Re: Problema de Geometria

["Paulo Santa Rita" <psr@xxxxxxxxxxx>]

Ola,
Saudacoes a Todos !

Se "a", "b" e "c" sao os lados de um tringulo, entao vale a
desigualdade triangular, isto e :

a < b+c => a + (b+c) < b+c + (b+c) => a+b+c < 2*(b+c)
 
1/(a+b+c) > 1/(2*(b+c))  =>  a/(a+b+c) > a/(2*(b+c))

usando um raciocinio identico, porem partindo de

b < a+c , chegaremos a ... b/(a+b+c) > b/(2*(a+c))
c < a+b , chegaremos a ... c/(a+b+c) > c/(2*(a+b))

somando, membro a membro, as tres desigualdades:

1 > (1/2)*(a/(b+c)  +  b/(a+c)  +  c/(a+b))

Logo : a/(b+c)  +  b/(a+c)  +  c/(a+b) < 2
tal "Como Queriamos Demonstrar" !

Seja agora Z(a,b,c) = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b). 
Conforme vimos, se "a", "b" e "c" obedecerem a desigualdade
triangular fica assegurado que Z(a,b,c) < 2. Entretanto, 
tais medidas tambem podem ser interpretadas como numeros 
reais positivos. Nestas circunstancias, vale :

Z(a,b,c) >= 3/2

Isto e:

Se "a", "b", "c" forem os lados de um triangulo, entao:

3/2  <=  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2

A desigualdade da esquerda e um exercicio tao simples quanto
o da direita.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,2327,04042000





On Tue, 28 Mar 2000 06:31:02 +0200
"Marcio" <mcohen@iis.com.br> wrote:
>       Como resolver?
>
>        Sejam a,b,c lados de um triangulo.
>
>            Prove que     [a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ] <
>2
>
>    Abraços,
>    Marcio
>

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