




\chapter{A integral de Kontsevich}

Em {\bf [Ko]} Kontsevich definiu um invariante de nós, usando integrais
múltiplas, e mostrou que o invariante é o 
``melhor possível'' invariante de tipo finito. A classe dos invariantes 
de tipo finito inclui muitos invariantes já conhecidos, entre eles todos 
os invariantes definidos a partir de grupos quânticos.

O objetivo aqui é de descrever uma versão do invariante de Kontsevich 
devido a Roger Picken {\bf [P]}. Este invariante é um pouco mais fraco que o 
invariante de Kontsevich mas tem a vantagem de ser mais fácil de se 
calcular. A idéia atrás do invariante é a seguinte. Primeiro o nó
em questão é representado por uma trança. Tranças correspondem a 
caminhos fechados no espaço de configuracões (finitas) de pontos no 
plano e o invariante é construido a partir de transporte paralelo com 
respeito a uma certa conexão plana (conexão de Knizhnik-Zamolodchikov) 
no espaco de configuracões.

\section{Tranças}

Será conveniente representar o espaço tridimensional como $\CC \times \RR$ 
com coordenadas $(z,t)$ onde $z=x+iy$ e $t \in \RR$.
Sejam $z_1, z_2, \ldots, z_n$ aplicacões suaves do intervalo $[0,1]$ em $\CC$
tais que os gráficos dos $z_j$
(ou seja as curvas $(z_j(t),t)$ em $\CC\times [0,1]$) são 
disjuntas e encontram os planos $\CC\times 0$ e $\CC \times 1$
em $\{1,2, \ldots,n\} \times 0$ e $\{1,2,\ldots, n\}\times 1$.
Uma {\sl  $n$-trança} é uma união (disjunta) de $n$ tais gráficos
(os {\sl fios} da trança).
Cada fio liga um ponto $(j,0)$ a um ponto 
$(S(j),1)$ onde $j=1,2,\ldots,n$ e $S$ é uma permutacão de 
$\{1,2, \ldots,n\}$. Por exemplo, a $2$-trança $\sigma_1$ é dada por 
\[
z_1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}e^{\pi i t}, \qquad 
z_2 = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}e^{\pi i t}. 
\]
Mais geralmente, na trança $\sigma_j$, dois 
dos fios são dados por \[ \frac{2j+1}{2} \pm \frac{1}{2} e^{\pi i t}, \]
os outros fios sendo todos verticais (ou seja da forma $j \times [0,1]$).

Se $b_s$ é uma família contínua de tranças, onde $s \in [0,1]$ então 
as tranças $b_0$ e $b_1$ são chamadas de {\sl equivalentes}.

Se $b$ e $c$ são duas tranças, onde $b$ é definida por $w_1,w_2, \ldots ,w_n$
e $c$ é definida por $z_1,z_2, \ldots ,z_n$ então o {\sl produto} $bc$ é 
a trança definida por $z_j(2t)$ se $0 \le t \le 1/2$ e por $w_j(2t-1)$ 
se $1/2 \le t \le 1$. Em outras palavras, $b$ e $c$ são comprimidos por 
um fator $1/2$ na direção $t$ é então $b$ é colocada em cima de $c$.  

A {\sl inversa} $b^{-1}$ de uma trança $b$ é obtida refletindo $b$ no 
plano $\CC \times 1/2$, ou seja usando as funções $z_j(1-t)$ no lugar 
de $z_j(t)$.

As classes de equivalência das $n$-tranças formam um grupo $B_n$ com elemento 
neutro a trança cujos fios são todos verticais.
A demonstração (bastante trabalhosa) de que $B_n$ 
é um grupo lembra a demonstração de que o grupo fundamental é um grupo. 
De fato, $B_n$ é o grupo fundamental do espaço $X_n$ das configurações 
de $n$ partículas (não ordenadas) no plano. Mais precisamente, se  $C_n$ 
é o aberto de $\CC^n$ que consiste de todos os $(z_1,z_2, \ldots ,z_n)$ 
tais que $z_i \neq z_j$ se $i \neq j$ então $X_n$ é o quociente de $C_n$ 
pela ação do grupo simétrico $S_n$. O ponto base de $X_n$ é 
$\{1,2, \ldots ,n\}$ e as funções $z_i(t)$ que definem uma $n$-trança também 
definem um caminho $\{z_1(t), \ldots , z_n(t)\}$ em $X_n$ com pontos 
iniciais e finais iguais ao ponto base. 

