Re: 2 PROBLEMAS(p/ Benjamin)

["Marcelo Souza" <marcelo_souza7@xxxxxxxxxxx>]

2. Caro Benjamin,
Eu consegui resolver o problema 2. Vou colocar a resolução, é até bem 
simples:
Traçamos o triangulo ABC, com base BC, com o auxílio desta, montamos um 
triângulo côngruo a APB, e chamamos de BDC, com D exterior ao triangulo, com 
BD =4, e DC=3, e o angulo CBD=ABP. Com isso, temos a congruência. Liga-se o 
ponto P a D, com isso, consegue-se um triangulo equilátero de lado 4 (PBD), 
e um triangulo retângulo PDC. O angulo BDC=150º é igual ao APB, pois os 
triangulos são congruentes, nisso, APB=150. Narrando sem mostrar figura fica 
meio difícil, mas espero que tenha entendido.
Grande Abraço
Marcelo

>From: Benjamin Hinrichs <hinsoft@sinos.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: 2 PROBLEMAS
>Date: Sun, 27 Feb 2000 16:34:45 -0300
>
>Marcelo Souza wrote:
> > 1. Prove que 2^n - 1 é divisível por 3 para todo n natural par.
>
>Muito fácil, n=3, 2^3 - 1 = 7, 7 / 3 nE N (onde nE é não pertence). Vc
>deve estar falando de 2^n - (-1)^n. A minha prova é simples, vou
>copiar a mensagem do arquivo.
>
>==================
>"Benjamin Hinrichs" wrote on 01/01/2000:
>
>Faz alguns dias (não saberia dizer quantos) que entrei no icq e vi que
>estava cheio de gente da lista, abrimos um chat e conversamos um
>pouco.
>Surgiu entretanto um problema no meio: prove que 2^n - (-1)^n  mod 3 =
>0, ou seja, que 2^n - (-1)^n é divisível por 3, dado n E N (é
>natural),
>n > 0.
>Sugiro que tentem provar e depois ver a minha prova que segue abaixo.
>
>Usei para isto o seguinte teorema (fácil de provar):
>a^k -1 = (a^(k-1) + a^(k-2) + ... + a^2 + a^1 + a^0)*(a - 1)
>
>Se n é par então pode ser denominado 2k (nada de 2000, parem de pensar
>no bug). Portanto 2^2k -(-1)^2k = 4^k -(1)^k = 4^k - 1 = (4^(k-1) +
>4^(k-2) + ... + 4^2 + 4^1 + 4^0)*(4 - 1) = (4^(k-1) + 4^(k-2) + ... +
>4^2 + 4^1 + 4^0)*3 (o que é divisível por 3)
>Se n é ímpar então ele pode ser escrito da forma 2k + 1. Portanto
>2^(2k+1) -(-1)^(2k+1) = 2*2^2k -(-1)*(-1)^2k = 2*4^k + 1 = 4^k - 1 +
>4^k
>- 1 + 3 (já que 4^k - 1 já foi provado ser divisível por três, 2(4^k
>-1)
>+ 3 também é)
>
>Deve haver uma prova ridiculamente simples para este problema. Meu pai
>disse que o enunciado do problema é muito bom, a prova é fácil. Bem,
>eu
>ao menos demorei algum tempinho para descobrir que 1 = - 1 - 1 + 3...
>
>Grande abraço,
>
>Benjamin Hinrichs
>
>==================
>
> > 2. Dado um triangulo equilatero ABC, toma-se um ponto P do interior de 
>ABC.
> > TRaça-se AP=3, BP=4, CP=5, calcule o angulo APB.
>
>De primeira não consegui resolver mas vou continuar em cima deste.
>
>Um grande abraço,
>
>Benjamin Hinrichs
>
>

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