Re: Dúvida numa questão.

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 18 Mar 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:

> Níguém vai dar uma opinião, não?
> 
> Marcos Eike
> 
> ----- Original Message -----
> From: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Domingo, 12 de Março de 2000 22:44
> Subject: Dúvida numa questão.
> 
> 
> > Estudando um problema da IMO de 1996
> >
> > We are given a positive integer r and a rectangular board divided into 20
> x
> > 12 unit squares. The following moves are permitted on the board: one can
> > move from one square to another only if the distance between the centers
> of
> > the two squares is Ör. The task is to find a sequence of moves leading

Este sinal estranho deve significar raiz quadrada de r.

> > between two adjacent corners of the board which lie on the long side.
> >
> > (a)  Show that the task cannot be done if r is divisible
> > by 2 or 3.
> > (b)  Prove that the task is possible for r = 73.
> > (c)  Can the task be done for r = 97?
> >
> >
> > No ítem 1, observe que fiz:
> >
> > Se r é divisível por 2 e 3 então, por definição r é um múltiplo de 2 e 3.
> > Como no enunciado d = sqrt(r) => d^2 = r
> >
> > Considerando tal fato, supûs um eixo cartesiano de tal forma que pudesse
> > trabalhar com essa distância d, em qualquer parte do tabuleiro.
> >
> > d^2 = a^2 + b^2 => r = a^2 + b^2
> >
> > Então de r é divisível por 2 e por 3, então:
> >
> > a^2 + b^2 também o é.
> >
> > Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divisível por 2 e 3.
> >
> > Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod 3.
> > Então, a e b são múltiplos de 3.
> >
> >
> > de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o começo seja na coordenada
> (0,0),
> > então, temos coordenadas (3m,3n), e a única solução ao sistema é (19,0).
> > cqd..
> >
> >
> > Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar minha
> > prova, observei que se eu levasse a peça a coordenada (18,0).
> >
> > Teríamos, como dividir por 3 e por 2 o sistema..
> >
> > r = a^2 + b^2 .
> >
> >
> > Aí, eu me indaguei será que eu interpreto a distância como a soma das
> > distâncias, ou seja, eu movo a peça para várias posições e somo esse
> > percurso, ou a interpreto como sendo a distância final.
> >
> >
> > Se chegar mais mensagem para vc, me desculpe, é porque estão voltando
> minha
> > mensagem.
> >
> >
> > Muito Obrigado!
> >
> > Marcos Eike
> >
> 

Achei confuso, principalmente pq você não separou ou casos r par
e r múltiplo de 3.

Caso r par:

A peça sempre se move de casa branca para casa branca.
É portanto impossível mover a peça de uma casa (branca)
para sua vizinha (preta).

Caso r múltiplo de 3:

Este corresponde aproximadamente ao que você fez:
se a peça anda a na horizontal e b na vertical
concluimos que a e b são ambos múltiplos de 3.
Novamente é impossível ir de uma casa a sua vizinha.

Quanto aos itens (b) e (c):

(b) 73 = 8^2 + 3^2
Os passos permitidos são portanto (+-8, +-3) e (+-3, +-8).

(c) 97 = 9^2 + 4^2
Os passos permitidos são (+-9, +-4) e (+-4, +-9).

Fica para vocês pensarem...
Atentem para as dimensões do tabuleiro: 20x12.

[]s, N.