Re: Problema sobre pintura

["Danielle Yukico" <yukico@xxxxxxxxxx>]

Onde posso encontrar essa revista de matemática? ou assinar.

Valeu!!!!!!!



-----Mensagem Original-----
De: benedito <bene@digi.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sexta-feira, 18 de Fevereiro de 2000 14:23
Assunto: Problema sobre pintura


> Há cerca de uns sete  dias atrás, enviei para a lista um problema.  Achei
> interessante colocar na lista da OBM para iniciar uma discussão a respeito
> desse problemas sobre pintura, que tem aparecido em algumas Olimpíadas de
> Matemática. O problema que me refiro apareceu  na revista Mathematics
> Magazine, Vol. 69, No. 01, Feb. 1996, p.69:
>
> Problema: Imagine que você possa pintar cada ponto do plano com uma das
> duas cores: vermelho ou azul. Considere dado o triângulo T  de vértices
ABC.
> Não importa qual a pintura feita, existe um triângulo semelhante ao
> triângulo T (dado) com todos os vértices de mesma cor.
>
> Benedito Freire
>
> Remeto a seguir a solução enviada por um dos  membros  dessa lista:
>
>
> Caro Benedito,
>
> Nao sei se voce propos este problema para alguem mandar a solucao para
> todos ou simplesmente como mais um problema legal. De qualquer forma,
mando
> a minha solucao abaixo que voce pode mandar para a lista depois, se for o
> caso.
>
> Suponhamos que o resultado seja falso.
> Comece desenhando um triangulo ABC congruente ao triangulo T
> (dado). Sem perda, suponha que cor(A)=cor(B)=azul e cor(C)=verm. Agora
> sejam D, E e F os pontos medios dos lados AB, BC e CA, respectivamente.
> Por inspecao e facil ver que cor(D)=verm (aqui voce esta usando que os
> triangulos ADF, DBE, EFD e FEC sao semelhantes ao triangulo ABC). Agora
> seja P tal que P pertence a reta CD e D e o ponto medio do segmento PC. O
> triangulo BAP e congruente ao triangulo ABC, de onde cor(P)=verm. Assim,
> cor(C)=cor(D)=cor(P)=verm. e D e medio de PC. Agora seja Q um ponto do
> plano tal que o triangulo CPQ seja semelhante ao triangulo ABC. Temos que
> cor(Q)=azul. Agora, sejam M e N os pontos medios de CQ e PQ,
> respectivamente. De novo por inspecao, vemos que cor(M)=cor(N)=azul.
> Assim, o triangulo MNQ e semelhante ao triangulo ABC (e logo semelhante a
> T) e seus verices tem todos a mesma cor, o que e absurdo. Logo o resultado
> e verdadeiro.
>
> Abracos, -- Pavlos.
>
>
>
>