
\chapter{Dominós e $q$-contagem}



A idéia básica da $q$-contagem é simples:
ao invés de contarmos os elementos de um conjunto diretamente
(como em combinatória ``clássica'')
introduzimos no problema um índice
e usamos este índice como o expoente de uma variável auxiliar $q$.
Assim, ao invés de tentarmos encontrar inteiros tentamos
agora encontrar polinômios ou séries formais em $q$.
A estrutura algébrica que ganhamos com a mudança pode ser muito útil.
Este método já é tradicional mas ganhou novo ímpeto
com as idéis recentes de matemática quântica;
por isso às vezes o processo de introduzir a variável $q$
é conhecido como {\sl quantizar} o problema.

Ao invés de tentarmos discutir estas idéias em abstrato,
vamos estudar alguns exemplos.
Primeiro veremos com certo detalhe a $q$-versão de um dos objetos
mais tradicionais da combinatória: o triângulo de Pascal.
Depois estudaremos outros problemas de $q$-contagem relacionados
com coberturas por dominós de regiões quadriculadas.

\section{Números binomiais}


Vamos começar com uma definição usual.

{\nobf Definição 1.1: }
{\sl Definimos os números binomiais pela fórmula
\[ \binom{n}{m} = \frac{n!}{m! (n-m)!}. \] }

Outras possíveis definições são a recursiva e a algébrica,
que enunciaremos como proposições.

{\nobf Proposição 1.2: }
{\sl Os números binomiais satisfazem
\[ \binom{n+1}{m+1} = \binom{n}{m} + \binom{n}{m+1}, \qquad n \ge 0 \]
e
\[ \binom{0}{m} =
\begin{cases}
1,& \text{se $m=0$},\\ 0,& \text{caso contrário.}
\end{cases}
\]
Além disso, a única função de $\NN \times \ZZ$ que satisfaz esta
recorrência com estas condições iniciais é $\binom{n}{m}$.}

{\nobf Dem: } Indução. \qed

{\nobf Proposição 1.3: {\rm (Binômio de Newton) }}
{\sl Para todo $n \in \NN$ vale a identidade de polinômios
\[ (X+Y)^n = \sum_{0 \le m \le n} \binom{n}{m} X^m Y^{n-m}. \] }

{\nobf Dem: } Indução. \qed

Observemos ainda que
\[ \binom{x}{m} = \frac{x(x-1) \cdots (x-(m-1))}{m!} \]
é um polinômio de grau $m$ na variável $x$.
Definimos assim mais geralmente
\[ \binom{x}{m} =
\begin{cases}
\frac{x(x-1) \cdots (x-(m-1))}{m!},& \text{se } m \ge 0,\\
0,& \text{se } m < 0.
\end{cases} \]
para qualquer $x \in \CC$ (ou mesmo em outro corpo qualquer)
e $m \in \ZZ$.
A identidade
\[ \binom{x+1}{m+1} = \binom{x}{m} + \binom{x}{m+1}\]
ainda vale para quaisquer valores de $x$ e $m$.

Existem inúmeras interpretações combinatórias para números binomiais:
a mais conhecida é que $\binom{n}{m}$ é o número de subconjuntos
de $m$ elementos de um conjunto de $n$ elementos dado
(por exemplo, $\{1, 2, \ldots, n\}$).
Outra interpretação interessante
é como o número de caminhos de comprimento $n$ (o valor mínimo)
ligando $(0,m)$ e $(n-m,0)$
andando sempre por retas verticais ou horizontais inteiras,
conforme ilustrado abaixo.
Uma demonstração bijetiva deste fato consiste em tomar para cada caminho
o conjunto das posições ao longo do caminho dos segmentos verticais:
este é um subconjunto de $m$ elementos de $\{1, 2, \ldots, n\}$.
O caminho na figura abaixo corresponde ao subconjunto
$\{2,3,5,10,11,14\}$.

% \midinsert
% \line{\hfill%
% \vbox{\hsize=6cm \psfig{file=q1-1.eps,width=6cm}
% \smallskip\centerline{$n = 14, m = 6$}}%
% \hfill
% \vbox{\hsize=6cm \psfig{file=q1-2.eps,width=6cm}
% \smallskip\centerline{Área $ = 24$}}%
% \hfill}
% \smallskip
% %\centerline{\eightrm Figura 1.1}
% \endinsert

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{file=q1-1.eps,width=6cm}
\hskip 2cm
\epsfig{file=q1-2.eps,width=6cm}
\end{center} \end{figure}

Existem muitíssimas identidades interessantes envolvendo números binomiais.
Enunciaremos agora algumas que serão usadas mais adiante.

{\nobf Proposição 1.4: }
{\sl Para quaisquer $n \in \NN$, $m \in \ZZ$ e $x \in \CC$ temos
\[
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{x-j}{m} = \binom{x-n}{m-n}.
\]
}

{\nobf Dem: }
Por indução em $n$, sendo trivial o caso $n = 0$.
O caso $n = 1$ é a identidade recursiva da Proposição 1.2
(apenas mudando o nome das variáveis):
\[ \binom{x}{m} - \binom{x-1}{m} = \binom{x-1}{m-1}.\]
Suponha a identidade demonstrada para $n$;
para $n+1$ temos
\begin{align}
&\phantom{=} \sum_{0 \le j \le n+1} (-1)^j \binom{n+1}{j} \binom{x-j}{m}
\notag\\
&=
\sum_{0 \le j \le n+1} (-1)^j (\binom{n}{j} + \binom{n}{j-1}) \binom{x-j}{m}
\notag\\
&=
\left({\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{x-j}{m} }\right)+
\left({\sum_{1 \le j \le n+1} (-1)^j \binom{n}{j-1} \binom{x-j}{m} }\right) 
\notag\\
&=
\left({\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{x-j}{m} }\right)-
\left({\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{x-j-1}{m} }\right) 
\notag\\
&=
\binom{x-n}{m-n} - \binom{x-n-1}{m-n} = \binom{x-(n+1)}{m-(n+1)}, \notag
\end{align}
o que demonstra a identidade para $n+1$ e conclui a demonstração.
\qed

{\nobf Corolário 1.5: }
{\sl Seja $n \in \ZZ$ um inteiro positivo e $P \in C[x]$,
$P(x) = \sum a_i x^i$,
um polinômio de grau menor do que $n$. Então
\[ \sum_{j \in \ZZ} (-1)^j \binom{n}{j} P(x-j) =
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} P(x-j) = 
 0. \] }

Observe que apenas um número finito de termos do primeiro somatório
são diferentes de 0:
exatamente aqueles valores considerados no segundo somatório.

{\nobf Dem: }
Podemos escrever
\[ P(x) = \sum_{0 \le i < n} b_i \binom{x}{i} \]
donde, pela proposição anterior,
\begin{align}
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} P(x-j) &=
\sum_{0 \le i < n} \left({ b_i
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{x-j}{i} } \right) \notag\\
&= \sum_{0 \le i < n} b_i \binom{x-n}{i-n} = 0. \notag
\end{align}
\qed


{\nobf Proposição 1.6: }
{\sl Para quaisquer naturais $a, b, c$ temos
\[
\det
\begin{pmatrix}
\binom{b+c}{b} & \binom{b+c}{b+1} & \cdots & \binom{b+c}{b+a-1} \\
\binom{b+c}{b-1} & \binom{b+c}{b} & \cdots & \binom{b+c}{b+a-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\binom{b+c}{b-a+1} & \binom{b+c}{b-a+2} & \cdots & \binom{b+c}{b} \\
\end{pmatrix}
= \prod_{0 \le i < a, 0 \le j < b, 0 \le k < c} \frac{i+j+k+2}{i+j+k+1}.
\]
}

Observe que a matriz é quadrada de ordem $a$.
Observe também que do lado direito os papéis de $a$, $b$ e $c$
são intercambiáveis, o que não ocorre do lado esquerdo.
Por outro lado, o lado esquerdo é claramente inteiro;
o leitor pode tentar mostrar diretamente que o lado direito é inteiro.