O grupo $B_n$ é gerado por $\sigma_1,\sigma_2, \ldots ,\sigma_{n-1}$. As 
relações $\sigma_i \sigma_j= \sigma_j \sigma_i$ (se $|i-j| \neq 1$) 
e $\sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1}$ 
podem ser facilmente verificadas e, de fato, toda relação entre os 
geradores $\sigma_i$ é conseqüência destas relações. 

Todo nó em $\RR^3$ é equivalente a (isto é, pode ser deformado continuamente 
em) um nó que sempre gira na mesma direção em torno de um determinado 
eixo (teorema clássico de Alexander, que vale também para enlaçamentos, 
ou seja nós com mais que uma componente conexa). É fácil deduzir que 
todo nó ou enlaçamento orientado é equivalente ao fecho de uma trança. 
O {\sl fecho} de uma n-trança é o nó ou enlaçamento obtido unindo as 
extremidades da trança por $n$ curvas disjuntas no plano $y=0$. 
Alternativamente, o fecho pode ser visto como a imagem da trança pela 
aplicação de $\RR^2 \times [0,1]$ em $\RR^3$ que leva o ponto $(x,y,t)$ 
em $(x,y,u)$ onde $u+iv = e^{2\pi(x+it)}$. 

Para cada nó existem infinitas tranças cujos fechos são equivalentes 
ao nó. Por exemplo, se $b_1$ e $b_2$ são duas tranças é fácil ver que 
os fechos de $b_1b_2$ e $b_2b_1$ são equivalentes como nós. Outro 
exemplo: se a $n$-trança $b$ está contida em $\{x \le n\}$ então a união de 
$b$ com o fio vertical $n+1 \times [0,1]$ é uma $n+1$-trança $b^\ast$ 
e os fechos de $b^+=\sigma_n b^\ast$ , $b^-=\sigma_n^{-1} b^\ast$ 
e $b$ são todos equivalentes como nós. 

Se $I(K)$ é um invariante de nós (isto é: $I(K)=I(L)$ se $K$ e $L$ são 
equivalentes) então o valor de $I$ é igual para os fechos de $b$, $b^+$ 
e $b^-$. A recíproca também vale (Teorema de Markov). Seja $J(b)$ um 
invariante de tranças (isto é $J(b_1)=J(b_2)$ se $b_1$ e $b_2$ são 
equivalentes como tranças). Se (Markov I) para todas $n$-tranças $c_1$ 
e $c_2$ temos $J(c_1 c_2)=J(c_2 c_1)$ e (Markov II) para toda $n$-trança 
$b$ contida em $\{x \le n\}$ temos que $J(b^+)=J(b)=J(b^-)$ então $J$ 
define um invariante $I$ de nós pela regra $I(\fecho(b))=J(b)$.

Uma maneira de se construir invariantes de tranças é usando transporte 
paralelo, como segue.

\section{Monodromia} 
    
Considere primeiro o exemplo prototípico de transporte paralelo, a 
EDO matricial \[ \frac{dW}{dt}=A(t)W(t) \] com 
condição inicial $W(0)=I$ (identidade). $A(t)$ é uma função suave 
do intervalo $[0,1]$ nas matrizes reais $N \times N$. Existe uma 
única solução (suave) $W(t)$. Transporte paralelo leva um $N$-vetor 
$v$ no vetor $W(1)v$.

Numa variedade $M$ podemos definir transporte paralelo ao longo de 
caminhos suaves em $M$ usando uma 1-forma em $M$ com valores matriciais. 
A forma $\Omega$ consiste de aplicações lineares dos espaços tangentes 
de $M$ nas matrizes $N \times N$. Dado um caminho $\sigma:[0,1] \to M$, 
temos a equação \[ \frac{dW}{dt}=\Omega(\frac{d\sigma}{dt})W(t) \] com
condição inicial $W(0)=I$.

Seja $T_\sigma$ a matriz inversivel $W(1)$ (transporte paralelo ao 
longo de $\sigma$). Se $\sigma$ e $\tau$ são caminhos em $M$ tais 
que $\sigma(0)=\tau(1)$ então o caminho $\sigma \tau$ é definido 
por $\tau(2t)$ para $0 \le t \le 1/2$ e $\sigma(2t-1)$ para 
$1/2 \le t \le 1$. Pela unicidade de soluções de EDO's, temos que 
$T_{\sigma \tau} = T_{\sigma} T_{\tau}$. 

