
seguintes formas:
\[
 (\lambda, \lambda^{-1}xy),\quad (\lambda^{-1}xy, \lambda), \quad
(\lambda x, \lambda^{-1}y),\quad (\lambda y, \lambda^{-1}x)
\]
onde \(\lambda\neq 0\) é real. Ora, já que \(\ca{R}\) é livremente
gerado por \(x\) e \(y\), qualquer substituição \(x \mapsto
\phi(x,y)\) e \(y\mapsto \psi(x,y)\) se estende a um endomorfismo
único \(\ca{R} \to \ca{R}\). Das quatro formas acima somente as duas
últimas geram endomorfismos inversíveis e estes formam um grupo
isomorfo ao grupo pseudo-ortogonal \(\hbox{O}(1,1)\).

Um outro caso, ainda em \(\l{R}[x,y]\), é a expressão \(x^2+y^2\).
Agora \(\phi\) e \(\psi\) são necessariamente polinômios lineares,
\(\phi(x,y) = ax + by\) e \(\psi(x,y) = cx+dy\), tais que a matriz 
\[\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d\end{array}\right) \]
pertence a \(\hbox{O}(2,\l{R})\). Descobrimos o grupo ortogonal em
duas dimensões. 

Uma situação também interessante acontece se \(x\) e \(y\) são
geradores da álgebra exterior \(\Lambda(\l{R}^2)\) onde por \(xy\)
entendemos \(x\wedge y\). Temos \(\phi = a + bx + cy+dxy\) e \(\psi = s
+ tx + uy +vxy\). Do \(\phi\psi=xy\) deduzimos, \(as = 0\), \(at+ bs =
0\), \(au + cs = 0 \), e \(bu- ct +av+ ds = 1\). Entre as soluções
destas equações estão aquelas com \(a=s=d=v=0\) e \(bu- ct=1\).
Estas definem um grupo isomorfo a \(\hbox{SL}(2,\l{R})\), dado pelas
matrizes 
\[ \left(\begin{array}{cc} b & c \\ t & u \end{array}\right) \]
de determinante \(1\). Note que este grupo contem
\(\hbox{SO}(2,\l{R})\), a componente da identidade do grupo
\(\hbox{O}(2.\l{R})\) encontrado no exemplo de \(x^2+y^2\), um fato que
usaremos em exemplos mais adiante, embora seja particular a dimensão
dois.

O caso de álgebras pode ser considerado algo intermediário entre o
interpretado e o formal. Para \(\l{R}[X]\), por exemplo, não
precisamos dizer o que \(X\) {\em é\/}, só que algumas regras, tais
como \(X^n X^m = X^{n+m}\), são válidas. Assim há algo de
``formal''. Os coeficientes \(c_n\) em \(\sum_nc_nX^n\), porém, são
números, e portanto há também algo de ``interpretado''. Uma
lição que podemos tirar destes exemplos é que a medida que
introduzimos elementos ``formais'' nos objetos designados por \(x\) e
\(y\), mais possibilidade temos de perceber alguma estrutura de grupo
presente, mas pelo fato de ``substituição'' não ser exatamente a
mesma coisa que ``transformação'', é possível esperar outras
possibilidades.

No resto deste capítulo, vamos explorar algumas estruturas
algébricas inspiradas por teorias físicas. A título de
conveniência, supomos que todas as álgebras são reais. O caso
complexo em geral é uma fácil adaptação, e a maioria das
considerações valem para corpos gerais de característica
diferente de \(2\). 


A mecânica quântica divide os objetos físicos em bosônicos e
fermiônicos. Este fato é expresso algebricamente por comutação
de operadores no primeiro caso e por anti-comutação no segundo.
Esta diferença é fundamental para toda a teoria.

Lembramos que numa álgebra associativa \(\ca{A}\) dizemos que \(a\)
comuta com \(b\) se o {\em comutador\/} \([a,b]=ab-ba =0\). Dizemos que
\(a\) {\em anti-comuta\/} com \(b\) se o {\em anti-comutador\/}
\(\{a,b\} = ab+ba = 0\). Ora, se \(a\) e \(b\) comutam com \(c\),
então \(ab\) também comuta com \(c\). Porém, se \(a\) e \(b\) {\em
anti-comutam\/} com \(c\), então \(ab\) em geral não anti-comuta com
\(c\) mas {\em comuta\/} com ele. Mais ainda, se \(a\) comuta com \(c\),
e \(b\) anti-comuta com \(c\) (ou vice-versa), então \(ab\)
anti-comuta com \(c\). Se denotamos por \(\ca{C}_0\) a subálgebra de
elementos que comutam com \(c\), e por \(\ca{C}_1\) o {\em
subespaço\/} daqueles que anti-comutam com \(c\), então têm-se
\(\ca{C}_0\ca{C}_0\cup\ca{C}_1\ca{C}_1\subset\ca{C}_0\) e
\(\ca{C}_0\ca{C}_1\cup\ca{C}_1\ca{C}_0\subset\ca{C}_1\), o que nos leva
a introduzir as álgebras graduadas. 


Seja \(S\) um semigrupo. Uma álgebra \(\ca{A}\) é uma álgebra {\em
\(S\)-graduada\/} se existem subespaços vetoriais \(\ca{A}_s \) para
\(s\in S\) tais que \(\ca{A}=\oplus_{s\in S}\ca{A}_s\) e
\(\ca{A}_s\ca{A}_r\subset\ca{A}_{sr}\). Um elemento \(a\in\ca{A}\) é
dito {\em homogêneo\/} de {\em grau\/} \(s\) se \(a\in\ca{A}_s\).
Neste caso denotamos o grau de \(a\) por \(|a|\). No que segue, vamos
introduzir expressões que são válidas somente para elementos
homogêneos, sem chamar atenção para este fato, entendendo que a
presença na expressão do grau de um elemento já indica que ele
deve ser homogêneo. 

Um morfismo entre duas álgebras \(S\)-graduadas \(\ca{A}\) e
\(\ca{B}\) é um morfismo de álgebras \(\phi\) que preserva a
graduação, isto é \(\phi(\ca{A}_s)\subset \ca{B}_s\). 

A supersimetria utiliza álgebras \(\l{Z}_2\)-graduadas, também
conhecidas como {\em superálgebras\/}. Se \(\ca{A}\) é uma
superálgebra então \(\ca{A}_0\) é conhecida como a subálgebra
{\em bosônica\/}, e \(\ca{A}_1\) como o subespaço {\em
fermiônico\/} (o qual não é uma subálgebra). No caso de
dimensão finita vamos indicar em geral uma base de \(\ca{A}_0\) por
\(b_1,\dots,b_n\) e uma base de \(\ca{A}_1\) por \(f_1,\dots,f_m\), e
dizer que \(\ca{A}\) é de {\em tipo \((n,m)\)\/}. 


Seja \(\ca{A}\) uma superálgebra. A aplicação bilinear \(\sslb
\cdot,\cdot\ssrb \) definida por \begin{equation}\label{eq:supcom} \sslb
a,b\ssrb =ab-(-1)^{|a||b|}ba \end{equation} chama-se o {\em
supercomutador\/}, ou o {\em supercolchete\/}. Note que para dois
elementos fermiônicos o supercomutador é o anti-comutador e que para
todas as demais combinações de elementos homogêneos é o
comutador. Para elementos não homogêneos o supercomutador é bem
definido usando a bilinearidade. Nas definições daqui em diante,
tais extensões além dos elementos homogêneos, quando pertinente,
serão sempre subentendidas. 

O supercolchete combina propriedades do comutador e do anti-comutador de
uma maneira sistemática. Na literatura física vê-se
freqüentemente a expressão muito feia, \([a,b\}\), com o colchete a
esquerda e a chave a direita, para denotar o supercomutador.