Na demonstração da proposição usaremos a equação
\[ \binom{n}{m} = (-1)^m \binom{-n+m-1}{m}, \]
de fácil demonstração.


{\nobf Dem: }
Os casos $a = 0$ e $a = 1$ são triviais. Definamos
\[ M(a,b,c) =
\begin{pmatrix}
\binom{b+c}{b} & \binom{b+c}{b+1} & \cdots & \binom{b+c}{b+a-1} \\
\binom{b+c}{b-1} & \binom{b+c}{b} & \cdots & \binom{b+c}{b+a-2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\binom{b+c}{b-a+1} & \binom{b+c}{b-a+2} & \cdots & \binom{b+c}{b} \\
\end{pmatrix};
\]
por indução basta mostrar que
\[
\frac{\det M(a,b,c)}{\det M(a-1,b,c)} 
= \frac{\binom{a+b+c-1}{b}}{\binom{a+b-1}{b}}
\]
pois
\[
\frac{\binom{a+b+c-1}{b}}{\binom{a+b-1}{b}} = 
\prod_{0 \le j < b, 0 \le k < c} \frac{a+j+k+1}{a+j+k}.
\]

Defina
\[ P(x) = \binom{c-1+x}{c-1} \binom{-a+x}{b}; \]
$P \in \CC[x]$ é um polinômio de grau $b+c-1$.
Observe que as raízes de $P$ são $-c+1, -c+2, \ldots, -2, -1$ e
$a, a+1, \ldots, a+b-2, a+b-1$;
observe também que 
\[
P(-c) = \binom{-1}{c-1} \binom{-a-c}{b} = (-1)^{b+c-1} \binom{a+b+c-1}{b}.
\]
Seja $v \in \CC^a$ um vetor cuja $i$-ésima coordenada é $v_i = (-1)^i P(a-1-i)$
($i$ varia de 0 a $a-1$):
\[ v = \left({ \binom{a+c-2}{c-1} \binom{-1}{b},
- \binom{a+c-3}{c-1} \binom{-2}{b},
\ldots, (-1)^{a-1} \binom{c-1}{c-1} \binom{-a}{b}
}\right). \]
Temos
\[ v_{a-1} = (-1)^{a+b-1} \binom{a+b-1}{b} \]
pois $\binom{-a}{b} = (-1)^b \binom{a+b-1}{b}$.
Observe que as coordenadas de $v$ são todas não nulas.
Vamos calcular o produto $w = M(a,b,c) v$.

Calculemos a $i$-ésima coordenada $w_i$ de $w$.
Temos, por uma simples mudança de índices,
\begin{align}
w_i &= \sum_{0 \le j < a} (-1)^j \binom{b+c}{b-i+j} P(a-1-j) \notag\\
&= (-1)^{b-i} \sum{b-i \le k < a+b-i} (-1)^k \binom{b+c}{k} P(a+b-i-k-1). \notag
\end{align}
Mas pelo corolário temos
\[ \sum_{k \in \ZZ} (-1)^k \binom{b+c}{k} P(a+b-i-k-1) = 0 \]
donde
\[ w_i = (-1)^{b-i+1} (S^-_i + S^+_i) \]
onde
\begin{align}
S^-_i &= \sum_{0 \le k < b-i} (-1)^k \binom{b+c}{k} P(a+b-i-k-1) \notag\\
S^+_i &= \sum_{a+b-i \le k \le b+c} (-1)^k \binom{b+c}{k} P(a+b-i-k-1) \notag
\end{align}
Mas se $0 \le k < b-i$ temos $a \le a+b-i-k-1 < a+b$,
assim $P$ se anula em todos os termos do somatório que define $S^-_i$
e temos $S^-_i = 0$ para qualquer valor de $i$.
Por outro lado, se $i \le a-2$ e $a+b-i \le k \le b+c$ temos
$-c+1 \le a+b-i-k-1 < 0$ e $P$ se anula agora em todos os termos
do somatório que define $S^+_i$.
Assim temos $w_i = 0$ para $i < a-1$.
Se $i = a-1$, o único termo do somatório $S^+_i$ que não se anula é para
$k = b+c$ e temos
\[ S^+_{a-1} = (-1)^{b+c} \binom{b+c}{b+c} P(-c) =
-\binom{a+b+c-1}{b} \]
e
\[ w_{a-1} = (-1)^{a+b-1} \binom{a+b+c-1}{b}. \]
Temos assim $w = (-1)^{a+b-1} \binom{a+b+c-1}{b} e_{a-1}$.

Podemos escrever $v = (M(a,b,c))^{-1} w$
donde
\[ (M(a,b,c))^{-1} e_{a-1} = (-1)^{a+b-1} {\binom{a+b+c-1}{b}}^{-1} v. \]
Assim, a entrada $(a-1,a-1)$ de $(M(a,b,c))^{-1}$ é
$\binom{a+b-1}{b} / \binom{a+b+c-1}{b}$.
Mas por Cramer esta entrada é $\det M(a-1,b,c) / \det M(a,b,c)$,
o que conclui a demonstração.
\qed



\section{Números binomiais e $q$-contagem}

Na seção anterior supomos que o leitor conhecia a função fatorial.
Vamos começar esta seção definindo $(n!)_q$.

{\nobf Definição 1.7: }
{\sl Seja $n$ um natural; definimos
\[ (n!)_q = \frac{q^n - 1}{q-1} \cdot \frac{q^{n-1} - 1}{q-1}
\cdots \frac{q^2 - 1}{q - 1} \cdot \frac{q - 1}{q - 1}. \]
}

É claro que podemos também definir recursivamente $(0!)_q = 1$,
\[ (n!)_q = \frac{q^n - 1}{q - 1} ((n-1)!)_q =
(q^{n-1} + q^{n-2} + \cdots + q + 1) ((n-1)!)_q. \]
Vejamos agora uma interpretação combinatória para estes polinômios.


Lembramos que $n!$ é o número de permutações de $\{1, 2, \ldots, n\}$.
Definimos o {\sl número de inversões} $i(\pi)$ de uma permutação $\pi$
como sendo o número de pares $(i,j)$ com $1 \le i < j \le n$
tais que $\pi(i) > \pi(j)$.

{\nobf Proposição 1.8: }
{\sl Seja $n$ um natural; temos
\[ \sum_{\pi \in S_n} q^{i(\pi)} = (n!)_q. \] }

Ou seja, o polinômio $(n!)_q$ serve para $q$-contar as permutações $\pi$
com relação a este índice $i(\pi)$.