Se a 1-forma é plana (flat) então pequenas variações do caminho, 
fixando os pontos iniciais e finais não afetam $T_{\sigma}$. Em outras 
palavras, $T_{\sigma}$ é invariante por homotopias do caminho $\sigma$ 
que fixam $\sigma(0)$ e $\sigma(1)$. Obtemos assim um homomorfismo 
(a {\sl monodromia}) do grupo fundamental de $M$ nas matrizes $N \times N$ 
inversíveis.

No artigo {\bf [KZ]}, os físicos Knizhnik e Zamolodchikov definiram uma conexão 
plana em $C_n$ pela fórmula \[\frac{1}{2 \pi i}\sum_{i<j} 
\frac{dz_i-dz_j}{z_i-z_j} A_{ij}\] onde, para $1 \le i < j \le n$, os 
$A_{ij}$ são matrizes constantes complexas $N \times N$ que satisfazem 
as relações
\begin{itemize}
\item{$[A_{ij},A_{kl}]=0$ se $i,j,k,l$ sao distintos}  
\item{$[A_{ij},A_{jk}] = [A_{jk},A{ik}] = [A_{ik},A_{ij}]$ onde $i<j<k$. }
\end{itemize}
Aqui, $[A,B]$ significa o colchete $AB-BA$.

Estas relações e propriedades das formas $(dz_i-dz_j)/(z_i-z_j)=
d \log(z_i-z_j)$ garantem que a conexão  é plana, ou seja que a 2-forma 
de curvatura da conexão é identicamente nula. A verificação deste fato 
pode ser encontrada no livro {\bf [Ka]}, capítulo XIX. 

Voltando à situação geral, o transporte paralelo $T_\sigma$ pode ser 
visto como limite de produtos de matrizes. Considere primeiro a equação 
\[ \frac{dW}{dt}=A(t)W(t).\]
Temos que \[ W(t+\Delta t)-W(t) \approx \Delta t A(t)W(t) \] ou seja
\[ W(t+\Delta t) \approx [I+\Delta t A(t)]W(t). \] 
Então W(1) deveria ser o limite quando $m \to \infty$ do produto
\[(I+\Delta t_1 A(t_1)) (I+ \Delta t_2 A(t_2)) \cdots 
(I+ \Delta t_m A(t_m)) \]
onde 
$ 1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0 $
e 
$\Delta t_1 = 1-t_1, \Delta t_2 = t_1 - t_2, \cdots$.
Este produto 
pode ser re-escrito na forma \[ I+\sum _i \Delta t_i A(t_i)+
\sum_{i<j}\Delta t_i \Delta t_j A(t_i)A(t_j)+ \cdots \] ou seja 
\[ W(1)=I+\int A(t_1)dt_1 + \int\int A(t_1) A(t_2) dt_1 dt_2 + \cdots, \]
os limites de integração no termo geral sendo $1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0$ 
(ou seja $(t_1,t_2, \cdots ,t_m)$ pertence a um simplexo aberto apropriado). 
Por exemplo, para $A$ constante, é fácil verificar que o resultado é 
$I+A+A^2/2+ \cdots = \exp(A)$, como deveria ser.

No caso da conexão KZ, a fórmula para o transporte paralelo é
\[ I + \frac{1}{2 \pi i} \int 
\sum _{i<j} dl_{ij}(t_1)A_{ij} + \left(\frac{1}{2\pi i}\right)^2
\int \!\!\! \int 
\sum_{i<j}\sum_{k<l} dl_{ij}(t_1) dl_{kl}(t_2) A_{ij} A_{kl}+ \cdots \] 
onde $l_{ij}(t) = \log(z_i(t) - z_j(t))$.

Se $b$ é uma trança, a cada produto $A_{ij}A_{kl} \cdots A_{uv}$ (de
$m$ fatores) corresponde um conjunto de $m$ pares de pontos em $b$ (um 
par para cada $t_i$)  
\[ \begin{matrix}
 (z_i(t_1),t_1),(z_j(t_1),t_1) \\
 (z_k(t_2),t_2),(z_l(t_2),t_2) \\
 \cdots \\
 (z_u(t_m),t_m),(z_v(t_m),t_m)
\end{matrix} \]
onde $1>t_1>t_2> \cdots >t_m>0$.
Este é um exemplo de um diagrama em $b$. O invariante será definido 
re-escrevendo a fórmula $I+\cdots$ acima em termos de diagramas. 

