Re: Re :Problema de Geometria

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Foi o mesma idéia que usei para esse exercício, porém criei mais um segmento
d, nas semi-retas que tem como origem os vértices do triângulo, com isso,
encontrei a mesma solução.


Ats,
Marcos Eike



----- Original Message -----
From: Edmilson
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Terça-feira, 4 de Abril de 2000 10:03
Subject: Re :Problema de Geometria


Como resolver?

        Sejam a,b,c lados de um triangulo.

            Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <  2

    Abraços,
    Marcio


Caros amigos da lista, eu acho que minha solução está correta, mas peço para
verificarem se há algum furo.

Sejam a, b, c lados de um triângulo. Prove que  a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)
< 2.

Podemos supor sem perda de generalidade que  a ³ b ³ c (todos positivos)

Daí, a + c ³ b +c  == >  1/(a+c)  £ 1/(b+c)  ==>  b/(a+c)  £ b/(b+c)   ( i )
e também,

       a + b ³ b +c  == >  1/(a+b)  £ 1/(b+c)  ==>  c/(a+b)  £ c/(b+c)
 ii ).

Substituindo (i) e (ii) no primeiro membro da desigualdade a provar e usando
a condição de existência de triângulos (a < b+c), temos :

a /(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)  £  a /(b+c) + b/(b+c) + c/(b+c) = a /(b+c) +
(b+c)/(b+c) = a/(b+c) + 1 < 1 + 1 = 2.

Atenciosamente,
Edmilson