As propriedades do supercomutador assemelham-se às propriedades do
colchete de Lie, porém, com algumas mudanças de sinal. Em primeiro
lugar, tem-se a relação de simetria graduada 
\begin{equation}\label{eq:sups}
\sslb a,b\ssrb = (-1)^{|a||b|}\sslb b,a\ssrb 
\end{equation} 
o que poderíamos estar tentados a chamar de ``supersimetria'' mas esta
palavra já tem outro sentido. Seja \(\ca{A}\) agora associativa. É
fácil mostrar o análogo da identidade de Jacobi: 
\begin{equation}\label{eq:supjacob}
\sslb a,\sslb b,c\ssrb \ssrb + (-1)^{|a|(|b|+|c|)}\sslb b,\sslb c,a\ssrb
\ssrb + (-1)^{|c|(|a|+|b|)}\sslb c,\sslb a,b\ssrb \ssrb =0
\end{equation}
e o análogo da propriedade de derivação:
\begin{equation}\label{eq:sder}
 \sslb a,bc\ssrb = \sslb a,b\ssrb c+(-1)^{|a||b|}b\sslb a,c\ssrb 
\end{equation}
 
O expoente de \(-1\) nos vários termos de (\ref{eq:sups}),
(\ref{eq:supjacob}), e (\ref{eq:sder}) pode ser descrito como o
número de permutações de posições de elementos
fermiônicos necessários para permutar os símbolos do termo mais
a esquerda para se ter a ordem no termo em questão. Esta regra
determina o sinal na maioria dos casos de expressões em
superálgebras. Com cada troca de elementos fermiônicos há uma
mudança de sinal. 

É possível reescrever (\ref{eq:supjacob}) numa maneira mais
simétrica como 
\begin{equation}\label{eq:supjacobs}
(-1)^{|a||c|}\sslb a,\sslb b,c\ssrb \ssrb  + (-1)^{|a||b|}\sslb b,\sslb 
c,a\ssrb \ssrb  + (-1)^{|c||b|}\sslb c,\sslb a,b\ssrb \ssrb  =0
\end{equation}
que é a maneira usual, embora nesta forma a razão para os sinais
não seja tão aparente.

É notável que o anti-comutador \(\{\cdot,\cdot\}\) por si só,
não satisfaça nenhuma identidade parecida com a de Jacobi. 


Algumas álgebras familiares já são superálgebras de forma
natural. A álgebra polinomial real \(\l{R}[X]\) da variável \(X\)
é naturalmente \(\l{R}[X^2]\oplus X\l{R}[X^2]\). Outros dois exemplos
são a álgebra exterior \(\Lambda(\l{V})\) de um espaço vetorial
\(\l{V}\) e a álgebra de Clifford \(\ca{C}\ell(\l{V},\beta)\) de um
espaço vetorial \(\l{V}\) com uma forma bilinear simétrica
não-degenerada \(\beta\). A subálgebra bosônica consiste de somas
de produtos (exterior ou de Clifford, conforme o caso) de um número
par de elementos de \(\l{V}\), e o subespaço fermiônico de somas
de produtos de um número ímpar. Note que a álgebra {\em
comutativa\/} \(\l{R}[X]\) {\em não é supercomutativa\/}, já que
\(\sslb X,X\ssrb = 2X^2 \neq 0\) enquanto a álgebra {\em
supercomutativa\/} \(\Lambda(\l{V})\) {\em não é comutativa\/} já
que para \(v,w\in\l{V}\) tem-se \(v\wedge w = - w \wedge v\). 

No mundo de objetos \(\l{Z}_2\)-graduados o análogo correto de
comutatividade é a supercomutatividade. Álgebras comutativas no
sentido usual devem ser consideradas como essencialmente não
comutativas neste contexto. 

Uma {\em superálgebra de Lie \/} é uma álgebra
\(\l{Z}_2\)-graduada \(\ca{A}\) cujo produto, denotado por \(\sslb
\cdot,\cdot\ssrb\), satisfaz as propriedades (\ref{eq:sups}) e
(\ref{eq:supjacobs}) acima. Qualquer superálgebra associativa é uma
superálgebra de Lie com o produto sendo o supercomutador. Uma
representação de uma superálgebra de Lie \(\ca{A}\) é uma
aplicação linear \(\phi:\ca{A}\to\ca{B}\) para uma superálgebra
associativa \(\ca{B}\), preservando a graduação, tal que
\begin{equation}\label{eq:suplierep}
\phi(\sslb a,b\ssrb)=\sslb\phi(a),\phi(b)\ssrb=
\phi(a)\phi(b)-(-1)^{|a||b|}\phi(b)\phi(a)
\end{equation}

Vários teoremas usuais sobre álgebras de Lie têm análogos muito
parecidos para superálgebras de Lie. Assim, superálgebras de Lie
podem ser representadas universalmente numa superálgebra associativa
envolvente. Seja \(\ca{A}\) uma superálgebra de Lie e seja
\(\tilde\ca{A}\) a álgebra tensorial plena do {\em espaço
vetorial\/} \(\ca{A}\). Tem-se
\[
\tilde\ca{A}=\bigoplus_{n=0}^\infty\bigoplus_{\alpha_1,\dots,\alpha_n}
\ca{A}_{\alpha_1}\otimes\cdots\otimes\ca{A}_{\alpha_n}
\] 
onde \(\alpha_i\in\{0,1\}\). Defina \(\tilde\ca{A}_0\) como a soma
direta de termos
\(\ca{A}_{\alpha_1}\otimes\cdots\otimes\ca{A}_{\alpha_n}\) onde
\(\alpha_i=1\) para um número par de índices e \(\tilde\ca{A}_1\)
a soma direta onde \(\alpha_i=1\) para um número ímpar de
índices. Seja \(\sslb\cdot,\cdot\ssrb^\otimes\) o supercomutador em
\(\tilde\ca{A}\) e considere o ideal bilateral 
\(\ca{I}\) gerado pelos elementos
\(\sslb a,b\ssrb - \sslb a,b \ssrb^\otimes\) para todos os
elementos \(a,b\in \ca{A}\). Defina a {\em superálgebra universal
envolvente\/} \(\ca{U}(\ca{A})\) de \(\ca{A}\) como o quociente
\(\tilde\ca{A} / \ca{I}\). Não é difícil mostrar, imitando a
demonstração no caso de álgebra de Lie usual, que a
aplicação canônica \(\ca{A}\to \ca{U}(\ca{A})\) é uma
representação, e que qualquer representação fatora de uma
maneira única através desta aplicação canônica.

Vale também o análogo do teorema de Birkoff-Witt. Seja \(\ca{A}\) de
tipo \((n,m)\), então uma base para \(\ca{U}(\ca{A})\) é dado por
produtos de forma \(b_1^{k_1}\cdots b_n^{k_n}f_1^{\ell_1}\cdots
f_m^{\ell_m}\) onde \(k_i \geq 0\) são inteiros e
\(\ell_i\in\{0,1\}\). O caso de todos os \(k_i\) e \(\ell_j\)
iguais a zero corresponde ao elemento unidade.


Como um exemplo considere a superálgebra de Lie com \(\ca{A}_0=\{0\}\)
e \(\ca{A}_1\) sendo um espaço vetorial qualquer. Neste caso \(\sslb
a,b \ssrb = 0\) para qualquer par de elementos, e o ideal \(\ca{I}\) é
gerado por todos os produtos tensoriais \(a\otimes b + b \otimes a\)
para todos os \(a,b \in \ca{A}_1\). Disso vê-se que \(\ca{U}(\ca{A})\)
é \(\Lambda(\ca{A}_1)\), a álgebra exterior de \(\ca{A}_1\). Como
outro exemplo ilustrativo seja \(\ca{A}\) de tipo \((n,m)\). Assuma que
\(\ca{A}_0\) seja uma álgebra de Lie {\em abeliana\/} e que \(\sslb
b_i,f_j \ssrb=0\). Temos \(\sslb f_i,f_j \ssrb = \sum_k c_{ijk}b_k\).
Vemos de (\ref{eq:supcom}) que \(c_{ijk}=c_{jik}\), mas
(\ref{eq:supjacob}) não impõe mais nenhuma relação. Considere
o caso particular de \(n=1\), \(m=2\) com \(\sslb f_1,f_1\ssrb = 2\alpha
b\), \(\sslb f_1, f_2 \ssrb = \sslb f_2, f_1 \ssrb = \beta b\), e
\(\sslb f_2,f_2 \ssrb =2\gamma b\). Em \(\ca{U}(\ca{A})\) há
relações \(f_1^2=\alpha b\), \(f_1f_2 + f_2f_1 = \beta b\), e
\(f_2^2 =\gamma b\). É fácil ver que como espaço vetorial tem-se
\(\ca{U}(\ca{A}) = \l{R}[b] \oplus\l{R}[b]f_1 \oplus\l{R}[b]f_2 \oplus
\l{R}[b]f_1f_2\). 

