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Alow !
Pô, acho que poderia ter sido feito um raciocínio
mais simples :
(2k+1)^2 - (2c+1)^2 = E
Logo E = 4[(k(k-1) -
c(c-1)]
Para provar a divisibilidade por 8, basta provar que o que está
entre colchetes é par. Mas isso fica claro, pois é um
diferença de pares, porque k(k-1) é um produto de consecutivos,
logo é par. Analogamente, c(c-1) tb é.
Então, vemos que dados 2 quadrados ímpares, estes são
côngruos mod8.
Como 1 é quadrado ímpar e 1 = 1mod8, pode-se concluir que se
p é ímpar, então p^2 = 1 mod8 ( acho q todos já
deviam saber disso)
Abraços,
¡ Villard !
É pura tecnica, no tem nem q
pensar.
temos:
(2k+1)^2 - (2C+1)^2
4k^2 + 4k + 1 -(4C^2 +
4C + 1)
4(k^2 + k + C^2 + C )
queremos:
4(k^2 + k + C^2 + C ) =
0 (mod8)
supondo:
1 - k=2L e C=2D
2 - k=2L e C=2D+1 ou k=2L+1 e
C=2D
3 - K=2L+1 e C=2D+1
tem-se:
1 - 4(4L^2 + 2L + 4D^2 +
2D)
8(2L^2 + L + 2D^2 + D) = 0 (mod8)
2 - 4(4L^2 + 2L + 4D^2 + 4D + 1 + 2D +
1)
4(4L^2 + 2L + 4D^2 + 6D +
2)
8(2L^2 + L + 2D^2 + 3D + 1) =
0(MOD8)
3 - 4(4L^2 + 4L + 1 + 2L + 1 + 4D^2 + 4D + 1 + 2D +
1)
4(4L^2 + 6L + 4D^2 + 6D +
4)
8(2L^2 + 3L + 2D^2 + 3D + 2) =
0(MOD8)
PROVADO
Aleksander Medella
At 12:46 10/03/01
-0300, you wrote:
Mostre
que a diferença dos quadrados de dois números
ímpares é sempre divisível por 8.
Um abraço.
Fábio
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