
\chapter{O látice de Toda periódico}
% \chapter{O látice de Toda periódico --- uma aplicação de grupos de laços}

Equações (algébricas, diferenciais) que podem ser resolvidas explicitamente
têm sempre algo de elementar ou de surpreendente.
O látice de Toda é um sistema de equações diferenciais não lineares para
o qual existe uma solução bastante explícita,
que aliás não é elementar.
Na verdade, existem várias mutações do látice de Toda,
das quais consideramos duas nesse texto: o caso aberto e o caso periódico.
O caso aberto é mais simples em vários sentidos.
Sua resolução não faz uso de objetos de dimensão infinita
(ou transcendentes), necessários no caso periódico.
Os dois casos são representativos de uma situação freq\"uente:
as equações  são enganadoramente difíceis
porque descrevem a evolução de projeções (não lineares)
de objetos que, por sua vez, evoluem de forma simples.
Para o látice de Toda, essas projeções são descritas em termos
de uma fatoração matricial.
No caso aberto, as matrizes estão em $GL(n,\RR)$.
No caso periódico, o grupo de interesse --- um grupo de laços,
$\LG = {\cal{L}}GL(n,\CC)$  ---
é de dimensão infinita, com muitas propriedades comuns 
com grupos de Lie de dimensão finita. A analogia entre operações
familiares em $GL(n,\RR)$ e suas contrapartidas infinitas é um dos
temas da teoria dos grupos de laços.
Uma excelente referência é [PS].

\section{As equações}

O látice de Toda é um modelo matemático de propagação
de ondas num cristal unidimensional ([T]). 
Sem mais delongas, considere a
hamiltoniana $H(x,y)$ para $(x,y) \in \RR^{2n}$ dada por
$$H(x,y) =
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n y_k^2 +
\sum_{k=1}^{n-1} \exp(x_k - x_{k+1}) + P \exp(x_n - x_1),$$
onde $x_k$ e $y_k$ são respectivamente a posição e a
velocidade da $k$-ésima partícula. A constante $P$
pode ser 0 ou 1: quando $P$ é zero, estamos tratando do
látice {\sl aberto}, e quando $P$ é 1, do látice
{\sl periódico}. A nomenclatura indica se as partículas
$1$ e $n$ estão interagindo ou não. As $n$ partículas
estão em $\RR$, têm todas a mesma massa
e ocasionalmente ultrapassam-se umas às outras. De forma
mais explícita, estamos considerando as equações
\begin{align}
\dot{x_k} &= H_{y_k} = y_k, \quad k=1,\ldots, n,\notag\\
           \dot{y_1} &=-H_{x_1} = P \exp(x_n - x_1) - \exp(x_1 - x_2) \notag\\
   \dot{y_k} &=-H_{x_k} = \exp(x_{k-1} - x_k) - \exp(x_k - x_{k+1}),
\quad k=2,\ldots,n-1, \notag\\
   \dot{y_n} &=-H_{x_n} =  \exp(x_{n-1} - x_n) - P \exp(x_n - x_1), \notag
\end{align}
onde $\dot{f}$ é a derivada no tempo da função $f$.

Os argumentos físicos habituais fornecem duas leis de
conservação para o sistema: a própria hamiltoniana (energia) e
o momento linear (que corresponde à velocidade do
centro de massa do sistema). O primeiro fato milagroso associado
à dinâmica desse sistema, descoberto por Flaschka ([F]), é
que é possível descrever de forma simples $n$ leis de conservação,
tanto para o caso aberto quanto para o caso periódico --- 
isso se faz em dois passos.
No caso aberto, comece mudando de variáveis,
\begin{align}
a_k &= -y_k/2, \quad k=1,\ldots,n \notag\\
          2 b_k &= \exp[(x_k -x_{k+1})/2],\quad  k = 1,\ldots,n-1, \notag
\end{align}
para obter
\begin{align}
\dot{a_1} &= 2b_1^2,\notag\\
           \dot{a_k} &= 2(b_k^2 - b_{k-1}^2), \quad k=2,\ldots,n, \notag\\
           \dot{b_k} &= b_k(a_{k+1} - a_k), \quad k=1,\ldots,n-1.\notag
\end{align}
Perdemos um grau de liberdade no processo: $2n$ variáveis $(x_k,y_k)$
viraram $2n-1$ variáveis $(a_k,b_k)$.
O grau que falta é justamente a conservação do momento linear:
os detalhes que mostram que nada se perdeu no estudo da dinâmica
podem ser encontrados em [To].
Agora, considere as matrizes {\sl tridiagonais}
\[
L = \begin{pmatrix}a_1 & b_1 & 0   & \ldots \\
               b_1 & a_2 & b_2 & \ldots \\
                0  & b_2 & a_3 & \ldots \\
               \ldots&\ldots&\ldots&b_{n-1}\\
               \ldots&\ldots&b_{n-1}&a_n \end{pmatrix}, \quad
  B = \begin{pmatrix} 0 & -b_1 & 0   & \ldots \\
               b_1 & 0 & -b_2 & \ldots \\
                0  & b_2 & 0 & \ldots \\
               \ldots&\ldots&\ldots&-b_{n-1}\\
               \ldots&\ldots&b_{n-1}& 0  \end{pmatrix}.
\]
Uma conta mostra que as equações de evolução das
variáveis $a_k$ e $b_k$ correspondem à evolução matricial
$$\dot{L} = [L,B] = LB - BL.$$

