Re: é o chato novamente

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

Caro Benjamin,

Vou usar == como o sinal de "é congruente a".
Se a==b (vamos deixar em todas as congruências um "mod x" subentendido) e
c==d, então 
(1)a+c==b+d
(2)ac==bd
(3)a^n==b^n
Se usarmos (2) repetidamente achamos (3):( aa==bb, a^3==b^3,... --> a^n==b^n )


>Isto quer também dizer que 3 = -1 mod 4 (onde = querem dizer três
>tracinhos ao invés de dois), ou seja a = -1 mod (a+1)?

Falando em mod 4, todos os termos da PA (...,-9,-5,-1,3,7,11,...) são
congruentes entre si.  -1 é um termo "nobre" pois é fácil calcular sua
potências.

>Eu me pus a provar hoje de manhã que a^n -(-1)^n mod a+1 = 0 (o que já
>faz mais minha linguagem do que congruências), mas fui infeliz em minha
>tentativa. 

É só colocar (mod a+1) a==-1 --> a^n==(-1)^n --> a^n - (-1)^n=0 [as
propriedades (1), (2) e (3) permitem tratar o sinal de congruência como se
fosse um de igual, com poucas exceções (exemplo: não se pode dividir os
dois membros da equação por um mesmo número, em geral)]

As dem. de (1), (2) e (3) podem ser achadas na internet, na Eureka2 ou (se
não me engano) no artigo de teoria dos números do Nicolau Saldanha, que
está lá na HP dele. Aliás, nessas fontes vc pode achar um monte de outras
coisas legais...

Um problema legal em que se pode usar congruências é (IMO 75)"seja
x=4444^4444. Sejam A=soma dos algarismos de x; B=soma dos algarismos de A.
Qual é a soma dos algarismos de B?"

Bruno Leite