É instrutivo considerar a álgebra de Lie \(\ca{L}(\ca{A})\subset
\ca{U}(\ca{A})\) gerada por \(\ca{A}\) contida em \(\ca{U}(\ca{A})\).
Suponha \(\alpha=1\) e \(\beta=\gamma=0\). Vamos demonstrar que
\(\ca{L}(\ca{A})\) contém todos os monômios de forma \(b^k f_1\)
para \(k\) natural.


Primeiro, \([f_1, f_2] = 2f_1f_2\), e portanto \(f_1f_2 \in
\ca{L}(\ca{A})\). Note que \(b\) comuta com tudo. Suponha, por
indução em \(n\), que \(b^nf_2 \) e \(b^nf_1f_2\) pertencem a
\(\ca{L}(\ca{A})\). A hipótese é verdadeira para \(n=0\). De
\([f_1,f_1f_2]= 2bf_2\) tem-se \([f_1, b^n f_1f_2]=2b^{n+1}f_2\) e assim
\(b^{n+1}f_2\in\ca{L}(\ca{A})\). Também \([f_1, b^{n+1}f_2] =
2b^{n+1}f_1f_2\) e portanto \(b^{n+1}f_1f_2\in\ca{L}(\ca{A})\), o que
completa a demonstração. 


O ponto essencial deste resultado é que \(\ca{L}(\ca{A})\) {\em tem
dimensão infinita\/}. Assim uma {\em superálgebra\/} de Lie
\(\ca{A}\) de dimensão {\em finita\/} foi usada para codificar uma
{\em álgebra\/} de Lie \(\ca{L}(\ca{A})\) usual de dimensão {\em
infinita}.

Interessa à física as simetrias da matriz de espalhamento \(S\).
Este é um operador unitário no espaço de Hilbert dos estados
físicos que descreve os detalhes de processos elementares. Existem
duas noções de simetria, (1) um operador
unitário\footnote{Estritamente falando, pode haver o caso de um
operador anti-unitário, mas consideremos somente o caso unitário.}
\(U\) tal que \(USU^*=S\), e (2) um operador auto-adjunto \(K\) tal que
\([K,S]=0\). No segundo caso, sob condições adequadas, o grupo
unitário \(U(\tau)=\exp(i\tau K)\) para \(\tau\in\l{R} \), fornecido
pelo teorema espectral, satisfaz \(U(\tau)SU(\tau)^*=S\), e portanto é
um grupo de de simetrias unitárias. Um tal operador \(K\) é
conhecido como {\em simetria infinitesimal\/}. Formalmente, se \(K\) e
\(L\) são simetrias infinitesimais, então pela identidade de Jacobi
temos \([[K,L],S]=0\). Assim, ainda formalmente, as simetrias
infinitesimais, multiplicados pelo número imaginário \(i\), formam
uma álgebra de Lie. Na teoria relativista do campo quântico, a
álgebra de Lie de simetrias infinitesimais contém, como
subálgebras, uma imagem isomorfa à álgebra de Lie do grupo de
Poincaré (gerado por translações no espaço-tempo e
transformações de Lorentz) e uma álgebra de Lie de dimensão
finita de {\em simetrias internas\/} que relaciona propriedades de
espécies diferentes de partículas (por exemplo prótons e
nêutrons). Esforços iniciais de combinar de uma maneira não
trivial as simetrias do espaço-tempo e as simetrias internas, o que
daria uma teoria com poder de previsão maior, encontrou um obstáculo
no famoso ``no-go theorem'' de Coleman e Mandula ({\bf [CM]}).
% \cite{comu}
Este afirma
que na teoria relativista de campo quântico, qualquer álgebra de Lie
de dimensão finita de simetrias infinitesimais que estende a simetria
de Poincaré, é necessariamente uma {\em soma direta \/} (e portanto
uma combinação trivial) da álgebra de Poincaré com a álgebra
de simetrias internas. A supersimetria evita este teorema postulando uma
{\em superálgebra \/} de Lie de dimensão finita de simetrias
infinitesimais, a qual, como vimos no exemplo anterior, é capaz de
gerar uma álgebra de Lie de dimensão infinita e portanto foge das
hipótese do teorema de Coleman-Mandula. 

Retornando ao contexto físico em discussão, uma álgebra de
Lie de dimensão finita de simetrias infinitesimais, pode ser, em
princípio, exponenciada a uma representação unitária do
grupo de Lie correspondente, formando assim um grupo de simetrias
unitárias. Se porém temos uma {\em superálgebra\/} de Lie de
simetrias infinitesimais, uma exponenciação, em princípio,
nos levaria a elementos de um problemático grupo de Lie
de dimensão infinita. Seria genial se
tivermos um processo análogo ao de exponenciação que resultaria num
objeto que codificaria o suposto grupo de Lie de dimensão infinita de
maneira parecida com a codificação de álgebras de Lie de
dimensão infinita por superálgebras de Lie de dimensão finita.
Isto nos leva a considerar {\em supergrupos\/}.


Um {\em espaço vetorial \(\l{Z}_2\)-graduado\/} é um espaço
vetorial \(\l{V}\) junto com uma decomposição numa soma direta de
dois subespaços \(\l{V}=\l{V}_0\oplus\l{V}_1\). A álgebra
\(\hbox{End}(\l{V})\) tem agora uma \(\l{Z}_2\)-graduação natural.
Temos \(L\in\hbox{End}_i(\l{V})\) se \(L(\l{V}_j)\subset \l{V}_{i+j}\).
Em termos de matrizes em blocos temos 
\begin{equation}\label{eq:supend}
L=\left(\begin{array}{cc} L_{00} & L_{01} \\ L_{10} & 
L_{11}\end{array}\right) = 
\left(\begin{array}{cc} L_{00} & 0 \\ 0 & L_{11}\end{array}\right)
\oplus
\left(\begin{array}{cc} 0 & L_{01} \\ L_{10} & 0\end{array}\right)
\end{equation} 
onde o primeiro termo é a parte bosônica e o segundo a fermiônica. 

Um dos subespaços \(\l{V}_i\) é usualmente considerado como
bosônico e o outro como fermiônico, embora a definição não
faça distinção entre os dois. A \(\l{Z}_2\)-graduação de
\(\hbox{End}(\l{V})\) não depende de qual dos subespaços é
identificado como bosônico. Uma tal identificação, quando é
feita, tem que ser baseada em considerações adicionais.



Seja \(\ca{A}\) uma superálgebra de Lie e \(\l{V}\) um espaço
vetorial \(\l{Z}_2\)-graduado. Por uma {\em representação\/} de
\(\ca{A}\) em \(\l{V}\) entendemos uma representação em
\(\hbox{End}(\l{V})\) como definida anteriormente. 



Sejam \(\ca{A}\) uma superálgebra de Lie, \(\ca{B}\) uma
superálgebra associativa de dimensão finita e
\(\lambda:\ca{A}\to\ca{B}\) uma representação. Temos as
exponenciais \(\exp(\lambda(a))\in\ca{B}\), mas em geral não podemos
compô-las: \(\exp(\lambda(a))\exp(\lambda(b))\) em geral não é
da forma \(\exp(\lambda(c))\) para algum \(c\in \ca{A}\), nem para o
caso de \(a\) e \(b\) serem restritos a uma vizinhança
suficientemente pequena de zero, como seria o caso de álgebras de
Lie usuais. 