No caso periódico, alterações mínimas do argumento acima
transformam a evolução de $(x,y)$ na equação
\[ \dot{M} = [M,C] = MC - CM, \]
onde $M$ e $C$ são matrizes {\sl tridiagonais periódicas},
\[ M = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & \ldots   & b_n \\
               b_1 & a_2 & b_2 & \ldots & 0   \\
                0  & b_2 & a_3 & \ldots & 0   \\
               \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&b_{n-1}\\
               b_n &  0  &\ldots&b_{n-1}&a_n \end{pmatrix}, \quad
  B = \begin{pmatrix} 0 & -b_1 & 0   & \ldots & b_n\\
               b_1 & 0 & -b_2 & \ldots &   0 \\
                0  & b_2 & 0 & \ldots &   0 \\
               \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&-b_{n-1}\\
               -b_n&0&\ldots&b_{n-1}& 0  \end{pmatrix}.
\]
Note que a diferença entre $L$ e $M$, assim como entre $B$ e $C$,
está nas posições $(1,n)$ e $(n,1)$ das matrizes, 
que apropriadamente vinculam as partículas $1$ e $n$.

As evoluções matriciais têm uma forma especial: $L$ e $M$
evoluem de acordo com {\sl pares de Lax} ([L]), e disso segue
imediatamente que os autovalores de $L$ e $M$ não mudam no tempo,
como veremos mais adiante --- esse fato, descoberto poucos anos antes, 
orientou Flaschka na reformulação das evoluções em $(x,y)$.
Aliás, a conservação de momento e de energia correspondem
à conservação do traço e da soma dos quadrados dos
autovalores de $L$ (ou $M$) (mais detalhes em [To]).

\section{O caso aberto}

{\bf Teorema:}
A solução da equação $\dot{L} = [L,B],\ \  L(0)=L_0,$ 
é dada por
\[ L(t) = [Q(t)]^T L_0 Q(t), \]
onde $Q(t)$ é obtida pela fatoração
\[ \exp(t L_0) = Q(t) R(t), \]
em que a matriz $Q(t)$ é ortogonal e $R(t)$ é triangular
superior com diagonal positiva.

Esse procedimento se encontra em [S] e [STS].

\smallskip

{\nobf Demonstração: }
 Derivando as duas equações, obtemos
\begin{align}
\dot{L}(t) &= [\dot{Q(t)}]^T L_0 Q(t) + [Q(t)]^T L_0 \dot{Q(t)},\notag\\
L_0 \exp(tL_0) &= \dot{Q}(t)R(t) + Q(t)\dot{R}(t),\notag
\end{align}
das quais segue que
\begin{align}
\dot{L}(t) &= L(t) [Q(t)]^T\dot{Q}(t) + [\dot{Q}(t)]^T Q(t)L(t),\notag\\
L(t) &= [Q(t)]^T \dot{Q}(t) + \dot{R}(t)[R(t)]^{-1}. \notag
\end{align}
Como $Q(t)$ é uma curva de matrizes ortogonais, as matrizes 
tangentes $[Q(t)]^T\dot{Q}(t)$ são
anti-simétricas. 
Como $R(t)$ é uma curva de matrizes triangulares superiores,
$\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}$ também o são. Assim, a segunda equação
descreve uma decomposição de $L(t)$ numa soma de matrizes
anti-simétrica e triangular superior. Isso se realiza
de maneira única para uma matriz arbitrária $A$. Escreva
$A = A_- + A_0 + A_+$, onde $A_-$ é triangular inferior, $A_0$ é
diagonal e $A_+$ é triangular superior. Então
$$A = \Pi_{anti} A + \Pi_{sup} A =
(A_- - (A_-)^T) + (A_0 + A_+ + (A_-)^T).$$
No caso de $L(t)$,
$$ \Pi_{anti} L(t) = [Q(t)]^T \dot{Q}(t), \quad
   \Pi_{sup} L(t) =\dot{R}(t)[R(t)]^{-1}.$$
Agora, note que $\Pi_{anti} L(t) = B(t)$.
Assim, mostramos que $\dot{L}(t) = L(t) B(t) - B(t) L(t).$
\qed