\section{Diagramas}

Seja $b$ uma trança. Um {\sl par} em $b$ consiste de dois pontos 
distintos em $b \cap \CC \times (0,1)$ (não necessariamente no mesmo 
nivel. Um {\sl $m$-diagrama} (chord diagram) em $b$ consiste de $m$ pares 
disjuntos em $b$. Dois diagramas em $b$ são {\sl equivalentes} se 
existe um difeomorfismo de $b$ fixando as extremidades de $b$ e 
levando um diagrama no outro. Por exemplo, numa $1$-trança, todos os
$1$-diagramas são equivalentes e há exatamente três classes de 
equivalencia de $2$-diagramas. Um diagrama numa $1$-trança pode ser 
representado por uma palavra $a_1a_2 \ldots a_{2m}$ (lendo de cima
para baixo). Cada par é representado por uma letra. Assim os três 
tipos de $2$-diagramas numa $1$-trança são $aabb$, $abab$ e $abba$. Observe 
que $aabb$ e $bbaa$ representam o mesmo diagrama.

Seja $D_m(b)$ o conjunto (finito) das classes de equivalência de 
$m$-diagramas em $b$ e $\CC D_m(b)$ o $\CC$-espaço vetorial das combinações 
$\CC$-lineares formais (finitas) de elementos de $D_m(b)$.

Se $\alpha \in D_m(b_1)$ e $\beta \in D_n(b_2)$ então o {\sl produto}
$\alpha \beta \in D_{m+n}(b_1b_2)$ é definido da maneira óbvia, colocando 
$\alpha$ em cima de $\beta$. Este produto se estende linearmente a um 
produto $\CC D_m(b_1) \times \CC D_m(b_2) \to \CC D_{m+n}(b_1b_2)$.

Seja agora $D$ um diagrama em $b$ e $xx$,$yy$ dois pares de $D$. Retire 
um dos $x$'s  e insira-o imediatamente abaixo de (resp acima de) cada 
um dos $y$'s, obtendo assim diagramas $D_1$, $D_2$ (resp $D_3$ e $D_4$). 
Por exemplo, se (numa $1$-trança) $D = abcadbdc$, podemos escolher os 
pares $bb$ e $dd$, obtendo assim $D_1 = abcadbdc$ , $D_2 = acadbbdc$ , 
$D_3 = acadbbdc$ e $D_4 = acadbdbc$. Uma {\sl relação 4T} é uma relação 
em $\CC D_m(b)$ do tipo \[D_1 + D_2 - D_3 - D_4. \] 

Definimos $A_m(b)$ a ser o quociente do $\CC$-espaço vetorial pelo 
subespaço gerado pelas relações 4T.

Como o produto de uma relação 4T com um diagrama é uma relação 4T,
o produto de diagramas induz um produto
\[A_m(b_1) \times A_n(b_2) \to A_{m+n}(b_1 b_2) \] e 
consequentemente a um produto \[ A(b_1) \times A(b_2) \to A(b_1 b_2). \]
Por definição, $A(b)$ consiste de somas infinitas formais
$x_0+x_1+x_2+ \ldots$ 
onde $x_m$ pertence a $A_m(b)$ para $0 \le m$. Observe que $A_0(b)$ é 
isomorfo a $\CC$, gerado pelo diagrama vazio, denotado por $1$. 

Da mesma maneira podemos definir $D_m(S^1)$ (onde $S^1$ é o círculo) 
como m-diagramas em $S^1$ módulo difeomorfismos de $S^1$ que preservam 
a orientação de $S^1$ e $A_m(S^1)$ como o quociente de $\CC D_m(S^1)$ 
pelo subespaço gerado pelas relações 4T. Um elemento de $D_m(S^1)$ pode 
ser representado por uma palavra cíclica composta de $m$ pares de 
letras diferentes. Por exemplo, como palavras cíclicas, as seis 
palavras $abcbca, bcbcaa, \ldots, aabcbc$ representam a mesma palavra 
cíclica, ou seja o mesmo elemento de $D_3(S^1)$.