Para apreciar  este fato considere a formula de Baker-Campbell-Hausdorff:
\begin{equation}\label{eq:bch}
\exp(A)\exp(B) = \exp(C) = \exp\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n!} 
C_n\right)
\end{equation}
onde cada \(C_n\) é uma combinação linear de comutadores
aninhados \(n-1\)-vezes de \(A\) e \(B\). Até ordem três
\[C=A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}[A,[A,B]]+\frac{1}{12}[B,[B,A]]) + 
\cdots\]
Esta formula obviamente é formal, mas em contextos adequados a série
formal converge e \(C\) existe no mesmo sentido que \(A\) e \(B\)
existem. Em particular, suponha que \(A=\sum_i x_i X_i\) e \(B=\sum_iy_i
X_i\) onde os \(X_i\) formam uma base de uma álgebra de Lie de
dimensão finita. Cada \(C_n\) então é da forma \(C_n=\sum_i
p^{(n)}_i(x,y)X_i\) onde os \(p^{(n)}_i(x,y)\) são polinômios
homogêneos de grau \(n\) em \(x_i\) e \(y_i\). Assim podemos escrever 
\[
\exp\left(\sum_i x_i 
X_i\right)\exp\left(\sum_i y_i X_i\right)=
\exp\left(\sum_i z_i X_i\right)
\]
onde cada \(z_i\) é uma serie formal de potências em \(x\) e \(y\).
Para eslementos suficientemente próximos de zero, as séries convergem e a
aplicação \((x,y)\mapsto z\) é a lei de produto, perto da
unidade, de um grupo de Lie cuja álgebra de Lie é a dada. Este
procedimento para criar um grupo de Lie (ou pelo menos um grupo de Lie
formal ({\bf [Bo]})
% \cite{bochner})
não procede se os \(X_i\) formam uma base de uma
superálgebra de Lie pois a formula de Baker-Campbell-Hausdorff
envolve colchetes de Lie e não supercolchetes. Sejam agora \(\ca{A}\)
uma superálgebra de Lie de tipo \((n,m)\), \(A=\sum_i x_i b_i + \sum_j
\theta_if_i\), e \(B=\sum_i y_i b_i + \sum_j \eta_if_i\). Uma
aplicação direta da formula de Baker-Campbell-Hausdorff não nos
permite escrever \(C=\sum_i z_i b_i + \sum_j \zeta_if_i\), nem
formalmente, se os coeficientes \(x\), \(y\), \(\theta\) e \(\eta\)
são números reais. Mas se assumirmos que eles também vêm de uma
superálgebra, isto torna-se possível, pelo menos formalmente. O
problema claro é que o comutador formal \([\theta_if_i,\theta_jf_j]\)
não pode ser interpretado como o \(\sslb
\theta_if_i,\theta_jf_j\ssrb\) se os \(\theta\) são reais, pois para
elementos fermiônicos o supercolchete se comporta como {\em
anti-comutador\/}. Não obstante, se os \(\theta\) são elementos
fermiônicos de uma superálgebra então uma tal interpretação
é possível. 


Sejam \(\ca{A}\) e \(\ca{B}\) duas superálgebras. Definimos o produto
tensorial {\em \(\l{Z}_2\)-graduado\/} \(\ca{A}\hat\otimes\ca{B}\). Como
espaço vetorial, \(\ca{A}\hat\otimes\ca{B}\) é o produto tensorial
\(\ca{A}\otimes\ca{B}\) usual. A multiplicação, porém, é
definida por
 \[(a\otimes 
b)(c\otimes d)=(-1)^{|b||c|}ac\otimes bd
\]
A \(\l{Z}_2\)-graduação é dada por \((\ca{A}\hat\otimes\ca{B})_0
= (\ca{A}_0\otimes\ca{B}_0)\oplus(\ca{A}_1\otimes\ca{B}_1)\) e \((\ca{A}
\hat\otimes\ca{B})_1 =
(\ca{A}_1\otimes\ca{B}_0)\oplus(\ca{A}_1\otimes\ca{B}_0)\). 


Suponha agora \(\ca{A}\) e \(\ca{B}\) associativo. Uma conta fácil
demonstra
\begin{equation}\label{eq:tencom}
\sslb a\otimes b, c\otimes d \ssrb = (-1)^{|b||c|}\left((-1)^{|a||c|} 
ca\otimes\sslb b,d \ssrb+\sslb a,c \ssrb \otimes bd \right)
\end{equation}


Consideremos agora que \(b\) e \(d\) são ``elementos'' com propriedades
fixas {\it a-priori\/} e que \(a\) e \(c\) são ``coeficientes'' cujas
propriedades podemos escolher à vontade. Se estamos interessados nas
propriedades dos ``elementos'' em relação ao supercolchete, então
o lado direito tem o supercolchete conveniente \(\sslb b, d \ssrb\) mas
também o produto incômodo \(bd\). Porém, se assumirmos que \(\ca{A}\)
é {\em supercomutativo\/}, então \(\sslb a,c \ssrb = 0\) e temos 
\begin{equation}\label{eq:goodtencom}
\sslb a\otimes b, c\otimes d \ssrb = (-1)^{|b||c|} ac\otimes\sslb b,d \ssrb
\end{equation}

Baseado nestas considerações, é de fato fácil provar que se
\(\ca{A}\) é uma superálgebra supercomutativa e \(\ca{L}\) é uma
superálgebra de Lie, então \(\ca{A}\hat\otimes\ca{L}\) é uma
superálgebra de Lie se definirmos o supercolchete por
(\ref{eq:goodtencom}). Note que a subálgebra bosônica, que é uma
álgebra de Lie usual, corresponde a \(|a|=|b|\) e \(|c|=|d|\), e assim
tanto a parte bosônica quanto a fermiônica de \(\ca{L}\), isto é a
{\em superálgebra\/} de Lie inteira, é codificada na álgebra de
Lie usual \((\ca{A}\hat\otimes\ca{L})_0\). Isto nos permite usar a formula
de Baker-Campbell-Hausdorff para tratar superálgebras de Lie.

Ao introduzir superálgebras, descobrimos que para explorar as suas
propriedades somos forçados a estender a idéia de
\(\l{Z}_2\)-graduação a quase todos os outros objetos
matemáticos em volta. Assim entramos no mundo da ``supermatemática'',
com superespaços, supervariedades, etc. O prefixo ``super'', que soa
tão pomposo, significa simplesmente ``estendido para objetos 
\(\l{Z}_2\)-graduados''. Vem junto a idéia de que os elementos
``fermiônicos'' de qualquer um destes objetos anticomutam, e que as
noções, e definições da matemática costumeira devem ser
modificados pela introdução de um sinal negativo cada vez que uma
permuta de dois elementos fermiônicos aparece nas fórmulas usuais.
Assim comutador vira anticomutador para elementos fermiônicos, a
identidade de Jacobi vira a identidade (\ref{eq:supjacob}) e assim por
diante. 


Interprete agora a soma \(A=\sum_i x_i b_i + \sum_j \theta_jf_j\) como
\(A=\sum _i x_i\otimes b_i + \sum_j \theta_j\otimes f_j\) onde os
\(x_i\) e \(\theta_j\) são bases para o subespaço bosônico e
fermiônico respectivamente de uma superálgebra associativa
supercomutativa que denotaremos por \(\ca{R}^{[n|m]}\). 

Podemos agora interpretar \(A\) como um elemento de
\(\ca{R}^{[n|m]}\hat\otimes\ca{A}\). Do mesmo jeito \(B=\sum_i y_i b_i +
\sum_j \eta_if_j\) pode ser reescrito como \(B=\sum_ i y_i\otimes b_i +
\sum_j \eta_j\otimes f_j\) e interpretado também como elemento de
\(\ca{R}^{[n|m]}\hat\otimes\ca{A}\). Infelizmente se precisamos
trabalhar com \(A\) e \(B\) ao mesmo tempo, não podemos considerar os
dois como elementos de \(\ca{R}^{[n|m]}\hat\otimes\ca{A}\). Podemos
porém considerar todos os coeficientes como elementos de
\(\ca{R}^{[2n|2m]}\) e assim tanto \(A\) quanto \(B\) como elementos de
\(\ca{R}^{[2n|2m]}\hat\otimes\ca{A}\).