A existência de uma fatoração $\exp{tL_0} = Q(t)R(t)$ com as
propriedades exigidas para $Q$ e $R$ é fácil de justificar:
$Q$ é obtida aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt
às colunas de $\exp{tL_0}$. O método não encontra obstruções
porque $\exp{tL_0}$ é inversível.
Unicidade também não é difícil: suponha $QR = Q_oR_o$.
Então $(Q_o)^{-1}Q = R_oR^{-1},$
já que as quatro matrizes são inversíveis.
Mas dessa equação aprendemos que os dois lados são
matrizes ortogonais, triangulares superiores, com diagonais
positivas: não restam muitas --- $(Q_o)^{-1}Q = R_oR^{-1} = I$.

A solução explícita deixa claro que os autovalores de $L(t)$
são leis de conservação. Entretanto a preservação da forma
tridiagonal de $L(t)$ não se vê diretamente da fórmula. O leitor
pode encontrar uma outra solução explícita, bifurcando no
momento adequado das contas acima, na qual $L(t)$ é descrita como 
uma conjugação de $L_0$ por uma matriz traingular superior ---
por essa expressão, a forma tridiagonal de $L(t)$ é obviamente mantida, 
mas não a simetria.
 
Existem muitas outras equações que são resolvidas por esse
processo. De maneira mais geral, considere, para matrizes
simétricas arbitrárias $S$ e um polinômio $p(x)$ fixo, a equação
$$\dot{S} = [S,\Pi_{anti}(p(S))], \quad S(0) =S_0.$$
Sua solução é $S = Q^T S_0 Q,$ onde $Q = Q(t)$ é obtida
pela fatoração $\exp(tp(S_0)) = QR.$ A verificação dessa afirmação
é idêntica à feita para o caso anterior, em que $p(x) = x$
e a condição inicial era tomada tridiagonal, por razões estritamente
físicas. O caso $p(x) = \log(x)$ é especialmente interessante
pelas suas relações com análise numérica ([DLT]) --- 
como o fluxo preserva autovalores, ao longo de sua órbita a matriz 
$\log(S(t))$ coincide com um polinômio fixo $p(S(t))$.

Mais, todos esses fluxos comutam entre si, indicação
de outra estrutura que não vamos considerar:
essas equações são induzidas por hamiltonianas comutando entre si
para uma escolha adequada de espaço de fase.
Matrizes tridiagonais com traço constante podem ser
descritas como órbitas coadjuntas
(e, como tais, variedades simpléticas)
associadas à ação do grupo triangular sobre si mesmo.
Em particular, isso fornece uma razão
geométrica para a invariância da forma tridiagonal na evolução.

Existe uma equação análoga para matrizes arbitrárias ([DLT1]),
para a qual existe também uma solução explícita e uma
interpretação como sistema completamente integrável (pelo menos
para condições iniciais genéricas). Um último fato muito
interessante associado à equação original é a convergência
de $L(t)$ a uma matriz diagonal quando $t \to \pm \infty$, demonstrada 
por Moser [M].