{\nobf Dem: }
Usando indução, basta mostrar que 
\[ \sum_{\pi \in S_{n+1}} q^{i(\pi)} =
(1 + q + \cdots + q^n) \sum_{\pi \in S_n} q^{i(\pi)}. \]
Pensando em permutações como listas de números,
um elemento de $S_{n+1}$ é obtido a partir de um elemento de $S_n$
inserindo o número $n+1$ em alguma posição.
Se $n+1$ for inserido no final, não criamos nenhuma nova inversão;
se for inserido na penúltima posição, criamos uma inversão e finalmente
se for inserido no início criamos $n$ inversões.
Em geral, a partir de uma permutação com $k$ inversões criamos $n+1$
permutações com $k, k+1, \ldots k+n$ novas inversões,
o que demonstra nossa fórmula para $(n!)_q$.
\qed

{\nobf Definição 1.9: }
{\sl Sejam $n$ e $m$ inteiros. Definimos
\[ \binom{n}{m}_q =
\begin{cases}
\frac{(q^n - 1)(q^{n-1} - 1)\cdots (q^{n-m+1} - 1)}%
{(q^m - 1)(q^{m-1} - 1)\cdots (q - 1)},&\text{se } m > 0,\\
1,&\text{se } m = 0,\\
0,&\text{se } m < 0.
\end{cases}
\]
}

Assim $\binom{n}{m}_q \in \CC(q)$ fica definido
para quaisquer $n, m$ inteiros.
Observe que substituindo $q$ por 1 recuperamos os números binomiais.
Observe também que quando $n$ é natural e $0 \le m \le n$ temos
\[ \binom{n}{m}_q = \frac{(n!)_q}{(m!)_q \cdot ((n-m)!)_q}. \]
Estas definições podem ser estendidas a domínios ainda maiores
mas isto está fora de nossos interesses neste capítulo.

{\nobf Proposição 1.10: }
{\sl Sejam $n$ e $m$ um inteiros. Temos
\begin{align}
\binom{n+1}{m+1}_q
&= q^{n-m} \binom{n}{m}_q + \binom{n}{m+1}_q \notag\\
&= \binom{n}{m}_q + q^{m+1} \binom{n}{m+1}_q.\notag
\end{align}
}

{\nobf Dem: } Basta substituir. \qed

No caso clássico, vimos que $\binom{x}{m}$ é um polinômio de grau $m$
na variável $x$. No nosso caso, podemos fazer uma afirmação semelhante.
Para todo natural $m$ existe um polinômio $P_m \in \CC(q)[X]$
de grau $m$ na variável $X$ tal que $\binom{n}{m}_q = P_m(q^n)$
para todo inteiro $n$. De fato,
\[ P_m(X) = \frac{(X - 1)(X/q - 1)\cdots (X/q^{m-1} - 1)}%
{(q^m - 1)(q^{m-1} - 1)\cdots (q - 1)}. \]
Mais geralmente, se $Q \in \CC(q)[X]$ tem grau menor ou igual a $m$
na variável $X$ então existem $b_0, \ldots, b_n \in \CC(q)$
tais que
\[ Q(q^n) = \sum_{0 \le i \le m} b_i \binom{n}{i}_q \]
para todo inteiro $n$.

Vejamos agora interpretações combinatórias para $\binom{n}{m}_q$.
Para isso voltemos à interpretação de $\binom{n}{m}$ como
o número de caminhos ligando vértices em um retângulo de lados $m$ e $n-m$.
Para $\binom{n}{m}_q$, cada caminho contribui com $q^a$,
onde $a$ é a {\sl área} abaixo do caminho.
Para um subconjunto de $m$ elementos de $\{1, 2, \ldots n\}$, portanto,
o expoente de $q$ é a soma dos elementos do subconjunto
menos $1 + 2 + \cdots + m = m(m+1)/2$.
Assim, o caminho na nossa figura na seção anterior
corresponde a um termo de $q^{24}$.
O leitor pode verificar diretamente, por exemplo, que
\[ \binom{4}{2}_q = q^4 + q^3 + 2 q^2 + q + 1. \]

Um raciocínio combinatório simples nos dá a fórmula de recorrência,
demonstrando que nossa interpretação é correta.
Seja (provisoriamente) $F(a,b)$ o polinômio em $q$ definido como acima
em um retângulo $a \times b$.
Se $a = 0$ ou $b = 0$ temos $F(a,b) = \binom{a+b}{a}_q = 1$.
Se $a, b \ge 1$,
o último trecho do caminho pode ser vertical ou horizontal.
Se for horizontal, retirando este último trecho
temos um caminho de mesma área em um retângulo $a \times (b-1)$.
Se for vertical, retirando este último trecho temos
um caminho em um retângulo $(a-1) \times b$,
mas a área diminuiu de $b$.
Somando estas contribuições temos
\[ F(a,b) = F(a,b-1) + q^b F(a-1,b) \]
o que é equivalente a recorrência da proposição 1.10.

Esta interpretação é útil para ajudar a ver alguns fatos
básicos sobre $\binom{n}{m}_q$.
Refletindo o retãngulo (e os caminhos) na diagonal $x=y$ temos
$\binom{n}{m}_q = \binom{n}{n-m}_q$.
O grau de  $\binom{n}{m}_q$ é $m(n-m)$, a área total do retângulo;
os coeficientes de 1 e de $q^{m(n-m)}$ são ambos iguais a 1,
correspondendo aos caminhos no extremo de baixo e de cima.
Girando o caminho de meia volta ao redor do centro do retângulo
trocamos o valor da área de $i$ por $m(n-m) - i$:
isto prova que os coeficientes de $q^i$ e de $q^{m(n-m) - i}$
são sempre iguais.

Existe uma outra definição combinatória importante
para $q$-números binomiais usando álgebra linear sobre corpos finitos.

{\nobf Proposição 1.11: }
{\sl Seja $\FF_q$ o corpo finito com $q$ elementos
(onde $q$ é uma potência de primo)
e seja $V$ um $\FF_q$-espaço vetorial de dimensão $n$;
$V$ tem exatamente $\binom{n}{m}_q$
subespaços $W$ de dimensão $m$.
}

Observemos que aqui, pela primeira vez,
$q$ deixa de ser uma variável puramente formal
e passa a assumir valores inteiros,
de tal forma que $\binom{n}{m}_q$ passa também a assumir valores inteiros.
Daremos duas demonstrações independentes para esta
nova interpretação combinatória de $\binom{n}{m}_q$:
uma por indução, usando as fórmulas de recorrência,
e outra relacionando mais diretamente este problema combinatório
com o primeiro (que fala de caminhos em uma grade).

{\nobf Dem: }
A demonstração é por indução.
Chamamos provisoriamente de $f(n,m,q)$
o número de subespaços de dimensão $m$ de $V \equiv \FF_q^n$.
Como só existe um subespaço de dimensão 0 e um subespaço de dimensão $n$,
temos $f(n,0,q) = f(n,n,q) = 1$ para todo $n \ge 0$.
Para calcular $f(n+1,m+1,q)$,
consideremos $V_1 = \FF_q^n \subset V = \FF_q^{n+1}$.
Seja $W \subset V$ um subespaço de dimensão $m+1$;
a dimensão de $W_1 = W \cap V_1$ pode ser $m$ ou $m+1$.
No primeiro caso temos $f(n,m,q)$ possíveis $W_1$
e cada um deles precisa ser engordado com um elemento de $V - V_1$
para virar um $W$:
existem $q^{n+1} - q^n = q^n (q-1)$ elementos de $V - V_1$
mas cada $W$ é gerado por $q^{m+1} - q^m = q^m (q-1)$ destes elementos.
Assim, temos $q^{n-m} f(n,m,q)$ subespaços $W$
para os quais $W \cap V_1$ tem dimensão $m$.
Por outro lado, temos $f(n,m+1,q)$ subespaços $W$
para os quais esta dimensão é $m+1$;
somando os dois casos temos
$$f(n+1,m+1,q) = q^{n-m} f(n,m,q) + f(n,m+1,q);$$
como esta recorrência é a mesma que encontramos para $\binom{n}{m}_q$
e as condições iniciais também são as mesmas
temos $f(n,m,q) = \binom{n}{m}_q$.