Aplicando agora a formula de Baker-Campbell-Hausdorff a \(e^Ae^B\) e
usando (\ref{eq:goodtencom}), vemos que podemos escrever \(e^Ae^B=e^C\)
onde \(C=\sum_i z_i\otimes b_i + \sum_j \zeta_j\otimes f_j\) e os
coeficientes \(z_i\) e \(\zeta_j\) são séries formais de potências
em \(x_i\), \(y_i\), \(\theta_j\) e \(\eta_j\). Tais séries formais
podem ser um pouco simplificadas. Devido à natureza anticomutativa dos
elementos fermiônicos de \(\ca{R}^{[2n|2m]}\), qualquer produto destes
com mais que \(2m\) elementos é zero e qualquer outro produto é
igual a um da forma
\(\theta_1^{\mu_1}\theta_2^{\mu_2}\cdots\theta_m^{\mu_m}
\eta_1^{\nu_1}\eta_2^{\nu_2} \cdots\eta_m^{\nu_m}\) onde
\(\mu_i,\,\nu_j\in\{0,1\}\). Escreva este produto como \(\theta
^\mu\eta^\nu\). Temos então \(z_i =
\sum_{\mu\nu}z_{i{\mu\nu}}\theta^\mu\eta^\nu\) e \(\zeta_j =
\sum_{\mu\nu}\zeta_{j{\mu\nu}}\theta^\mu\eta^\nu\) onde cada
\(z_{i{\mu\nu}}\) e \(\zeta_{j{\mu\nu}}\) é uma série formal de
potências agora somente nos \(x_i\) e \(y_i\).

Neste ponto podemos adotar uma de duas atitudes. A primeira (que pode
ser chamada de ``híbrida'') é considerar os \(x_i\) e \(y_i\) como
variáveis reais, do mesmo jeito que acontece no caso de álgebra de
Lie. Neste caso as séries formais convergem para \(|x_i|\) e \(|y_j|\)
suficientemente pequenos. Temos então uma coisa parecida com uma lei
de produto de um grupo de Lie local: de fato, os \(z_{i00}\) definem
precisamente uma tal lei. Isto pode ser elaborado para definir um
{\em supergrupo\/} de Lie como sendo um grupo de Lie cuja álgebra de
Lie é precisamente a subálgebra bosônica \(\ca{L}_0\) e que possui
estrutura adicional para levar em conta o subespaço fermiônico
\(\ca{L}_1\). A outra atitude é continuar considerando os \(x_i\) e
\(y_i\) como elementos bosônicos de uma superálgebra supercomutativa
e considerar que o processo de exponenciação gera um {\em
supergrupo de Lie formal\/} análogo a um grupo de Lie formal.

Não vamos explorar em profundidade nenhuma destas atitudes. A
híbrida é que prevalece na literatura física e portanto
vamos adotá-la no restante deste capítulo. Apresentamos agora
alguma nomenclatura e algumas convenções da literatura
física. Dada a álgebra \(\ca{R}^{[n|m]}\), o {\em
subespaço\/} \(\l{R}^{[n|m]}\) gerado por \(x_1,\dots,x_n\) e
\(\theta_1,\dots,\theta_m\) é conhecido como {\em superespaço\/}.
Os \(x_i\) e os \(\theta_j\) são conhecidos como {\em coordenadas\/}
do superespaço. Já que um elemento geral da álgebra tem a forma
\(F = \sum_\mu f_\mu\theta^\mu\) onde os \(f_\mu\) são polinômios em
\(x_1,\dots,x_n\), dizemos mais geralmente que \(F(x,\theta)\) é uma
{\em superfunção\/}, ou uma {\em função no
superespaço\/} se é da forma \(F(x,\theta) =\sum_\mu
f_\mu(x)\theta^\mu\) onde os \(f_\mu\) são agora simplesmente
funções reais de \(x\) e não mais restritos a ser polinômios.
Uma superfunção então é simplesmente uma coleção de
funções reais. O conjunto de superfunções obviamente forma
uma nova álgebra que estende \(\ca{R}^{[n|m]}\). A derivada parcial de
\(F\) em relação a \(x_i\) é definida da maneira natural,
\begin{equation}
 \frac{\partial F}{\partial x_i} = 
\sum_\mu \frac{\partial f_\mu}{\partial x_i}\theta^\mu,
\end{equation}
mas a derivada parcial em
relação a \(\theta_j\) é mais sutil. Dada uma superálgebra
\(\ca{A}\) dizemos que uma aplicação linear
\(\delta:\ca{A}\to\ca{A}\) é uma {\em derivação fermiônica\/}
se satisfaz a regra de Leibnitz modificada \(\delta(ab) = (\delta a)b +
(-1)^{|a|}a(\delta b)\).  Um exemplo é \(\delta(a) = \sslb f,a \ssrb\) 
com \(f\) fermiônico. Seja agora
\(\delta_j\) a derivação fermiônica em \(\ca{R}^{[n|m]}\)
definida pelas formulas \(\delta_jx_i=0\), \(\delta_j\theta_j=1\), e
\(\delta_j\theta_k=0\) para \(k\neq j\), e estendida a elementos gerais
pela regra de Leibnitz. Defina agora 
\begin{equation} \frac{\partial F}{\partial \theta_j} = 
\sum _\mu f_\mu\delta_j\theta^\mu 
\end{equation}
Assim temos, por exemplo, 
\[ 
\frac{\partial}{\partial
\theta_1}\theta_1\theta_2=\theta_2, \quad \frac{\partial}{\partial
\theta_2}\theta_1\theta_2=-\theta_1 
\]
 
Quanto à integração, a integral em relação a \(x_i\) é a
usual de Lebesgue 
\[\int_{\l{R}}F(x,\theta)\,dx_i = 
\sum_\mu\left(\int_{\l{R}}f_\mu(x)\,dx_i\right)\theta^\mu\]
mas em relação a \(\theta_j\) é definida como sendo igual à
derivada em relação à mesma variável, 
\[\int F(x,\theta)\,d\theta_j = 
\frac{\partial}{\partial \theta_j}F(x,\theta).\]
Em particular temos, para uma variável fermiônica \(\theta\), 
\[\int \theta\, d\theta = 1, \quad \int d\theta = 0.\]

Esta regra, em analogia com a integral de Lebesgue, é adotada para fazer
a integral invariante em relação a translação por qualquer elemento fermiônico
\(\eta\) que anticomute com todos os \(\theta_k\). 
\[\int F(x,\dots,\theta_j+\eta,\dots)\,d\theta_j= 
\int F(x,\dots,\theta_j,\dots)\,d\theta_j\]
Apesar da estranheza da integral ser igual a derivada, este é o
análogo correto para a integral em relação a uma variável
fermiônica. 

Com isto a integral de \(F(x,\theta)\) sobre o superespaço fica 
bem definido
\[\int\cdots\int F(x,\theta)\,dx_1dx_2\cdots dx_nd\theta_1d\theta_2\cdots
d\theta_m
= \int\cdots\int f_{1\cdots 1}(x)\,dx_1dx_2\cdots dx_n\]
onde \(f_{1\cdots 1}\) é o coeficiente de \(\theta_1\theta_2\cdots
\theta_m\) em \(F\). 


Finalmente é necessário interpretar o que significaria a
``composição'' 
\[F(X_1(x,\theta),\dots,X_n(x,\theta),
\Theta_1(x,\theta),\dots,\Theta_m(x,\theta))\]
onde os \(X_i\) e \(\Theta_j\) são também superfunções. 
Se \(F(x,\theta) = \sum_\mu f_\mu \theta^\mu\) então pelo menos 
\(\Theta_1^{\mu_1}\cdots \Theta_m^{\mu_m}\) é bem definida sendo
simplesmente o produto destas superfunções. Precisamos então
interpretar \(f_\mu(X_1(x,\theta),\dots,X_n(x,\theta))\). Temos
\[X_i(x,\theta) = \xi_i(x) + \zeta_i(x,\theta)\] 
onde \(\xi_i\) é o coeficiente
da unidade e \(\zeta_i\) é nilpotente, \(\zeta_i^m=0\). Formalmente,
a expansão na série de Taylor  em torno de (\(\xi_1,\dots,\xi_n)\)
só tem um número finito de termos, e portanto
definimos para  uma função \(f(x)\) de classe \(\ca{C}^m\)
\begin{equation}\label{eq:sub}
f(X(x,\theta))= \sum_\alpha 
\frac{\partial^{\alpha_1+\cdots+\alpha_n}f}{\partial x_1^{\alpha_1}
\cdots \partial x_n^{\alpha_n}}(\xi(x))
 (\zeta_1)^{\alpha_1}\cdots (\zeta_n)^{\alpha_n}
\end{equation}
onde  a soma é sobre os
multi-índices \(\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) com 
\(\alpha_1+\cdots+\alpha_n \leq m\). 