De fato, $A(S^1)$ não é só um $\CC$-espaço vetorial mas uma $\CC$-álgebra. 
O produto é dado (aparentemente de forma ambígua) por juxtaposição 
de palavras. Por exemplo, o produto de $abba$ e $xyxy$ é $abbaxyxy$. 
Mas, usando as relações 4T, temos \[xabbayxy+abbxayxy=axbbayxy+abbaxyxy\] 
\[axbbayxy+abxbayxy=abxbayxy+abbxayxy.\] Segue-se que, em $A_4(S^1)$, 
\[abbaxyxy=xabbayxy.\] Mas, tratando-se de palavras cíclicas, 
\[xabbayxy=abbayxyx.\] Consequentemente \[abbaxyxy=abbayxyx.\] 
Continuando assim, vemos que, módulo as relações 4T, o produto em $A(S^1)$ 
é bem definido. É claro que o produto é comutativo. Por exemplo, 
\[abbaxyxy=xyxyabba\] simplesmente porque as duas palavras representam a mesma 
palavra cíclica. 

Embora a dimensão de $A_m(S^1)$ cresce muito rapidamente com $m$, é 
fácil ver, pelo menos, que $A_1(S^1)$ e $A_2(S^1)$ e $A_3(S^1)$ têm 
$\CC$-bases $aa$ e $abab, aabb$ e
\[ aabbcc, abcacb, abcabc \]
respectivamente. 

Se $b$ é uma trança cujo fecho é um nó então cada diagrama em $b$ 
define (por inclusão) um diagrama no fecho, ou seja em $S^1$. Assim 
temos uma aplicação $\CC$-linear \[p: A(b) \to A(S^1)\] (pois é 
fácil ver que inclusão leva relações 4T em relações 4T).

Em geral os fechos de $b_1 b_2$ e $b_2 b_1$ são equivalentes como nós 
ou enlaçamentos. Em particular, se o fecho de $b_1 b_2$ é um nó 
então o fecho de $b_2 b_1$ também o é e se $\alpha \in D_m(b_1)$ e 
$\beta \in D_n(b_2)$ então \[ p(\alpha \beta) = p(\beta \alpha). \]

\section{O invariante}

Seja \[Z(b)=1+\sum _{m>0} \left(\frac {1}{2 \pi i}\right)^m \sum \int 
dl_{ij}(t_1) dl_{kl}(t_2) \cdots dl_{uv}(t_m) D_{ij,kl, \cdots ,uv}\] 
onde os limites de integração são $1 > t_1 > t_2 >  \cdots > t_m > 0 $ 
e a segunda soma $\sum$ é sobre todo $i<j , k<l , \cdots ,u<v$ e 
$D_{ij,kl, \cdots ,uv} \in A_m(b)$ é o m-diagrama em $b$ que consiste 
dos pares $(z_i(t_1),t_1),(z_j(t_1),t_1), \cdots , 
(z_u(t_m),t_m),(z_v(t_m),t_m).$

Esta fórmula é a fórmula antiga com $D_{ij,kl, \cdots ,uv}$ no lugar 
do produto $ A_{ij}A_{kl} \cdots A_{uv}$. 
As relações entre os $A_{ij}$ correspondem às relações 4T.
Por exemplo, temos a relação 4T 
\[D_{ij,jk} - D_{jk,ij} + D_{ij,ik} - D_{ik,ij} = 0 \] que corresponde 
à relação $[A_{ij}, A_{jk}] = [A_{ik}, A_{ij}]$. 
Também $D_{ij,kl}$ é $D_{kl,ij}$ são equivalentes como diagramas
se $i, j, k, l$ são distintos, o que corresponde à relação
$[A_{ij},A_{kl}] = 0$.

$Z(b)$ tem propriedades análogas às do transporte paralelo respeito à 
conexão KZ:
\begin{itemize}
\item{Se $b$ e $c$ são tranças equivalentes então $Z(b) = Z(c)$}
\item{$Z(b_1 b_2) = Z(b_1)Z(b_2)$. }
\end{itemize}

Para simplificar a discussão só consideraremos tranças cujos fechos 
são nós. Para tais tranças, temos a aplicação $p:A(b) \to A(S^1)$ 

{\nobf Teorema: } $ pZ(b_1 b_2)=pZ(b_2 b_1)$

{\nobf Demonstração: }
$ pZ(b_1 b_2)=p(Z(b_1)Z(b_2))=p(Z(b_2)Z(b_1))=pZ(b_1 b_2).$ 
\qed