Para a segunda demonstração, lembramos que podemos descrever
um subespaço $W$ (de dimensão $m$) de $K^n$ (onde $K$ é um corpo)
via uma matriz $A \in K^{m \times n}$ de posto $m$:
$W$ é o espaço gerado pelas linhas de $A$.
Para cada subespaço $W$ existem muitas matrizes $A$ correspondentes:
mais precisamente, duas matrizes $A_1$ e $A_2$ definem o mesmo subespaço $W$
se e somente se existe uma matriz quadrada inversível $B$ com $A_1 = B A_2$.
A forma usual de tomar um representante de cada classe de equivalência
é considerar matrizes escalonadas por linhas,
i.e., para cada  $A \in K^{m \times n}$ de posto $m$
existe uma única matriz inversível $B$ tal que $BA$ é escalonada por linhas. 
Lembramos que uma matriz escalonada por linhas
é aquela que satisfaz as seguintes condições:
\begin{itemize}
\item {o primeiro elemento não nulo de cada linha é sempre 1,}
\item {em uma coluna onde aparece o primeiro elemento não nulo de uma linha
todos os outros elementos são iguais a 0,}
\item {se a linha $i_1$ está acima da linha $i_2$,
o primeiro elemento não nulo da linha $i_1$
aparece antes do primeiro elemento não nulo da linha $i_2$.}
\end{itemize}
Um exemplo talvez torne mais claro o significado destas condições; a matriz 
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & \ast & 0 & 0 & \ast \\
0 & 0 & 0    & 1 & 0 & \ast \\
0 & 0 & 0    & 0 & 1 & \ast
\end{pmatrix} $$
é escalonada por linhas,
onde os $\ast$'s indicam posições que podem ser preenchidas
com qualquer elemento de $K$.
Chamemos de {\sl tipo} de $W$ (ou de $A$) ao conjunto dos índices ($j$)
das colunas onde aparece o primeiro elemento não nulo de alguma linha:
o exemplo acima tem tipo $\{2,4,5\}$;
mais precisamente, variando o valor dos $\ast$'s temos {\sl todas}
as matrizes $A$ de tipo $\{2,4,5\}$.
Os tipos possíveis são os subespaços de $m$ elementos de $\{1, 2, \ldots n\}$,
que equivalem aos caminhos em um retângulo de $m$ linhas e $n-m$ colunas:
este caminho é obtido a partir da matriz jogando fora as colunas
onde aparece o primeiro elemento não nulo de alguma linha
(estas colunas são obrigatoriamente preenchidas pelos vetores da base canônica)
e separando as posições 0 (onde devemos obrigatoriamente escrever 0)
das posições $\ast$
(onde temos liberdade de escrever qualquer elemento de $K$).
O caminho correspondente à matriz $A$ acima está indicado a seguir.
\qed

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=3cm,file=q1-2c.eps}
\end{center} \end{figure}

Vejamos agora resultados análogos aos da primeira seção.


{\nobf Proposição 1.12: }
{\sl Para quaisquer $n \in \NN$, $m, \ell \in \ZZ$ temos
\[
\sum_{0 \le j \le n}
(-1)^j q^{\binom{j}{2}} \binom{n}{j}_q \binom{\ell-j}{m}_q =
q^{n(\ell-m)}  \binom{\ell-n}{m-n}.
\]
}

{\nobf Dem: }
Por indução em $n$, sendo trivial o caso $n = 0$.
O caso $n = 1$ é a identidade recursiva da Proposição 1.10
(apenas mudando o nome das variáveis):
\[ \binom{\ell}{m}_q - \binom{\ell-1}{m}_q =
q^{\ell-m} \binom{\ell-1}{m-1}_q.\]
Suponha a identidade demonstrada para $n$;
para $n+1$ temos
\begin{align}
&\phantom{=}
\sum_{0 \le j \le n+1}
(-1)^j q^{\binom{j}{2}} \binom{n+1}{j}_q \binom{\ell-j}{m}_q \notag\\
&=
\sum_{0 \le j \le n+1} (-1)^j q^{\binom{j}{2}}
\left({\binom{n}{j}_q + q^{n-j+1} \binom{n}{j-1}_q}\right)
\binom{\ell-j}{m}_q
\notag\\
&=
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j q^{\binom{j}{2}}
\binom{n}{j}_q \binom{\ell-j}{m}_q +
\sum_{1 \le j \le n+1} (-1)^j q^{n + \binom{j-1}{2}}
\binom{n}{j-1}_q \binom{\ell-j}{m}_q  
\notag\\
&=
\sum_{0 \le j \le n} (-1)^j q^{\binom{j}{2}}
\binom{n}{j}_q \binom{\ell-j}{m}_q -
q^n \sum_{0 \le j \le n} (-1)^j q^{\binom{j}{2}}
\binom{n}{j}_q \binom{\ell-j-1}{m}_q  
\notag\\
&=
q^{n(\ell-m)}
\left({\binom{\ell-n}{m-n}_q - \binom{\ell-n-1}{m-n}_q}\right)
= q^{(n+1)(\ell-m)} \binom{\ell-(n+1)}{m-(n+1)}_q, \notag
\end{align}
o que demonstra a identidade para $n+1$ e conclui a demonstração.
\qed

Observe a total analogia entre a Proposição 1.4 e a Proposição 1.12;
até a demonstração da proposição mais geral é obtida simplesmente
inserindo $q$ nos lugares apropriados.

{\nobf Corolário 1.13: }
{\sl Seja $n$ um inteiro positivo e
$P \in \CC(q)[X]$ um polinômio de grau menor do que $n$ em $X$.
Então
\[
\sum_{j \in \ZZ}
(-1)^j q^{\binom{j}{2}} \binom{n}{j}_q P(q^{\ell - j}) = 
\sum_{0 \le j \le n}
(-1)^j q^{\binom{j}{2}} \binom{n}{j}_q P(q^{\ell - j}) = 0.
\]}

{\nobf Dem: } Análoga à do Corolário 1.5, usando a Proposição 1.12. \qed

Finalmente, a Proposição 1.14 abaixo é análoga à Proposição 1.6.

{\nobf Proposição 1.14: }
{\sl Para quaisquer naturais $a, b, c$ temos
\begin{align}
&\det
\begin{pmatrix}
q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q & q^{\binom{b+1}{2}} \binom{b+c}{b+1}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-1}{2}} \binom{b+c}{b+a-1}_q \\
q^{\binom{b-1}{2}} \binom{b+c}{b-1}_q & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-2}{2}} \binom{b+c}{b+a-2}_q \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
q^{\binom{b-a+1}{2}} \binom{b+c}{b-a+1}_q &
q^{\binom{b-a+2}{2}} \binom{b+c}{b-a+2}_q &
\cdots & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q \\
\end{pmatrix}
\notag\\
&=
q^{a \binom{b}{2}} \prod_{0 \le i < a, 0 \le j < b, 0 \le k < c}
\frac{q^{i+j+k+2}-1}{q^{i+j+k+1}-1}. \notag
\end{align}
}

Novamente o lado direito é invariante por permutações de $a, b, c$,
o que não é evidente para o lado esquerdo.
Por outro lado, o lado esquerdo é claramente um polinômio em $q$;
o leitor é convidado a tentar demonstrar diretamente
que o lado direito é um polinômio em $q$.

