Re: função composta

[Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@xxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi galera,
A solução dada pelo Eric foi legal. Entretanto, fica uma pergunta.

f(f(x)) = f(x)    =>   f(x) = x  (vale a lei do corte), e, além disso:

f(x) = x  => f(f(x)) = f (x) (vale a lei de aplicar a mesma função aos 2
membros)

Pois, como ele poderia imaginar que f(f(y))=y+2*c => f(y)=y+c (linear)

Seguindo, na solução da Questão da IMO - 1992, gostaria de sugerir alguns
passos padrões, apenas para facilitar:
1) fazer x=y=0 conduz a f(0)=K (constante);
2) calcular o valor da constante K (neste caso foi "zero");
3) tentar verificar se f(x+y)=f(x)+f(y), f(x-y)=f(x)-f(y) ou qualquer outra
das equações funcionais bácisas, para poder enquadrar a f(x);
4) se a função é par ou impar;
5) "chute" que f(x) é uma função elementar de acordo com o achado do item 3;
6) Apele! Estude a continuidade, convergência, monotonicidade, contornos, a
que conjunto pertencem os resultados (racionais, irracionais, reais,
complexos, inteiros, ...), periodicidade, domínio, imagem, contradomínio,
transformadas, diferenciabilidade, etc

Assim, a solução ficaria da seguinte forma:

a) x=y=0 e f(0)=k, partimos para valores de f(k), f(k^2), f^2(k),
precisaremos:
f( f(0) )=k^2 => f( k=f(0) )=k^2 => f(k)=k^2
y=0 e x=1=> f(x^2+k)=f(x)^2  => f(1+k)=f(1)^2
x=0 e y=x => f(f(x))=x+k^2 => f(f(1))^2=(1+k^2)^2
Por último, para o cálculo do valor de K, temos:
x=k e y=1+k => f(k^2 + f(1+k))=1+k+ f(k)^2 = 1+k+k^4           (i)
x=f(1) e y=k  => f(f(1)^2+f(k))=k+f(f(1))^2 = k + (1+k^2)^2       (ii)

f(k^2+f(1)^2)=f(f(1)^2+f(k) => (i) e (ii) são iguais, logo k=0;

Com k=0, temos f(f(x))=x   e  f(x^2)=f(x).

b) f(x+y)=f(x) + f(y)
    f(x-y)=f(x)-f(y)
    f(-x) = - f(x)

c) Diante disso, sugere-nos pelo item (b) que f(x)=c*x (linear)

E daí por diante...

Esta solução foi apresentada na página oficial da IMO, entretanto, tentem
achar uma caminho melhor para mostrar que k=0.


----- Original Message -----
From: Eric Campos Bastos Guedes <mathfire@ig.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, May 06, 2001 9:59 AM
Subject: RES: função composta


> >Agora, resolvam esta: (IMO - 1992)
> >Ache todas as funções f::R -> R com a seguinte propriedade para todo x,y
E
> >R (lê-se x pertencente aos Reais):
> >
> >f[x^2+f(y)]=y+[f(x)^2]
>
> Se descobrir a solução, favor mandar para a lista
>
> Acho que consegui uma solução, mas não tenho certeza.  Fazendo x=0 em
> f(x^2+f(y))=y+(f(x)^2) vem
>
> f(f(y))=y+f(0)^2
>
> chamando 2c=f(0)^2 temos
>
> f(f(y))=y+2c, para todo y real
>
> Agora falta provar (se for verdade) que f(y)=y+c, daí vem
>
> f(x^2+f(y))=y+f(x)^2
> x^2+y+c=y+(x+c)^2
> x^2+y+c=y+x^2+2cx+c^2
> c=2cx+c^2 para todo x, donde c=0 e f(y)=y para todo y real.
>
> Eric.
>
>