Então $pZ$  satisfaz a primeira condição de Markov. A segunda condição, 
porém, não é satisfeita. Por exemplo, calculemos $pZ$ para a 2-trança 
$\sigma_1$. O resultado é \[ pZ(\sigma_1) = 1 + \sum _{m>0} 
\frac{1}{2^m m!} \bigcirc _m \] onde $\bigcirc _m \in A_m(S^1)$ é o 
m-diagrama $a_1a_2 \cdots a_m a_1a_2 \cdots a_m$ em $S^1$. Para $\sigma_1$ 
temos que $z_1 - z_2 = -e^{\pi i t}$. Então o coeficiente de $\bigcirc _m$ é
\[ \left(\frac{1}{2 \pi i}\right) ^m \int \left(\pi i \right)^m 
dt_1 \cdots dt_m, \]
ou seja $2^{-m}$ vezes o volume 
$1/m!$ do $m$-simplexo aberto $ 1 > t_1 > \cdots > t_m > 0 $. 
A fórmula para $ \sigma_1^{-1}$ é
\[ pZ(\sigma _1 ^{-1}) = 1 + \sum_{m>0}
\frac {1}{2^m m!} \left(-1 \right) ^m \bigcirc _m \]. 

A idéia de Picken é de passar ao quociente pelas relações 
$pZ(\sigma _1 ^{\pm 1}) = 1$ para garantir a segunda condição de 
Markov. Sejam então $r_+$ e $r_-$ os elementos de $A$ dados por 
$r_{\pm} = pZ( \sigma _1 ^{\pm 1}) - 1 $ e seja $ \bar{A}$ o quociente 
de $A$ pelo ideal $r_+ A + r_- A$ gerado por $r_+$ e $r_-$ e seja 
$\bar{p}$ a composta de $p$ com a aplicação quociente $A \to \bar{A}$. 

O resultado principal de {\bf [P]} (cuja demonstração será omitida) 
é que $\bar{p} Z (b)$ satisfaz a segunda condição de Markov 
e, portanto, define um invariante de nós.

Como exemplo de como calcular com o invariante, esboçaremos uma 
demonstração de que o invariante distingue entre o trevo e a sua 
reflexão num plano. O trevo é o fecho da 2-trança $\sigma_1 ^3$ dada 
pelas duas funções $ 3/2 \pm e^{3 \pi i t}/2$,
enquanto a sua reflexão $\sigma _1 ^{-3}$ é dada por
$3/2 \pm e^{-3 \pi i t}/2$. Como no caso de $\sigma_1$, temos que 
\[ pZ( \sigma_1 ^3 ) = 1 + \frac{3}{2} \bigcirc _1 + \frac{9}{8} 
\bigcirc _2 + \frac{9}{16} \bigcirc_3 + \cdots \] que, depois de uma 
pequena conta, é igual a \[1 + 6r_+ + 3r_- + \frac{1}{2} \bigcirc _3 + 
\cdots \] onde os pontinhos representam termos em $A_m$ para $m>3$. 

O trevo refletido é o fecho da 2-trança $\sigma _1 ^ {-3}$ e temos 
\[ pZ( \sigma_1 ^ {-3}) = 1 + 3r_+ + 6r_- - \frac{1}{2} \bigcirc_3 + 
\cdots. \] Subtraindo, temos que \[ pZ(\sigma_1 ^3) -
pZ(\sigma_1 ^{-3}) = 3r_+ -3r_- + \bigcirc_3 + \cdots \].

Examinando as relações 4T em $A_3$ não é dificil verificar que 
nenhuma soma da forma $ \bigcirc_3 + \cdots $ pode pertencer ao ideal 
$r_+A + r_-A$. Então $\bar{p}Z( \sigma_1 ^3 ) \neq 
\bar{p}Z( \sigma _1 ^{-3})$, ou seja o valor do invariante é 
diferente para o trevo e a sua reflexão. 

\section*{Referências}

{\parindent=0pt

{\bf [Ka]} C.Kassel, {\sl Quantum Groups}, Springer-Verlag GTM, 1995.


{\bf [Ko]} M.Kontsevich, {\sl Vassiliev's knot invariants},
Gelfand Seminar, Adv. Sov. Math. 16 (1993) 137-150.

{\bf [KZ]} V.G.Knizhnik and A.B.Zamolodchikov, {\sl Current algebra
and Wess-Zumino model in two dimensions}, Nucl. Phys. B247 (1984) 83-103.

{\bf [P]}  R.Picken,
{\sl Knot Invariants from a Kohno-Kontsevich integral for braids},
Instituto Superior Técnico preprint 10/97 (1997). 

}




 