Usaremos na demonstração a equação
\[ \binom{n}{m}_q =
(-1)^m q^{\binom{n+1}{2} - \binom{n-m+1}{2}} \binom{-n+m-1}{m}_q, \]
que vem de escrevermos
\begin{align}
\frac{\binom{n}{m}_q}{\binom{-n+m-1}{m}_q} &=
\frac{(q^n - 1)(q^{n-1} - 1) \cdots (q^{n-m+2} - 1)(q^{n-m+1} - 1)}%
{(q^{-n+m-1} - 1)(q^{-n+m-2} - 1) \cdots (q^{-n+1} - 1)(q^{-n} - 1)} \notag\\
&= \frac{q^n - 1}{q^{-n} - 1} \cdot \frac{q^{n-1} - 1}{q^{-n+1} - 1} \cdots
\frac{q^{n-m+2} - 1}{q^{-n+m-2} - 1} \cdot
\frac{q^{n-m+1} - 1}{q^{-n+m-1} - 1} \notag\\
&= (-q^n)(-q^{n-1})\cdots(-q^{n-m+2})(-q^{n-m+1})
= (-1)^m q^{\binom{n+1}{2} - \binom{n-m+1}{2}}. \notag
\end{align}
Como a demonstração segue muito de perto a da Proposição 1.6
seremos um pouco mais sucintos.


{\nobf Dem: }
Seja
\[ M_q(a,b,c) =
\begin{pmatrix}
q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q & q^{\binom{b+1}{2}} \binom{b+c}{b+1}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-1}{2}} \binom{b+c}{b+a-1}_q \\
q^{\binom{b-1}{2}} \binom{b+c}{b-1}_q & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-2}{2}} \binom{b+c}{b+a-2}_q \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
q^{\binom{b-a+1}{2}} \binom{b+c}{b-a+1}_q &
q^{\binom{b-a+2}{2}} \binom{b+c}{b-a+2}_q &
\cdots & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q \\
\end{pmatrix};
\]
por indução, basta mostrar que
\[ 
\frac{\det M_q(a,b,c)}{\det M_q(a-1,b,c)} =
= q^{\binom{b}{2}} \frac{\binom{a+b+c-1}{b}_q}{\binom{a+b-1}{b}_q}.
\]

Defina
\[ P_q(\ell) = \binom{c-1+\ell}{c-1}_q \binom{-a+\ell}{b}_q; \]
observe que $P_q(\ell)$ pode ser escrito como $P(q^\ell)$
onde $P \in \CC(q)[X]$ tem grau $b+c-1$.
Temos $P_q(-c+1) = P_q(-c+2) = \cdots = P_q(-2) = P_q(-1) = 0$,
$P_q(a) = P_q(a+1) = \cdots = P_q(a+b-2) = P_q(a+b-1) = 0$
e 
\[
P_q(-c) = \binom{-1}{c-1}_q \binom{-a-c}{b}_q = 
(-1)^{b+c-1} q^{-\binom{c}{2} - \binom{a+b+c}{2} + \binom{a+c}{2}}
\binom{a+b+c-1}{b}_q.
\]
Seja $v \in (\CC(q))^a$ dado por $v_i = (-1)^i P_q(a-i-1)$:
\[
v = \left({P_q(a-1), -P_q(a-2), \ldots,
(-1)^{a-2} P_q(1), (-1)^{a-1} P_q(0)}\right) 
\]
ou seja
\[
v =
\left({
\binom{a+c-2}{c-1}_q \binom{-1}{b}_q,
\ldots,
(-1)^{a-1} \binom{c-1}{c-1} \binom{-a}{b}_q
}\right).
\]
Temos
\[
v_{a-1} =
(-1)^{a+b-1} q^{- \binom{a+b}{2} + \binom{a}{2}} \binom{a+b-1}{b}_q.
\]

Se $w = M_q(a,b,c) v$ temos
\begin{align}
w_i &= \sum_{0 /le j < a} 
(-1)^j q^{\binom{b-i+j}{2}} \binom{b+c}{b-i+j}_q P_q(a-1-j) \notag\\
&= (-1)^{b-i} \sum_{b-i \le k < a+b-i}
(-1)^k q^{\binom{k}{2}} \binom{b+c}{k}_q P_q(a+b-i-k-1) \notag
\end{align}
e usando o corolário acima temos que
\[ w_i = (-1)^{b-i+1} (S^-_i + S^+_i) \]
onde
\begin{align}
S^-_i &= \sum_{0 \le k < b-i}
(-1)^k q^{\binom{k}{2}} \binom{b+c}{k}_q P_q(a+b-i-k-1) \notag\\
S^+_i &= \sum_{a+b-i \le k \le b+c}
(-1)^k q^{\binom{k}{2}} \binom{b+c}{k}_q P_q(a+b-i-k-1). \notag
\end{align}
Mas se $0 \le k < b-i$ temos $a \le a+b-i-k-1 < a+b$,
assim $P_q$ se anula em todos os termos do somatório que define $S^-_i$
e temos $S^-_i = 0$ para qualquer valor de $i$.
Por outro lado, se $i < a-1$ e $a+b-i \le k \le b+c$ temos
$-c < a+b-i-k-1 < 0$ e $P$ se anula agora em todos os termos
do somatório que define $S^+_i$.
Assim temos $w_i = 0$ para $i < a-1$.
Se $i = a-1$, o único termo do somatório $S^+_i$ que não se anula é para
$k = b+c$ e temos
\begin{align}
S^+_{a-1} &= (-1)^{b+c} q^{\binom{b+c}{2}} \binom{b+c}{b+c}_q P_q(-c) 
\notag\\
&= - q^{\binom{b+c}{2} -\binom{c}{2} - \binom{a+b+c}{2} + \binom{a+c}{2}}
\binom{a+b+c-1}{b}_q \notag
\end{align}
e
\[ w = (-1)^{a+b-1}
q^{\binom{b+c}{2} -\binom{c}{2} - \binom{a+b+c}{2} + \binom{a+c}{2}}
\binom{a+b+c-1}{b}_q e_{a-1}.
\]

Podemos escrever $v = (M_q(a,b,c))^{-1} w$
donde 
\[
(M_q(a,b,c))^{-1} e_{a-1} =
(-1)^{a+b-1}
q^{- \binom{b+c}{2} + \binom{c}{2} + \binom{a+b+c}{2} - \binom{a+c}{2}}
{\binom{a+b+c-1}{b}_q}^{-1} v.\]
Assim, a entrada $(a-1,a-1)$ de $(M_q(a,b,c))^{-1}$ é
\[
q^{- \binom{a+b}{2} + \binom{a}{2} - \binom{b+c}{2} +
\binom{c}{2} + \binom{a+b+c}{2} - \binom{a+c}{2}}
\frac{\binom{a+b-1}{b}_q}{\binom{a+b+c-1}{b}_q}
=
q^{\binom{b}{2}}
\frac{\binom{a+b-1}{b}_q}{\binom{a+b+c-1}{b}_q}
\]
pois
\[
\binom{a+b+c}{2} - \binom{a+b}{2} - \binom{a+c}{2} + \binom{a}{2}
= \binom{b+c}{2} - \binom{b}{2} - \binom{c}{2} + \binom{0}{2};
\]
de fato, basta observar que $\binom{x}{2}$ é um polinômio de grau 2.
Mas por Cramer esta entrada é $\det M_q(a-1,b,c) / \det M_q(a,b,c)$,
o que conclui a demonstração.
\qed

\section{Coberturas por dominós e por lozangos}

Um problema clássico de combinatória é o de contar
as {\sl coberturas por arestas de um grafo},
freqüentemente de um grafo bipartido.
Uma cobertura por arestas é um conjunto de arestas do grafo
tal que todo vértice é o extremo de exatamente uma aresta do conjunto.
Não tentaremos discutir o problema nesta versão geral:
estaremos apenas interessados em grafos que,
informalmente falando, são localmente como $\ZZ^2$.
O grafo $\ZZ^2$ é o grafo infinito
cujos vértices são pares $(i,j)$, com $i, j \in \ZZ$,
com arestas ligando $(i,j)$ a $(i \pm 1, j)$ e $(i, j \pm 1)$.
Não veremos aqui a definição desta classe de grafos;
consideraremos apenas uma subclasse já bastante rica,
a dos subgrafos (não necessariamente completos) conexos e finitos de $\ZZ^2$.
A figura abaixo mostra exemplos de grafos deste tipo.

\begin{center}
\epsfig{width=7cm,file=q1-3.eps}
\end{center}

Uma forma útil de desenhar este tipo de grafo é substituir
cada vértice por um quadrado unitério.
Vértices vizinhos correspondem a quadrados adjacentes;
quando dois vértices vizinhos em $\ZZ^2$ pertencem a nosso
grafo mas a aresta que os liga não,
dizemos que há uma parede entre os quadrados.
Assim, um grafo vira uma região quadriculada,
possivelmente com paredes internas.
Os grafos da figura anterior correspondem às regiões abaixo. 

