Re: Re: séries boas e séries podres

[Benjamin Hinrichs <hinsoft@xxxxxxxxx>]

Augusto Morgado wrote:
> 
> Caro Benjamin:
> Primeiro, colocando as coisas no contexto histórico devido, Leibniz não
> tinha computadores nem calculadoras eletrônicas. Tampouco estava
> particularmente interessado em obter 16 casas para pi. O fato é que ele
> obteve uma expressão "executável" para pi extremamente mais simples do
> que as até então conhecidas.
> Segundo, a sua frase "Leibniz não foi tão gênio assim" foi de rara
> infelicidade.Leibniz foi uma das raras inteligências universais:
> político, matemático, inventor do Cálculo, físico, diplomata, jurista,
> filósofo.
> Terceiro, se eu não tivesse nem calculadora nem computador, o processo
> que me permitiria "no braço" calcular umas dez ou vinte decimais de pi
> seria exatamente a série de Leibniz. O fato de a convergência ser lenta,
> isto é, de você necessitar de muitos termos para obter uma razoável
> aproximação (é preciso somar cerca de 500 termos para obter, ou pelo
> menos para ter certeza de obter, uma aproximação exata a milésimos)é de
> menor importância. Existem técnicas, devidas a Stirling e a Abel, que
> permitem acelerar a convergência, bastando para isso simples
> transformações da série.
>    Um abraço,
> Morgado.

Caro Morgado,
é evidente que Leibniz nunca teve o prazer (ou o desgosto, como
preferir) de usar um computador que pudesse auxiliá-lo nos seus
cálculos. É evidente que Leibniz foi mais do que genial, tanto que é
conhecido até hoje (o que alguém pode dizer que não é uma raridade,
porém só realmente os melhores de cada época tem seu nome gravado em uma
enciclopédia). Realmente meu comentário a respeito de Leibniz foi
infeliz e sem sentido.
Leibniz (que portanto não tinha nenhum instrumento para facilitar seus
cálculos) achou a série previamente descrita, mas provavelmente notou
que não converge rapidamente e provavelmente pelo mesmo não chegou a
usá-la para calcular o famoso valor de pi. Antes de Leibniz descobrir
sua série (em 1673), Newton, de volta em Grantham em 1666 para escapar
da grande peste, facilmente calculou pi até 16 casas usando 22 termos da
série:
pi = 3*sqrt(3)/4 + 24(1/12 - 1/(5*2^5) - 1/(28*2^7) - 1/(72*2^9 - ...)
[WELLS, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting
Numbers, Revised Edition, Pag. 32]
Este mesmo livro diz também que Euler, que foi o primeiro a usar e letra
grega Pi, fez uma impressionante demonstração das, então, novas
técnicas. Calculou Pi até 10 casa de precisão em apenas uma hora, acho
que vc deveria tentar esta técnica e não a série de Leibniz (se é que
não foi esta por Euler usada, não saberia dizer exatamente como Euler
conseguiu).
Acho que seria interessante para a lista, se fosse possível, os mestres
da lista nos mostrarem algumas das técnicas de Stirling e Abel para
acelerar a convergência de uma série. Ao menos eu acharia muito
interessante.

Um grande abraço a todos,

Benjamin Hinrichs