\section{O caso periódico}

Vamos agora explicitar uma solução para a equação 
$\dot{M} = [M,C]$. A técnica a seguir foi desenvolvida por
Adler e van Moerbeke [AM], e é uma área de pesquisa 
intensa.
Apesar da analogia formal entre as equações nos dois casos, existe
uma diferença substancial: $C$ não é $\Pi_{anti}M$, porque
as posições nos cantos têm  sinais trocados.
Isso leva a procurar um outro grupo $G$ para o qual
uma fatoração conveniente esteja relacionada a esta nova equação.
Considere o {\sl grupo de laços}, $\LG = {\cal{L}}GL(n,\CC)$,
consistindo de funções suaves $f:\SS^1 \to GL(n,\CC)$
do círculo unitário para as matrizes inversíveis complexas,
com multiplicação definida ponto a ponto.
A série de Fourier de uma função assim é da forma
\[ f(z) = \ldots + \frac{f_{-2}}{z^2} + \frac{f_{-1}}{z} + a_0 +
f_1 z + f_2 z^2 + \ldots, \]
onde os coeficientes $a_n$ são matrizes decaindo rapidamente quando
$|n| \to \infty$.
O grupo ortogonal e o grupo de matrizes triangulares superiores
são substituídos pelo subgrupo $\LU$ de laços
$f:\SS^1 \to U(n,\CC)$ tomando valores sobre matrizes unitárias,
e o subgrupo $\LpG$ dos laços que admitem continuação analítica
para o interior do disco unitário consistindo de matrizes inversíveis
e que sejam triangulares superiores com diagonal positiva em $z=0$.

Para começar, não é claro, mas é verdade, que $\LG = \LU\  \LpG$.
O resultado que faz o papel da ortogonalização de Gram-Schmidt 
nesse caso pode ser encontrado em [PS]
(e continua sendo Gram-Schmidt no contexto adequado).
O resultado é mais estrito: os dois termos da fatoração dependem
suavemente do laço inicial, e herdam a mesma suavidade --- em
particular, suas séries de Fourier decaem com a mesma intensidade.
A demonstração de unicidade com as exigências de normalização
feitas acima é um pouco diferente da habitual: vamos a ela.
Suponha que o laço $L(z)$ admita duas fatorações desse tipo,
\[ L(z) = U(z)R(z) = V(z) S(z). \]
Então
\[ L^*(z)L(z) = R^*(z)R(z) = S^*(z)S(z), \quad z\in \SS^1, \]
onde a estrela é a operação matricial habitual, e da\'\i
\begin{equation}
(S^*)^{-1}(z)R^*(z)
= S(z)R^{-1}(z), \quad z\in\SS^1, \tag{$\ast$}
\end{equation}
na qual o lado direito tem uma continuação analítica (inversível)
para o interior do disco unitário, e o lado esquerdo pode ser
escrito como
\[ (S^*)^{-1}(z)R^*(z) = (S^*)^{-1}({\overline{1/z}})R^*({\overline{1/z}}),
\quad z\in \SS^1. \]
A segunda representação obviamente tem uma continuação analítica
para {\sl fora} do disco unitário, que pode até ser estendida
para $z = \infty$. Então os dois lados da equação $(\ast)$
descrevem um laço que admite continuação analítica
para dentro e fora do círculo  unitário,
limitada em todo $\CC$ --- por Liouville,
\[ S(z) = C R(z), \quad |z| \le 1, \]
onde $C$, uma matriz constante,
tem que ser triangular superior com diagonal positiva para $z = 0$.
Assim, todas as fatorações do laço original são da forma
$$L(z) = U(z) C^{-1} C R(z), \quad z\in \SS^1,$$
para $U(z) C^{-1}$ unitária, o que obriga $C$ a ser também unitária ---
mais uma vez, não há muitas escolhas: $C=I$, e fica mostrada a
unicidade da fatoração.

Formalmente, a decomposição do grupo induz uma decomposição aditiva
na álgebra de Lie associada $\LAG$, que consiste de séries
$$a(z) = \ldots + \frac{a_{-2}}{z^2} + \frac{a_{-1}}{z} + a_0 +
a_1 z + a_2 z^2 + \ldots$$
sem a exigência de invertibilidade de $a(z), z \in \SS^1$.
A sub-álgebra $\LAU$ associada ao subgrupo $\LU$
consiste de elementos da forma
\[ \ldots + \frac{a_{-2}}{z^2} + \frac{a_{-1}}{z} + a_0 
-a_{-1}^* z - a_{-2}^* z^2 + \ldots, \]
com $a_0$ anti-hermitiana. A sub-álgebra $\LApG$ de $\LpG$ tem
por elementos
\[ a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \ldots, \]
onde agora $a_0$ é triangular superior. \'E claro que existe uma única
decomposição da álgebra $\LAG$, dada por
\[ a = \Pi_{anti} a +\Pi_{sup} a, \] onde
\begin{align}
\Pi_{anti} a &=
\ldots + \frac{a_{-2}}{z^2} + \frac{a_{-1}}{z} + (\Pi_{anti} a_0 )
-a_{-1}^* z - a_{-2}^* z^2 + \ldots, \notag\\
\Pi_{sup} a &=
(\Pi_{sup} a_0) +
(a_1 + a_{-1}^*) z + (a_2 + a_{-2}^*) z^2 + \ldots. \notag
\end{align}