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=7cm,file=q1-4.eps}
\end{center} \end{figure}

Arestas no grafo podem ser traduzidas como {\sl dominós} dentro
da região correspondente:
o dominó cobre os quadrados associados aos vértices da aresta.
Daí nossa identificação entre coberturas por arestas
e coberturas por dominós:
uma cobertura por dominós é simplesmente uma forma de encher
uma caixa (a região) com dominós.
A figura abaixo mostra uma cobertura por arestas de um grafo
e a cobertura por dominós a ele associada.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-5.eps}
\end{center} \end{figure}

Uma classe de regiões similar é a de regiões formadas por triângulos
equiláteros de aresta 1; regiões deste tipo correspondem a subgrafos
da ``colméia infinita'' mostrada abaixo.
Ao invés de dominós, devemos considerar {\sl lozangos}
de lado 1 e ângulos internos de $\pi/3$ e $2\pi/3$;
como antes, coberturas por arestas no grafo correspondem a 
coberturas por lozangos na região:
a figura abaixo mostra um exemplo desta correspondência.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=5cm,file=q1-6a.eps}
\end{center} \end{figure}

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=10cm,file=q1-6b.eps}
\end{center} \end{figure}

Um dos nossos objetivos neste capítulo é o de mostrar como
contar coberturas.
Chamando a cobertura típica de $T$, queremos assim calcular $\sum_T 1$.
Na próxima seção atribuiremos a cada cobertura $T$ um índice $h(T)$
que nos permitirá $q$-contar coberturas, i.e.,
calcular $\sum_T q^{h(T)}$.

\vfill\goodbreak\section{Funções altura e a altura total de uma cobertura}

Uma das ferramentas mais simples e poderosas para o estudo de coberturas
por dominós ou lozangos são as {\sl funções altura}.
A forma mais simples de apresentar funções altura é provavelmente
olhar para uma cobertura por lozangos,
talvez pintando os lozangos como abaixo.

\begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-7.eps}
\end{center}

Olhando para esta figura,
é quase inevitável ver uma pilha de cubos unitários ([DT]).
Se as arestas dos cubos forem paralelas aos eixos
$x$, $y$ e $z$, a figura é obtida projetando ortogonalmente
a pilha sobre o plano $x+y+z = 0$.
O valor de $x+y+z$ em um vértice é deduzido portanto
não pela posição do vértice no plano e sim pela interpretação
da figura como projeção em um plano de um objeto tridimensional.
Ou seja, o valor de $x+y+z$ depende da cobertura por lozangos
mas $x-y$, $x-z$ ou $y-z$ não:
$x+y+z$ é nossa função altura.
Na figura abaixo indicamos o valor da função altura
e as coordenadas em $\RR^3$ dos vértices dos lozangos.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{file=q1-8.eps}
\end{center} \end{figure}

É interessante tornar independente de visualização
o processo de obter a função altura de uma cobertura de lozangos.
Observemos que bordos de lozangos têm três direções possíveis,
correspondentes aos três eixos (em $\RR^3$).
Se andamos sobre um bordo de lozango o valor da coordenada
correspondente ao eixo sobe ou desce de 1 e as demais coordenadas
permanecem constantes; o valor da função altura $x+y+z$
deve portanto também subir ou descer de 1 dependendo da direção,
conforme indicado pelas setas na figura abaixo.
Isto nos permite calcular a diferença entre o valor da função altura
em dois pontos: completamos a definição
escolhendo um ponto do bordo da região
como ponto base e declarando que a função altura neste ponto é zero.
Resta demonstrar que a definição acima é consistente,
i.e., que o valor da função altura em um dado ponto
independe da escolha do caminho ou, equivalentemente,
que o aumento no valor da função correspondente
a um caminho fechado é sempre zero.

Vemos que as setas orientam os bordos de triângulos equiláteros,
no sentido anti-horário para triângulos com vértice para a esquerda
e no sentido horário para triângulos com vértice para a direita.
Se mantivermos todas as arestas este padrão de setinhas
(uma espécie de 1-forma discreta)
não pode ser {\sl integrado},
i.e., não existe uma função tal que o padrão de setinhas
descreva a diferença entre o valor da função em pontos vizinhos.
Voltando à analogia com formas diferenciais,
isto ocorre porque o contorno de um triângulo
tem integral 3 ou $-3$,
ou seja, a forma não é exata.
Se juntarmos os triângulos dois a dois em uma cobertura por lozangos
e eliminarmos as arestas interiores aos lozangos
então a integral ao redor de cada lozango passa a ser 0
e a 1-forma passa a ser pelo menos fechada.

Se a região for simplesmente conexa podemos concluir que
a 1-forma é exata e integrá-la para obter a função altura.
Se a região {\sl não} for simplesmente conexa,
nem sempre podemos definir globalmente uma função altura
(da mesma forma que não podemos definir uma função argumento
em $\RR^2 - \{0\}$).
Podemos ou introduzir um corte ou definir
um conceito de {\sl seção altura} ([STCR]).
Aqui consideraremos apenas regiões simplesmente conexas
de modo que não discutiremos estas dificuldades.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{file=q1-9.eps}
\end{center} \end{figure}

Esta segunda forma de definir a função altura
(localmente via diferenças)
generaliza-se facilmente para dominós.
Pintamos os quadrados de branco e preto;
definimos que ao andar pelo bordo de um dominó
o valor da função altura aumenta de 1 (resp., diminui de 1)
se o quadrado à esquerda do caminho é branco (resp., preto).
Em outras palavras, o bordo de quadrados brancos (resp. pretos)
é orientado no sentido anti-horário (resp. horário).
Como no caso dos lozangos, isto nos permite associar uma função altura
a cada cobertura por dominós de uma região simplesmente conexa.
A figura abaixo mostra a função altura associada a uma cobertura por dominós.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{file=q1-A.eps}
\end{center} \end{figure}

Funções altura permitem demonstrar que o espaço das coberturas
por lozangos ou dominós de regiões simplesmente conexas
são conexos via alguns movimentos
simples chamados {\sl flips} ([T], [STCR]).
Para dominós, um {\sl flip} consiste em tomar dois dominós paralelos
vizinhos formando um quadrado $2 \times 2$ e girá-los de $90^\circ$;
para lozangos um {\sl flip} consiste em tomar três lozangos
vizinhos formando um hexágono regular e girá-los de $60^\circ$.
O que há de especial nestes movimentos é que eles alteram o valor
da função altura em um único ponto: o centro do quadrado ou hexágono.
Flips podem assim ser naturalmente classificados como {\sl positivos}
(quando aumentam o valor da função altura) ou {\sl negativos}
(caso contrário).
Podemos definir a {\sl altura total} de uma cobertura
como sendo o número de flips positivos menos o número de flips negativos
usados para chagar na cobertura em questão
a partir de uma cobertura fixa, chamada de {\sl cobertura base}.
Equivalentemente, podemos calcular a altura total de uma cobertura
tomando a função altura para a cobertura,
subtraindo daí a função altura para a cobertura base,
somando o valor desta diferença sobre todos os vértices
de dominó (resp., lozango) e dividindo o total por 4 (resp., 3).
Para o caso de coberturas por lozangos,
a altura total é simplesmente o número de cubinhos
na pilha de cubos correspondente.
Denotaremos a altura total de uma cobertura $T$ por $h(T)$.

