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Re: Triangulo equilatero



Olá amigos,
Uma solução para o problema do triângulo equilátero é Semelhança de
Triângulos. Todos os lados do triângulo equilátero são iguais por definição
e AD=BE=CF, desse modo temos que ter a garantia da igualdade dos ângulos
formados entre os lados do triângulo e AD, BE e CF (Igualdade LAL).
Do contrário, não será formado um novo triângulo equilátero.
Aplicando nova semelhança ao triângulo mais interno, teremos novo caso de
igualdade. Portanto, o triângulo mais interno será equilátero se e somente
se AD=BE=CF e estes segmentos de retas formarem ângulos iguais com os lados
do triângulo equilátero. Assim, o problema 10 não é um lema, na verdade, é
"condição si ne qua nom" (deve ser assim).
Um abraço
Arruda



----- Original Message -----
From: Luis Lopes <llopes@ensrbr.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 27, 2001 1:29 PM
Subject: Re: Triangulo equilatero


> Sauda,c~oes,
>
> Não vou tratar do problema mencionado no título desta mensagem mas como o
> assunto geometria euclidiana aparece sempre na lista achei que as
> informações abaixo poderiam ser do interesse de muitos. Além disso, talvez
> os participantes das novas listas possam se interessar pelo problema
> proposto no livro do  prof. Joao Lucas Barbosa. Mas teria que ser
traduzido.
> ;-(
>
> Para que o email não fique sem pé nem cabeça, deixo a correspondência
> trocada com o prof. Paul Yiu. A mensagem que ele comenta foi a primeira
que
> mandei para a lista de college-geometry do mathforum.
>
> [ ]'s
> Lu'is
>
> ===
> Dear Luis,
>
> It is very good to see again. I forward your message to Hyacinthos, where
a
> lot of geometers meet:
>
> http://groups.yahoo.com/group/Hyacinthos/
>
> You may also want to know that there is a new electronic journal devoted
to
> classical euclidean geometry. Please visit
>
> http://forumgeom.fau.edu
>
> Best regards
> Sincerely
> Paul Yiu
> ===
>
> At 09:34 AM 4/27/01 -0400, you wrote:
> >Hi,
> >
> >Consider the problem: construct triangle ABC given alpha, m_a (median
> > from A) and r (inscribed circle radius).
> >
> >I solved this problem by constructing side a. In LaTeX notation:
> >
> >\[ a^2 + 8r\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}a +
> >8\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}r^2 - 4m_a^2 = 0. \]
> >
> >But I don't like this solution (sort of algebraic) and I am looking
> >for a more elegant (geometrical) one. Besides we have to resort to the
> >unit lenght segment.
> >
> >Also, consider the similar problem: construct triangle ABC given
> >alpha, m_a (median from A) and r_a (ex-inscribed circle radius).
> >
> >The side a is given by
> >
> >\[ a^2 - 8r_a\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}a +
> >8\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}r_a^2 - 4m_a^2 = 0. \]
> >
> >Thank you.
> >
> >Regards,
> >Luis
> >
>
> -----Mensagem Original-----
> De: Ali Ahmad Smidi <aasmidi@hotmail.com>
> Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Enviada em: Quinta-feira, 26 de Abril de 2001 22:53
> Assunto: Re: Triangulo equilatero
>
>
> Só reforçando, se alguém sabe resolver esse problema não deixe de
comentá-lo
> pois também faz um tempo que estou atrás da solução desse danado.
>
>
> >From: salomao@ufu.br (Luiz Alberto Duran Salomao)
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Re: Triangulo equilatero
> >Date: Sun, 22 Apr 2001 13:27:36 -0300
> >
> >E aih ?
> >Ninguem vai meter a mao na massa ?
> >Coragem amigos !
> >Luiz alberto
> >   ----- Original Message -----
> >   From: Luiz Alberto Duran Salomao
> >   To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >   Sent: Thursday, April 12, 2001 6:00 PM
> >   Subject: Triangulo equilatero
> >
> >
> >   Caros amigos:
> >   Alguem conhece uma solucao para o problema numero 11, pagina 67, do
> >livro
> >   GEOMETRIA EUCLIDIANA PLANA, escrito pelo prof. Joao Lucas Barbosa,
> >editado
> >   pela Sociedade Brasileira de Matematica ? Refiro-me aa edicao nova
(capa
> >amarela);
> >   para quem tiver a edicao mais velha, o numero da pagina eh 72.
> >
> >   Para quem nao tem o livro, vou enunciar o problema. Eh dado um
triangulo
> >ABC
> >   equilatero. No interior do triangulo sao dados tres pontos D, E e F de
> >modo que
> >   A -F-D (leia F estah entre A e D), B-D-E  e  C-E-F. Supondo que AD =
BE
> >= CF
> >   mostre que o triangulo DEF tambem eh equilatero.
> >
> >   Para quem nao dispuser do livro, acrescento ainda duas coisas:
> >   (1) O problema eh proposto no capitulo que trata do Teorema do Angulo
> >Externo. Isto
> >   ocorre antes de ser dado o Axioma  das Paralelas. Portanto, nao deve
ser
> >usado o tal
> >   axioma e nem suas consequencias.
> >   (2) O problema anterior, de numero 10, pede a mesma coisa que este.
> >Porem, ele
> >   tem uma hipotese adicional: o angulo DAB eh congruente ao angulo EBC.
> >Voces verao
> >   que o problema 10 eh bastante facil e eh claro que ele deve ser um
lema
> >para o seguinte.
> >
> >   Bom trabalho a todos,
> >   Luiz Alberto
>
> _________________________________________________________________________
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