 


Passamos agora a considerar certos exemplos simples. 
Seja \(\ca{L}\) de tipo \((1,1)\). Suponha que o único
supercolchete não zero entre os geradores seja \(\sslb f,f\ssrb = 2b\). 
Agora é fácil calcular pela formula de Baker-Campbell-Hausdorff que 
\begin{equation}\label{eq:exsg}
\exp(xb+\theta f)
\exp(yb+\eta f_1)=
\exp((x+y-\theta\eta)b +
(\theta+\eta)f)
\end{equation}

É fácil encarar isto ingenuamente como definindo um ``produto de grupo''
\begin{equation}\label{eq:naiveprod2}
(x,\theta)\cdot(y,\eta) = (x+y-
\theta\eta,\theta+\eta)
\end{equation}

Vamos denotar este {\em supergrupo\/} por \(\l{G}\). 
Servirá como exemplo para o resto deste capítulo. 

O produto ingênuo (\ref{eq:naiveprod2}) deixa muito a desejar. 
A medida que
``multiplicamos'' cada vez mais elementos, precisamos introduzir uma
superálgebra \(\ca{R}^{[k|k]}\) cada vez maior para expressar um
número cada vez maior de ``valores de parâmetros''. Em geral, nenhum
número finito de variáveis pode dar conta da estrutura algébrica
de um supergrupo nesta visão ingênua,
pois, como já vimos, a álgebra de Lie em \(\ca{U}(\ca{L})\) gerado por
\(\ca{L}\) tem  dimensão infinita em geral, e assim, qualquer
``produto de grupo'' de dimensão finito é incapaz de capturar o
conteúdo matemático de um supergrupo. Interpretando \(x\)
e \(y\) como números reais não ajuda pois as variáveis
fermiônicas não podem ser interpretados desta maneira e assim somas
como \(x+y-\theta\eta\) não teriam nenhuma interpretação clara. 


A literatura física de modo geral simplesmente ignora estes fatos,
pois as regras para fazer cálculos com superalgebras são de qualquer
maneira bastante claras e eficazes. Uma abordagem um pouco mais
sistemática é apresentada em ({\bf [DeW]})
% \cite{dewitt}
onde, em primeiro lugar,
introduz-se um estoque infinito de variáveis fermiônicas
\(\zeta_1,\zeta_2,\dots\) e, em segundo lugar, a noção de
número complexo é estendida a tais chamados {\em supernúmeros\/}
que são somas \(z= z_b+z_s\) onde \(z_b\in \l{C}\) e \(z_s\) é uma
série formal com coeficientes complexos de produtos finitos dos
\(\zeta_i\). Num gesto poético, \(z_b\) é chamado o ``corpo'' de
\(z\) e \(z_s\) a ``alma''. 
Embora isto produza um cálculo formal bem definido,  deixa muito a 
desejar quanto a matemática.

Felizmente todas as dificuldades podem ser facilmente resolvidas se
interpretamos supegrupos em termos de álgebras de Hopf. Deste ponto de
vista se grupos clássicos são álgebras de Hopf comutativas,
então supergrupos são superálgebras de Hopf supercomutativas. A
álgebra universal envolvente de uma álgebra de Lie é, de uma forma
natural, uma álgebra de Hopf cocomutativa na qual o processo de
exponenciação para o grupo de Lie formal correspondente é
simplesmente a passagem para o dual, que é uma álgebra de Hopf
comutativa. O caso de superálgebras de Lie está em perfeita
analogia com isto. Não vamos porém desenvolver aqui esta teoria.
Veja ({\bf [Ko]})
% \cite{konstant}
para um tratamento da ``supermatemática'' em 
termos de superálgebras de Hopf. 


Agora que chegamos a um entendimento elementar de supergrupos, estamos
prontos para abordar o conceito de supersimetria. Primeiro devemos entender
o que seria uma ação de um supergrupo. Adotando a idéia de que
todos os objetos devem ser entendidos como ``superobjetos'', isto é, a
abordagem inteira deve ser em termos de \(\l{Z}_2\)-graduação, o
objeto mais simples sobre o qual um supergrupo poderia agir parece ser
o superespaço \(\l{R}^{[n|m]}\). Na literatura física o
superespaço é descrito como um ``espaço no qual, além de um
conjunto de coordenadas comutativas usuais \(x_1,\dots,x_n\), há também
um conjunto de coordenadas anti-comutativas \(\theta_1,\dots,\theta_m\)''.
Nas teorias físicas os \(x_1,\dots,x_n\) são considerados
coordenadas de um ponto no espaço-tempo e portanto o superespaço
é visto como uma extensão do espaço tempo. Não vamos tentar
aqui dar qualquer sentido a esta idéia além de puramente metafórico
ou formal, apesar de que a idéia possa ser levada mais a sério. Os
superespaços estão entre os exemplos mais simples de ``geometrias
não comutativas'', mas por serem supercomutativas ainda devem ser
consideradas ``clássicas''.

Vamos abordar aqui uma versão ingênua de ação. Já que os
nossos supergrupos são ``exponenciações'' de superálgebras de
Lie, é natural tentar definir uma ação de um supergrupo
``exponenciando'' uma representação de uma superálgebras de Lie
\(\ca{L}\) de tipo \((n,m)\). Sejam \(\l{V}\) um espaço vetorial
\(\l{Z}_2\)-graduado e \(\hat\cdot:\ca{L}\to \hbox{End}(\l{V})\) um
homomorfismo de superálgebras. Ingenuamente a ``ação'' de um
``elemento'' \(\exp (t_1b_1+\cdots t_nb_n + \theta_1f_1 + \cdots
\theta_mf_m)\) do supergrupo sobre um elemento \(v\in \l{V}\) seria dado
por \(\exp (t_1\hat b_1+\cdots+ t_n\hat b_n + \theta_1\hat f_1 + \cdots
+\theta_m\hat f_m)v\). Como antes, adotando a atitude híbrida
podemos considerar os \(t_i\) como números reais, mas os \(\theta_i\)
devem ser considerados objetos externos. 

Vamos agora construir um ação do nosso supergrupo \(\l{G}\). 
Como \(b\) comuta com tudo, temos que \(\exp(t\hat b+\theta\hat
f)=\exp(t\hat b)\exp(\theta \hat f)\). Dado que  \((\theta f)^2=0\), o
segundo fator é formalmente igual a \(I+\theta \hat f\). Assim
\[\exp(t\hat b+\theta\hat 
f)=\exp(tb)(I+\theta \hat f)\] É fácil achar 
todas as representações
do nosso \(\ca{L}\) num espaço  \(\l{V}\) qualquer.  Uma conta
fácil mostra que em relação à decomposição \(\l{V}=
\l{V}_0\oplus\l{V}_1\) as condições \([\hat b, \hat f]=0\) e 
\(\{\hat f, \hat f\} = 2\hat b\) impõem as seguintes formas:
\begin{equation}
\hat b = \left(\begin{array}{cc} uv & 0 \\ 0 & vu \end{array}\right),
\quad 
\hat f = \left(\begin{array}{cc} 0 & u \\ v & 0 \end{array}\right)
\end{equation} 
onde \(u\) e \(v\) são aplicações lineares quaisquer. 
Em \(\l{R}^{[1|1]}\) portanto temos
\begin{equation}\label{eq:saction}
\exp(t\hat b+\theta\hat f): (x,\alpha)\mapsto e^{tuv}(x+u\theta
\alpha, \alpha + v\theta x)
\end{equation}
 Note que do lado direito temos elementos
que não mais pertencem ao superespaço original \(\l{R}^{[1|1]}\)
devido a presença de \(\theta\). A presença destes elementos
externos usualmente causa uma certa confusão aos iniciantes, pois
assim é difícil explicar como o que acabamos de definir possa ser 
``ação sobre  \(\l{R}^{[1|1]}\)''. Este 
problema é contornado pelo uso de álgebras de Hopf.