\section{Matrizes de Kasteleyn}

Kasteleyn resolveu o problema de contar coberturas por dominós
de um retângulo $n \times m$ calculando o determinante de uma matriz.
Veremos como usar o determinante de uma matriz $K$ com coeficientes da forma
$\pm q^e$, $e \in \ZZ$, para $q$-contar as coberturas por dominós
de uma região: como esta matriz é uma generalização da contruida
por Kasteleyn vamos chamá-la de {\sl matriz de Kasteleyn}.

Lembramos que a matriz de adjacência $A$ de um grafo é uma matriz simétrica
com uma linha (e uma coluna) correspondente a cada vértice do grafo.
O coeficiente $a_{ij}$ é igual a 1
se os vértices $i$ e $j$ forem adjacentes
e 0 caso contrário.
Se o grafo for bipartido, teremos
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & B \\ B^t & 0 \end{pmatrix} \]
desde que listemos primeiro todos os vértices brancos
e depois os vértices pretos.
Assim, na matriz $B$, linhas correspondem a vértices brancos
e colunas correspondem a vértices pretos e
$b_{ij} = 1$ se o vértice branco $i$ é vizinho do vértice preto $j$
e 0 caso contrário. Na figura abaixo mostramos um exemplo de
região quadriculada e seu grafo bipartido correspondente.
Neste exemplo
\[ B = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}. \]

% Retangulo assim:
% 1 1 2
% 2 3 3
% 4 4 5
% 5 6 6

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=8cm,file=q1-B.eps}
\end{center} \end{figure}

Cada cobertura por arestas do grafo corresponderá a um monômio não nulo
na expansão de $\det(B)$;
o determinante será portanto o número de coberturas ``pares''
menos o número de coberturas ``ímpares''.
Em outras palavras, o número de coberturas por arestas do grafo
é o {\sl permanente} de $B$;
infelizmente o permanente tem muito menos
propriedades algébricas interessantes do que o determinante.

No caso de coberturas por dominós,
podemos construir a partir de $B$ uma matriz $K$ tal que
\[ \det(K) = \sum_T 1. \]
A mágica consiste em fazer com que o sinal do produto
dos coeficientes correspondentes a uma cobertura
tenha sempre o mesmo sinal que a permutação correspondente,
de tal forma que as contribuições ao determinante sempre se somam.
Podemos ainda construir uma matriz $K_q$
multiplicando alguns coeficientes de $K$ por potências de $q$
de tal forma que
\[ \det(K_q) = \sum_T q^{h(T)}. \]
Vejamos um exemplo: na figura abaixo indicamos
os coeficientes a serem introduzidos na matriz $K_q$
perto de cada aresta. 
Assim, a entrada $i,j$ de $K_q$ tem o valor indicado na aresta que liga
o vértice $i$ branco ao vértice $j$ preto,
ou zero se não existir tal aresta
(os vértices são numerados na ordem em que se lê).
Temos
\[ K_q = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & -q^{-1} & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -q & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & q^2 & q^{-2} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -q^{-3} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -q^3
\end{pmatrix} \]
e $\det(K) = q^3 + q^2 + 2 q + 3 + 2 q^{-1} + q^{-2} + q^{-3}$.

% Retangulo assim:
% 1 1 2
% 2 3 3 (1/q, q nesta linha)
% 4 4 5 (q^2 nesta)
% 5 6 6 (q^3 nesta)

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-C.eps}
\end{center} \end{figure}

Estes coeficientes podem ser construidos da seguinte forma:
tome as arestas de uma cobertura e atribua a elas coeficientes
tais que o monômio correspondente traga a contribuição correta
ao determinante de $K_q$.
A seguir, tome uma sub-árvore maximal do grafo contendo todas as arestas
já consideradas na fase anterior e atribua a todas as novas arestas
desta árvore coeficientes arbitrários (por exemplo, sempre 1).
Procure agora um quadrado (i.e., uma posição de flip)
tal que três das arestas já tenham coeficientes e 
atribua à aresta restante um coeficiente tal que o produto
dos coeficientes sobre as duas arestas correspondentes
ao flip positivo seja $-q$ vezes o produto dos coeficientes
sobre as outras duas arestas.
Repita o processo até que todas as arestam tenham recebido coeficientes.

A construção garante que se uma cobertura traz a contribuição correta
a $\det K_q$ então toda cobertura vizinha por um flip
também traz a contribuição correta.
Observe que a paridade da permutação é invertida a cada flip
mas o sinal do produto dos coeficientes das arestas
está sendo devidamente compensado.
Se a região for simplesmente conexa então todas as coberturas
são ligadas por flips, o que demonstra nossa afirmação.

O caso de coberturas por lozangos é análogo,
com a diferença que flips não mais invertem a paridade da permutação.
Assim, para atribuir coeficientes às arestas que não pertencem à árvore
maximal devemos procurar hexágonos tais que cinco das seis arestas
já receberam coeficientes e fazer com que o produto dos coeficientes
das três arestas correspondentes ao flip positivo
seja $q$ vezes o produto dos coeficientes sobre as outras três arestas.


\section{Resultados de contagem}

O método das matrizes de Kasteleyn, exposto na seção anterior,
permite demonstrar vários resultados de contagem ou $q$-contagem
de coberturas de lozangos ou dominós. Selecionamos para serem
enunciados três resultados clássicos deste tipo,
devidos a MacMahon [M], Kasteleyn [K] e
Elkies, Kuperberg, Larsen e Propp [EKLP].


{\nobf Teorema 1.15: {\rm [K]}}
{\sl Considere o retângulo de lados inteiros $a$ e $b$;
seja $N$ o número de coberturas por dominós deste retângulo.
Sejam $\alpha = \exp(2 \pi i/(a+1))$ e $\beta = \exp(2 \pi i/(b+1))$
Então
\[ N^4 = \prod_{i=1\ldots a, j=1\ldots b}
\left({4 + \alpha^i + \alpha^{-i} + \beta^j + \beta^{-j}}\right),
\]
}

Para o próximo teorema, definimos o {\sl diamante asteca} de lado $n$
como sendo a união dos quadrados unitários inteiros
\[ [i,i+1] \times [j,j+1] \subseteq \RR^2 \]
para os quais 
\[ - n - 2 < i+j < n; \]
a figura mostra o diamante asteca de lado 3.

\begin{figure}[ht] \begin{center}
\epsfig{width=5cm,file=q1-E.eps}
\end{center} \end{figure}
% Figura

{\nobf Teorema 1.16: {\rm [EKLP]}}
{\sl Considere o diamante asteca de lado $n$.
Temos
\[ sum_T q^{h(T)} = \prod_{0 \le k < n} (1 + q^{2k+1})^{n-k}. \]
}

As demonstrações destes dois teoremas serão omitidas;
diga-se apenas que eles admitem demonstrações por um método
razoavelmente semelhante ao que usaremos para o Teorema 1.17.
Este método é conhecido como {\sl matrizes de transferência}
(transfer matrices).