Bom, esse é o grupo de interesse --- resta ver porque.
Para começar, interprete a equação original, 
$\dot{M} = [M,C]$, como um caso
especial da família de equações
$$\dot{L}(t,z) = [L(t,z),B(t,z)], \quad z \in \SS^1,$$
onde
\[
L(t,z) = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & \ldots   & z^* b_n \\
               b_1 & a_2 & b_2 & \ldots & 0   \\
                0  & b_2 & a_3 & \ldots & 0   \\
               \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&b_{n-1}\\
              z b_n &  0  &\ldots&b_{n-1}&a_n \end{pmatrix}
\]
e
\[
B(t,z) = \begin{pmatrix} 0 & -b_1 & 0   & \ldots &  z^* b_n\\
               b_1 & 0 & -b_2 & \ldots &   0 \\
                0  & b_2 & 0 & \ldots &   0 \\
               \ldots&\ldots&\ldots&\ldots&-b_{n-1}\\
               -z^* b_n&0&\ldots&b_{n-1}& 0  \end{pmatrix}.
\]
Obviamente, $M = M(t) = L(t,1), B = B(t) = B(t,1).$ O fato
surpreendente é que, para resolver essa única equação, vale a
pena considerar (e resolver) {\sl todas} as equações juntas. O
acoplamento das equações só aparece no processo de solução:
vem das exigências de analiticidade nas decomposições
tanto a nível de grupo quanto da álgebra.

Note que para cada $z \in \SS^1,$
a forma de par de Lax das equações tem por conseqüência a
preservação do espectro de $L(t,z)$, quando $t$ varia. Isso
faz pensar que obtivemos uma quantidade enorme de
leis de conservação para a equação de interesse, mas essas
leis são altamente dependentes: o leitor está convidado
a estudar o espectro da matriz tridiagonal periódica hermitiana $L(0,z)$
para valores diferentes de $z \in \SS^1$. 

Mais interessante é o fato que
as leis de conservação, independentes ou não, ganharam uma
interpretação geométrica:
as raízes de $p(z,\lambda) = \det(L(t,z) - \lambda I)$
não dependem do tempo --- a superfície de Riemann associada
a $p(z, \lambda) = 0$ expressa as leis de conservação.
Isso não vem ao caso no momento: vamos em vez descrever a
solução do látice de Toda periódico por meio da
fatoração no grupo de laços.
\smallskip
\noindent
{\bf Teorema:}
A solução da equação 
$\dot{L}(t,z) = [L(t,z),B(t,z)],\ \  L(0,z)=L_0(z),
z\in\SS^1,$ é dada por
\[ L(t,z) = [U(t,z)]^* L_0(z) U(t,z), \]
onde $U(t)$ é obtida pela fatoração
\[ \exp(t L_0(z)) = U(t,z) R(t,z), \]
em que $U(t,z) \in \LU$ e $R(t,z) \in \LpG$.

\smallskip

{\nobf Demonstração: }
Imitando as contas do caso aberto, é só verificar que as
fatorações foram bem escolhidas. Derivando as duas evoluções,
\begin{align}
\dot{L}(t,z) &= [\dot{U}(t,z)]^* L_0 U(t,z) + [U(t,z)]^* L_0 \dot{U}(t,z),\notag\\
L_0 \exp(tL_0) &= \dot{U}(t,z)R(t,z) + U(t,z)\dot{R}(t,z),
\quad z \in \SS^1, \notag
\end{align}
e da\'\i, sempre para $z \in \SS^1$,
\begin{align}
\dot{L}(t,z) &=
L(t,z) [U(t,z)]^*\dot{U}(t,z) + [\dot{U}(t,z)]^* U(t,z)L(t,z),\notag\\
L(t,z) &= [U(t,z)]^* \dot{U}(t,z) + \dot{R}(t,z)[R(t,z)]^{-1}. \notag
\end{align}
Como $U(t,z)$ é unitária, o laço \[ [U(t,z)]^*\dot{U}(t,z) \]
consiste de matrizes anti-hermitianas.
Por sua vez, $R(t,z)$ admite uma continuação analítica para o
interior do círculo unitário, que na origem é igual a uma
matriz triangular superior: o mesmo vale para
$\dot{R}(t,z)[R(t,z)]^{-1}$. Assim, a segunda equação
descreve a decomposição de $L(t,z)$ numa soma de laços nas
sub-álgebras $\LAU$ e $\LApG$,
\[ L(t,z) = \Pi_{anti} L(t,z) + \Pi_{sup} L(t,z), \]
onde
\[  \Pi_{anti} L(t,z) = [U(t,z)]^* \dot{U}(t,z), \quad
   \Pi_{sup} L(t,z) =\dot{R}(t,z)[R(t,z)]^{-1}.\]
Agora, a justificativa de toda a construção:
$\Pi_{anti} L(t,z) = B(t,z)$.
Logo, mais uma vez, $\dot{L}(t,z) = L(t,z) B(t,z) - B(t,z) L(t,z).$
\qed