Representações em \(\l{R}^{[2|2]}\) são mais interessantes. Um 
caso particularmente instrutivo é dado por 
\begin{eqnarray}\hat b:
(x,y,\alpha,\beta)&\mapsto& (-y, x, -\beta, \alpha) \\
\hat f: 
(x,y,\alpha,\beta)&\mapsto &(\alpha, \beta, -y,x )
\end{eqnarray} 
Temos 
como antes \(\exp(t\hat b+\theta\hat f)=\exp(t\hat b)(I+\theta \hat f)\).
Ora, \(\exp(t\hat b)\) é uma rotação no plano \(x\)-\(y\)
simultaneamente com uma no plano 
\(\alpha\)-\(\beta\). O mais interessante é o ``isomorfismo''
 \((I+\theta \hat f)\) que é dado por 
\begin{equation} \label{eq:suprot}
(x,y,\alpha,\beta)
\mapsto(x+\theta\alpha, y+\theta\beta, \alpha-\theta y, \beta + \theta x)
\end{equation}
Considere a expressão 
\begin{equation}\label{eq:supint}
x^2+y^2+2\alpha\beta
\end{equation}
 e faça nela as
substituições indicadas em (\ref{eq:suprot}). Temos 
\[
(x+\theta\alpha)^2+ (y+\theta\beta)^2 +2(\alpha-\theta y)
(\beta + \theta x)
\] 
que após um pequeno cálculo volta a \(x^2 + y^2 + 2\alpha\beta\).
Assim apesar da presença do elemento externo \(\theta\) no
``isomorfismo'' acima, este desaparece e a expressão
\(x^2+y^2+2\alpha\beta\) é invariante pela substituição indicada.
Então, além dos isomorfismos usuais da álgebra \(\ca{R}^{[2|2]}\) que
deixam a expressão invariante, esta tem simetrias adicionais por
ação de supergrupos. O supergrupo que deixa a expressão
(\ref{eq:supint})
invariante é conhecido como \(\hbox{OSp}(2,2)\), uma extensão
do grupo \(\hbox{O}(2)\times \hbox{Sp}(2)\), combinando assim as estruturas
ortogonais e simpléticas. Vemos que aqui retornamos
ao ponto de partida de invariância por substituição. Não
precisamos saber o que \(x\), \(y\), \(\alpha\), \(\beta\), e \(\theta\)
{\em são\/}, somente quais são as regras legítimas de
reescrita. 

Para apreciar como a física constrói teorias supersimétricas de
campos quân\-ti\-cos, é preciso elaborar um pouco mais as nossa
construções. As teorias física são quase exclusivamente
lagrangianas. Isto quer dizer que são determinadas por um funcional
dos campos. Para simplicidade suponha que \(\phi(x)\) é um campo
escalar e \(x\in \l{R}^4\) é um ponto do espaço-tempo com \(x_4\)
sendo o tempo. Seja \(\phi_i(x)\) a derivada parcial de \(\phi\) em
relação a \(x_i\). Uma função de \(\phi(x)\) e das suas
derivadas, \(\ca{L}(\phi(x),\phi_1(x),\phi_2(x),\phi_4(x),\phi_4(x))\),
onde \(\ca{L}(v_0,v_1,v_2,v_3,v_4)\) é uma função em
\(\l{R}^5\), chama-se uma {\em lagrangiana\/} de \(\phi\). A integral
\(S(\phi)=\int_{\l{R}^4}\ca{L}(\phi(x),\phi_i(x))dx\) chama-se o {\em
funcional ação\/} de \(\phi\) (não confunda este uso da palavra
``ação'' com ação de grupo e outros conceitos semelhantes).
Um campo \(\phi\) é um ponto crítico deste funcional (no sentido
de cálculo de variações) se e somente se satisfaz a {\em
equação de Euler-Lagrange\/}:
\[\frac{\partial \ca{L}}{\partial v_0}(\phi(x),\phi_i(x))-\sum_{i=1}^4
\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial \ca{L}}{\partial
v_i}(\phi(x),\phi_i(x))=0\]
que é a equação dinâmica do campo físico. Uma teoria
quântica parte da mesma lagrangiana mas, em vez de focalizar a
equação de Euler-Lagrange, segue um processo de {\em
quantização\/} que define a teoria específica. Não vamos
aqui discutir este processo. Obviamente podemos generalizar estas idéias
para vários campos de natureza variada (escalar, vetorial, etc.),
equivalente a introduzir campos com vários componentes. Um exemplo de
lagrangiana é \(\phi_1^2+\phi_2^2+\phi_3^2-\phi_4^2\) cuja
equação de Euler-Lagrange é a equação de onda
\[\sum_{i=1}^3\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_i^2} -\frac{\partial^2
\phi}{\partial x_4^2}=0\]

Considere agora uma ação \(\phi\mapsto g\cdot \phi\) de um grupo
de Lie \(G\) sobre os campos. Dizemos que a teoria lagrangiana é
simétrica por ação de \(G\) se o conjunto de soluções das
equações de Euler-Lagrange é invariante. Em determinadas
condições, para criar uma teoria simétrica, é suficiente que a
ação \(S(\phi)\) seja invariante, isto é \(S(g\cdot
\phi)=S(\phi)\). É portanto importante poder achar integrais de
funções de campos e suas derivadas que são invariantes por
ação de grupos de Lie. Este é um assunto próprio já
suficientemente sofisticado que não podemos abordar aqui. Apresentamos
somente um exemplo simples. Seja \(A=\sum_{i=1}^3A_i\,dx_i\) uma
\(1\)-forma em \(\l{R}^3\) e seja \(G\) o grupo \(\hbox{SO}(3)\) de
rotações que age sobre \(A\) de modo usual de mudança de
coordenadas, a saber, se \(R\in\hbox{SO}(3)\) então \( (R\cdot A)(Rx) =
A(x)\). Em termos de componentes \((A_1,A_2,A_3)\) temos então
\((R\cdot A)_i(x)= \sum_jR_{ij}A_j(R^{- 1}x)\). Usando o produto interno
usual em \(\l{R}^3\) como métrica Riemanniana, fica óbvio que a
integral de \(||A||^2\) e \(||dA||^2\) são invariantes por esta ação
e que a integral de \(A_1^2\) não o é. No caso particular de \(A =
d\phi\), temos a lagrangiana \(||d\phi||^2\) com a equação de
Euler-Lagrange sendo \(\Delta \phi=0\). 

Teorias supersimétricas são aquelas cujo funcional \(S\) é
invariante sob ação de supergrupos. Os campos agora são
funções definidos não no espaço-tempo mas no superespaço
que estende espaço-tempo. Aparece porém mais uma
consideração que também vem da física quântica. Como já
falamos, existem dois tipos de campos quânticos fundamentais, os
bosônicos e os fermiônicos. O valor do campo no superespaço
portanto também deve pertencer a um superespaço, isto é, poderia
ter componentes bosônicos e fermiônicos.

Retornamos ao nosso simples exemplo em \(\l{R}^{[1|1]}\). Por uma
função neste superespaço \(\Lambda(x,\alpha)\) nós já
entendemos uma expressão \(f(x) + g(x)\alpha\) onde \(f\) e \(g\)
são funções reais. Agora devemos considerar que \(f(x) = F(x) +
\phi(x)\) e \(g(x) = G(x) + \psi(x)\) onde \(\phi(x)\) e \(\psi(x)\)
são fermiônicos. Com isto, e com a idéia que estamos ainda lidando
com a situação clássica, e tomando a atitude híbrida,
podemos considerar que \(F\) e \(G\) são funções reais mas que
\(\phi(x)\) e \(\psi(x)\) pertencem a uma superalgebra supercomutativa
sem que haja qualquer relação entre estes elementos além de
anticomutatividade. Ou seja, estamos contemplando uma superálgebra
supercomutativa com um número não enumerável de geradores
fermiônicos, a saber, alem do \(\alpha\in\ca{R}^{[1|1]}\) todos os
\(\phi(x)\) e \(\psi(x)\) para \(x\in \l{R}\). A literatura
física diz que \(\psi\) e \(\phi\) são campos com ``valores
grassmanianos''. Como base de regras formais de reescrita isto não deve
causar nenhuma objeção, mas a interpretação destes objetos
dentro de construções matemáticas mais estruturadas ainda é um
ponto polêmico ({\bf [Sc]}).
% \cite{schmitt}