{\nobf Teorema 1.17: {\rm [M]}}
{\sl Considere o hexágono de lados inteiros $a, b, c, a, b, c$
com todos os ângulos internos iguais a $2\pi/3$.
Então
\[ \sum_T q^{h(T)} =
\prod_{0 \le i < a, 0 \le j < b, 0 \le k < c}
\frac{q^{i+j+k+2}-1}{q^{i+j+k+1}-1}, \]
onde $T$ varia sobre todas as coberturas por lozangos unitários do hexágono.
}

A figura mostra um hexágono de lados $2, 2, 2$.
Lembramos que a interpretação tridimensional
diz que estas coberturas podem ser interpretadas como pilhas de cubos.

\begin{center}
\epsfig{width=5cm,file=q1-D.eps}
\end{center}

{\nobf Dem: }
Supomos que $a$ é o tamanho do lado vertical e
$b$ é o tamanho do lado seguinte (no sentido anti-horário).
Pelo que vimos nas seções anteriores,
temos
\[ \sum_T q^{h(T)} = \pm q^\ast \det(B) \]
onde $B$ é definida por
\begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-F.eps}
\end{center}
sendo que o sinal e o fator $q^\ast$ estão presentes
para corrigir o valor do monômio correspondente
à cobertura de altura zero.
Os índices para os vértices podem parecer estranhos mas foram
escolhidos de tal forma que se $i > a$ então os vizinhos do vértice
branco $i$ todos têm índices maiores ou iguais a $i$.
Assim a matriz $B$ é da forma
\[
B = \begin{pmatrix}
\ast & \ast & \ast & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
\ast & \ast & \ast & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
\ast & \ast & + & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
\ast & \ast & 0 & + & \cdots & \ast & \ast \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & + & \ast \\
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & 0 & + \\
\end{pmatrix},
\]
onde os $+$ representam entradas da forma $q^\ast$;
i.e., $B$ tem um grande bloco triangular superior
antecedido de $a$ linhas e colunas ``sujas''.

Para calcular o determinante de $B$ bastaria escaloná-la
usando as linhas de baixo para limpar as duas primeiras
linhas sem alterar o determinante, obtendo assim uma matriz $B'$
da forma
\[
B' = \begin{pmatrix}
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\ast & \ast & + & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
\ast & \ast & 0 & + & \cdots & \ast & \ast \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & + & \ast \\
\ast & \ast & 0 & 0 & \cdots & 0 & + \\
\end{pmatrix},
\]
cujo determinante é igual ao do bloquinho $a \times a$
no canto superior esquerdo;
nossa missão é portanto encontrar este bloquinho $\tilde B$.

Mas $B' = XB$ onde $X$ é da forma
\[
X = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \ast & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
0 & 1 & \ast & \ast & \cdots & \ast & \ast \\
0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
\end{pmatrix};
\]
a $i$-ésima linha ($i \le a$) é um vetor $(v_i)^t$ tal que
\[ (v_i)^t B = (\ast \ast 0 0 \cdots 0 0) = ((w_i)^t 0 0 \cdots 0 0), \]
i.e., tal que as $a$ primeiras coordenadas são as únicas não nulas;
chamando estas $a$ primeiras coordenadas de $w_i$ temos
\[ \tilde B =
\begin{pmatrix} (w_1)^t \\ (w_2)^t \\ \vdots \\ (w_a)^t \end{pmatrix} \]
e resta-nos encontrar os vetores $v_i$ e $w_i$.

O vetor $v_i$ associa a cada vértice branco um coeficiente em $\CC(q)$;
a figura mostra $v_1$ no nosso exemplo favorito
(a forma como os coeficientes foram obtidos será explicada a seguir):
\begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-G.eps}
\end{center}
O vetor $(v_i)^t B$, por outro lado,
associa um coeficiente a cada vértice preto.
Para obter o coeficiente de um vértice devemos somar os coeficientes
dos vértices vizinhos multiplicados pelos coeficientes das arestas.
Vejamos $w_1$ no nosso exemplo:
\begin{center}
\epsfig{width=6cm,file=q1-H.eps}
\end{center}
Os coeficientes de $v_i$ podem ser preenchidos obedecendo a ordem
dos vértices brancos.
Inicialmente tomamos os valores obrigatórios nas primeiras
$a$ coordenadas (1 na $i$-ésima coordenada, 0 nas demais).
Depois preenchemos o $j$-ésimo vértice branco ($j > a$)
com o valor necessário para que a $j$-ésima coordenada
de $(v_i)^t B$ seja igual a 0:
a estrutura da matriz $B$ garante que isto é sempre possível
de forma única.
Finalmente, calculamos os primeiros $a$ coeficientes de $(v_i)^t B$,
que nos dão o vetor $w_i$.

Os coeficientes de $B$ foram escolhidos de tal forma
que os coeficientes de $v_i$ são da forma
\[ q^{(i-1)n + \binom{m+1}{2}} \binom{n}{m}_q \]
e o $j$-ésimo coeficiente de $w_i$ é
\[ q^{(b+c)(i-1) + \binom{j}{2}} \binom{b+c}{b-i+j}; \]
Assim, a menos de multiplicar linhas e colunas por potências de $q$,
$\tilde B$ coincide com
\[
\begin{pmatrix}
q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q & q^{\binom{b+1}{2}} \binom{b+c}{b+1}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-1}{2}} \binom{b+c}{b+a-1}_q \\
q^{\binom{b-1}{2}} \binom{b+c}{b-1}_q & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q &
\cdots & q^{\binom{b+a-2}{2}} \binom{b+c}{b+a-2}_q \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
q^{\binom{b-a+1}{2}} \binom{b+c}{b-a+1}_q &
q^{\binom{b-a+2}{2}} \binom{b+c}{b-a+2}_q &
\cdots & q^{\binom{b}{2}} \binom{b+c}{b}_q \\
\end{pmatrix},
\]
a matriz da proposição 1.14 acima.
Como $\det {\tilde B} = \pm q^{\ast} \sum_T q^{h(T)}$,
usando esta proposição temos
\[ \sum_T q^{h(T)} =
\pm q^{\ast}
\prod_{0 \le i < a, 0 \le j < b, 0 \le k < c}
\frac{q^{i+j+k+2}-1}{q^{i+j+k+1}-1}; \]
como o coeficiente de $q^0$ é igual 1 dos dois lados
isto demonstra o teorema.
\qed


\section*{Referências}

{\parindent=0pt \parskip=8pt plus 8pt

{\nobf [CL] }{J. H. Conway and J. C. Lagarias,
{Tilings with polyominoes and combinatorial group theory,}
J. Comb. Theor. {\bf A53}, 183-208 (1990).}

{\nobf [DT] }{G. David and C. Tomei,
{The problem of the calissons,}
Amer. Math. Monthly, {\bf 96}, 429-431 (1989).}

{\nobf [EKLP] }{N. Elkies, G. Kuperberg, M. Larsen and J. Propp,
{Alternating-sign matrices and domino tilings},
Journal of Algebraic Combinatorics, {\bf 1}, 111-132 and 219--234 (1992).}

{\nobf [K] }{P. W. Kasteleyn,
{The statistics of dimers on a lattice I. The number of dimer
arrangements on a quadratic lattice,}
Phisica {\bf 27}, 1209-1225 (1961).}

{\nobf [M] }{P. A. MacMahon,
{Combinatory analysis,} vol. 2, Cambridge University Press, 1916;
reprinted by Chelsea, New York, 1960.}

{\nobf [ST] }{N. C. Saldanha and C. Tomei,
{An overview of domino and lozenge tilings,}
Resenhas IME-USP, {\bf2}(2), 239--252, (1995).}

{\nobf [STCR] }{N. C. Saldanha, C. Tomei,
M. A. Casarin Jr. and D. Romualdo,
{Spaces of domino tilings,}
Discr. Comp. Geom., to appear.}

{\nobf [T] }{W. P. Thurston,
{Conway's tiling groups,}
Amer. Math. Monthly, {\bf 97}, 8, 757-773 (1990).}

}