A partir daqui, muitos caminhos bifurcam. Mais  do que no caso
aberto, é difícil ver que a construção preserva a forma
tridiagonal periódica de $L(t,z)$. E mais  uma vez, existe
uma interpretação das equações como sistemas integráveis em
órbitas coadjuntas (associadas a um grupo de laços).
Apesar do espaço ambiente ser de dimensão infinita,
as órbitas de interesse são de dimensão finita.
A dualidade necessária para identificar o dual da álgebra
entretanto requer um certo cuidado técnico [DLT2].
Assim, novamente a invariância temporal da forma do laço 
admite uma interpretação geométrica, como no caso de dimensão finita,
devida essencialmente à forma especial da órbita coadjunta
em que se encontra a condição inicial $L_0(z)$. E como no caso
de dimensão finita, existe uma família de equações,
parametrizada por polinômios, que são resolvidas pela mesma
fatoração, e cujos fluxos induzidos comutam entre si.

Uma alternativa para a solução do látice de Toda periódico,
historicamente anterior, e igualmente interessante, é devida
a Kac e Van Moerbeke [KM]. O laço $L(t,z)$ induz  um divisor $D(t)$ na
superfície de Riemann mantida fixa pela evolução. A
imagem desse divisor pelo mapa de Jacobi descreve uma linha
reta na imagem: nesse processo, as variáveis que linearizam
a família de fluxos integráveis aparecem naturalmente.

\section*{Referências}

\noindent
[AM] Adler, M., Van Moerbeke, P., {\sl Completely integrable systems, 
Euclidean  Lie algebras and curves,} Adv. in Math. 38 (1980), 267-317.

\noindent
[DNT] Deift,P., Li, L.C., Tomei, C., {\sl Symplectic aspects of some 
eigenvalue algorithms}, em Important Developments in Soliton Theory, eds.
A. Fokas e V. Zakharov, Springer-Verlag, 1993, 511-536. 

\noindent
[DLT1] Deift, P., Li, L.C., Tomei, C., {\sl Matrix factorizations and
integrable systems}, Comm. Pure  Appl. Math. 49 (1989), 443-521. 

\noindent
[DLT2] Deift,P., Li, L.C., Tomei, C., {\sl  Loop groups, discrete versions
of some classical integrable systems and rank 2 extensions}, Memoirs 
of the AMS 479 (1992).

\noindent
[F] Flaschka, H., {\sl The Toda Lattice I}, Phys. Rev. B 9 (1974),
1924-1925.

\noindent
[KM] Kac., M., Van Moerbeke, P., {\sl A complete solution of the 
periodic Toda problem}, Proc. nat. Acad. Sci. USA, 72, 8 (1975), 
2879-2880.

\noindent
[L] Lax, P., {\sl Integrals of nonlinear equations of evolution and
solitary waves}, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 467-490.

\noindent
[M] Moser, J., {\sl Finitely many mass points on the line 
under the influence of an exponential potential --- an integrable system},
Dynamic Systems Theory and Applications (ed. J. Moser), 
Lecture Notes in Physics 38 (1975), 467-497.

\noindent
[PS] Pressley, A., Segal, G., {\sl Loop Groups}, Oxford University Press
(1986), Oxford.

\noindent
[S] Symes, W., {\sl Hamiltonian group actions and integrable systems},
Physica 1D (1980),339-374.

\noindent
[T] Toda, M., {\sl Wave propagation in anharmonic lattices}, J. Phys.
Soc. Japan, 23 (1967), 501-506.

\noindent
[To] Tomei, C., Fluxos de Matrizes, $15^o$ Colóquio Brasileiro de
Matemática.