O nosso supergrupo \(\l{G}\) age sobre \((x,\alpha)\) pela regra
(\ref{eq:saction}), mas devemos também considerar que possa agir sobre os
``componentes'' \((F, G, \phi, \psi)\) em cada ponto como acontece com a
ação de \(SO(3)\) sobre os componentes de uma \(1\)-forma, como
discutido acima. Assim por exemplo a ação 
\(\Lambda\mapsto\tilde\Lambda\) 
 do ``elemento'' \(I+\theta f\) de \(\l{G}\), seria dado por 
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\tilde\Lambda(x,\alpha) = \tilde F(x+u\theta \alpha) +
\tilde\phi(x+u\theta \alpha) +} \\
& & (\tilde G(x+u\theta \alpha) + \tilde
\psi(x+u\theta \alpha))(\alpha + v\theta x)
\end{eqnarray*}
onde \((F,G,\phi,\psi)\mapsto (\tilde F,\tilde G, \tilde\phi,\tilde\psi)\)
é a ação de \(I+\theta f\) sobre os componentes de \(\Lambda\).
Temos também \(\tilde F(x+u\theta\alpha) = \tilde F(x) + u\tilde
F'(x)\theta\alpha\) conforme (\ref{eq:sub}), e o mesmo para os outros
componentes. 
Este exemplo não é muito natural. Um melhor, ainda sob a ação
de \(\l{G}\), é de campos definidos no superespaço
\(\l{R}^{[2|2]}\). Uma superfunção bosônica
\(\Lambda(x,y,\alpha,\beta)\) tem a forma \(F+\phi\alpha+\psi\beta +
G\alpha\beta\) onde \(F\) e \(G\) são bosônicos e \(\phi\) e
\(\psi\) fermiônicos. Suponha que o nosso supergrupo aja sobre
\(\ca{R}^{[2|2]}\) da forma previamente definida, e que sobre
\(\Lambda\) aja trivialmente, isto é, \(\Lambda\) é um supercampo
``escalar''. Considere agora o ``superdiferencial''
\[d\Lambda=\frac{\partial \Lambda}{\partial x}\,dx+
\frac{\partial \Lambda}{\partial y}\,dy+
\frac{\partial \Lambda}{\partial \alpha}\,d\alpha+
\frac{\partial \Lambda}{\partial \beta}\,d\beta\]
Não é preciso elaborar aqui o sentido exato de \(d\alpha\) e
\(d\beta\), considere que são ainda elementos formais.
A ação  de \(\l{G}\) sobre os componentes da
 superdiferencial é igual à sua
ação sobre o superespaço com parâmetros 
 \((-t, -\theta)\), isto é, com sinais trocados,
em perfeita analogia com o caso de 
rotação de uma \(1\)-forma em \(\l{R}^3\). 
Portanto o produto interno \(<d\Lambda, d\Lambda>\)
 onde a métrica é dada por (\ref{eq:supint}) 
é de novo um supercampo escalar. 
A ``medida'' \(dxdyd\alpha
d\beta\) é invariante sob a ação  de \(\l{G}\). Em primeiro
lugar, é invariante pela ação da rotação \(\exp(t\hat b)\), 
pois \(dxdy\) é invariante por rotação no plano \(x\)-\(y\), e
\(\alpha\beta\) é invariante por rotação no plano 
\(\alpha\)-\(\beta\) como já vimos. 
A ``matriz Jacobiana'' da transformação
\(I+\theta \hat f\) é formalmente
\[\left(\begin{array}{cccc} 
1 & 0 & \theta & 0 \\
0 & 1 & 0 & \theta \\
0 & -\theta & 1 & 0 \\
\theta & 0 & 0 & 1 
\end{array}\right)\]
cujo determinante formalmente é \(1\).
 Assim a integral \[\int\int\int\int<d\Lambda,d\Lambda>\,
dxdyd\alpha d\beta\]
é
invariante pela ação do supergrupo. Esta integral se reduz a
\[2\int\int(\nabla F\cdot \nabla G + \nabla\phi
\cdot\nabla\psi + G^2)\,dxdy\] 
onde \(\nabla\) é o gradiente comum em relação a \((x,y)\). 

Neste ponto podemos esquecer os passos que levaram a esta
integral e simplesmente considerá-lo como o funcional de um problema de
cálculo de variações clássico cujas equações de Euler-
Lagrange são 
\begin{eqnarray}
\Delta F = 2G,  & \quad & \Delta G =0 \\
\Delta \phi = 0, & \quad & \Delta \psi =0
\end{eqnarray}

Toda a máquina de supersimetria agora desapareceu
e podemos encarar a supersimetria como simplesmente uma
maneira de construir lagrangianas. 
As propriedade marcantes de sistemas físicos
supersimétricos somente aparecem na teoria quântica, portanto  
equações acima são muito sem graça. O exemplo também é muito
simplificado.  O que é
extraordinário é que os sistemas assim construídos por meio de
supersimetria que estendem a simetria clássica do espaço-tempo não
só constituem candidatos muito atraentes para teorias físicas
básicas, mas  também têm fornecido instrumentos para novas
descobertas na matemática pura como invariantes de nós, tranças e
variedades
de dimensão três e quatro. 

Podemos agora, pelo menos em palavras, resumir o que são as teorias
físicas supersimétricas. São sistemas lagrangianos 
de campos físicos 
que podem ser descritos da seguinte maneira: 
\begin{itemize}
\item  Há um superespaço que estende o espaço-tempo.
\item Há uma superálgebra de Lie, agindo sobre o superespaço, e
que estende a álgebra de Lie das
simetrias clássicas do espaço-tempo 
\item Há um conjunto de campos, bosônicos e fermiônicos, 
definidos
no superespaço, que
carrega  uma representação da superálgebra.
\item Há uma lagrangiana que é invariante pela ação do
supergrupo que corresponde à superálgebra. 
\end{itemize}
No final, como no exemplo anterior, podemos encarar estas teorias como
simplesmente  teorias lagrangianas comuns para um certo conjunto de campos, 
mas a supersimetria escolhe certas  lagrangianas muito particulares
que têm propriedades muito especiais. 

Uma lagrangiana é supersimétrica se é invariante por um conjunto
de regras de reescrita. Embora o funcional ação de um conjunto de
campos seja escrito como \(\int \ca{L}\,dx_1\cdots dx_n d\theta_1 \cdots
d\theta_m\), para saber se isto é supersimétrico ou não, não é
necessário interpretar nem os campos, nem as coordenadas no
superespaço, nem a integral. Não é necessário saber o que {\em
são\/} estas coisas. Temos simplesmente uma expressão, mais
sofisticada que o nosso \(xy\) no início, é verdade, mas nada
essencialmente diferente. A expressão é invariante por um conjunto
de regras de reescrita que são ditadas por uma superálgebra de Lie.
Eis a supersimetria neste nível. Uma vez que a teoria é quantizada, a
superalgebra de Lie que deu lugar ao conjunto de regras de reescrita
agora se incorpora numa superálgebra de Lie de simetrias
infinitesimais, e esta superálgebra de operadores traz
conseqüências extraordinárias para a teoria quantizada. Isto não
é mais formal mas concreto. Nisto temos o próprio milagre de
supersimetria e a sua beleza tão admirada pelos físicos. 


% \begin{thebibliography}{xx}

\section*{Referências}

{\parindent=0pt

{\bf [Bo] }
% \bibitem{bochner}
{S. Bochner ``Formal Lie Groups'', {\em Annals of
Mathematics} {\bf 47} 192 (1946)}

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% \bibitem{comu}
{S. Coleman e J. Mandula {\em Physical Review} {\bf
159}, 1251 (1967)}
 
{\bf [DeW] }
% \bibitem{dewitt}
{ Bryce DeWitt ``Supermanifolds'', Cambridge University
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{\bf [Ko] }
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{Bertram Konstant ``Graded Manifolds, Graded Lie
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% \bibitem{schmitt}
{T. Schmitt, ``Supergeometry and Quantum Field Theory,
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Physics} {\bf 9} 993 (1997) e hep-th/9607132}

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{Martin F. Sohnius ``Introducing Supersymmetry'' {\em
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% \bibitem{wilczek}
{Frank Wiczek ``The Future of Particle Physics as a
Natural Science'' {\em International Journal of Modern Physics A}, {\bf
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}

% \end{thebibliography}






