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Re: equações de recorrência
Ola Pessoal,
Saudacoes !
Complementando a mensagem do colega Luis Lopes, e possivel provar facilmente
que se
(A1, A2, A3, A4, ... )
e uma Progressao Aritmetica qualquer de ordem 2 e representarmos por
BINOM(N,P) o numero binomial de numerador N e denominador P, isto e, se
BINOM(N,P)= N!/(P!*(N-P)!), entao :
O termo generico An da progressao sera :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N -1,1) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N-1,2)
Aplicando o Teorema das colunas, chegamos facilmente a formula da soma :
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N,3)
Se a progressao for de ordem 3, sera :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N -1,1) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N-1,2)
+ (A4-3*A3+3*A2-A1)*BINOM(N-1,3)
Aplicando o Teorema das colunas, chegamos facilmente a formula da soma :
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2) + (A3-2*A2+A1)*BINOM(N,3)
+ (A4-3*A3+3*A2-A1)*BINOM(N,4)
E interessante perceber que a progressao aritmetica de 1 ordem, que sao
aquelas que todos nos vemos em todos os livros, tambem permitem serem
representada assim :
An = A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N-1,1)
Sn = A1*BINOM(N,1)+ (A2-A1)*BINOM(N,2)
Mas a maioria dos estudantes esta mais acostumado com as formulas :
An=A1 + (N-1)*R e Sn=( N*(A1 + An))/2
As "formulas binomiais" me parecem ser melhores porque permitem uma
interpretação dos coeficientes em termos dos termos iniciais da sequencia e
tambem permitem representarem as sequencias como produtos vetorias. Para ver
isso, seja o termo geral de uma PA de 1 ordem :
An= A1*BINOM(N-1,0) + (A2-A1)*BINOM(N-1,1)
Podemos coloca-lo como PRODUTO ESCALAR assim :
An = (A1,A2-A1)*( BINOM(N-1,0),BINOM(N-1,1) )
O vetor (A1,A2-A1) pode ser chamado VETOR CARACTERISTICO da sequencia. A
comparacao entre os vetores caracteristicos de sequencias distintas nos
permitem inferir propriedades de dificil percepcao com o trato canonica com
a qual sao apresentadas estas sequencias...
O estudante ganha tambem porque tem formulas prontas para abordar questoes
que, de sorte, consomem tempo. Exemplificando :
Quanto vale :
S = 2^2 + 5^2 + 8^2 + 11^2 + ... + 149^2 ?
Claramente e uma PA de 2 ordem ( se elevarmos a N todos os termos de uma PA
de ordem K teremos uma PA de ordem N*K ), pois e uma PA de primeira ordem
(2,5,8, ... ) com todos os seus termos elevados a 2. O termo 149 e o
50-esimo termo, logo :
S50=(2^2)*BINOM(50,1)+(5^2 - 2^2)*BINOM(50,2)+(8^2-2*(5^2)+2^2)BINOM(50,3)
S50=4*BINOM(50,1) + 19*BINOM(50,2) + 18*BINOM(50,3)
Agora, tenta calcular a soma acima usando os tecnicas tradicionais ...
Finalmente, uma outra vantagem desta maneira de ver as coisas e que voce nao
fica limitado a sequencias de ordem inteira positiva. So a titulo de
exemplificacao, a famosa sequencia harmonica e, em verdade, uma progressao
aritmetica de ordem -1. Para ver isso, note que :
1 - 1/2 + 1/3 -1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 CONVERGE ! Converge para Logaritmo
neperiano de 2.
Bom, esse tema de series e sequencias e muitissimo interessante, mas eu nao
acho que se possa abordar isso de forma consistente e responsavel sem se
considerar o Triangulo Pascalino e as Formulas do Tio Euler.
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
3,1515,08052001
>From: "Luis Lopes" <llopes@ensrbr.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: equações de recorrência
>Date: Tue, 8 May 2001 14:06:02 -0300
>
>Sauda,c~oes,
>
>Um livro motivador deste assunto - Recorrências - é o "Progressões e Mat.
>Financeira"
>do Morgado, Wagner e Zani, publicado pelo IMPA.
>
>Falo também um pouco sobre isso nos meus livros de Progressão e Indução.
>
>Para as aplicações nas Progressões Aritméticas de ordem k, podemos achar o
>termo geral seguindo o exemplo do Fábio. Mas tem uma fórmula que facilita
>bastante este cálculo.
>
>Seja determinar o termo geral - a_i - da seqüência
>6; 11;35;98;220; (não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
>dois)
>5, 24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
>dois) Delta a_i
>19, 39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20) Delta^2 a_i
>20, 20,20,.....
>Delta^3 a_i
>
>Como é PA de 3ª ordem, vem (a notação assusta mas o exemplo vai
>esclarecer):
>
>a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + Delta^3
>a_1 binom{i-1}{3}
>
>a_i = 6 + 5(i-1) + 19(i-1)(i-2)/2 + 20(i-1)(i-2)(i-3)/6
>
>Calculando a_5, resulta:
>
>a_5 = 6 + 5*4 + 19*4*3/2 + 20*4*3*2/6 = 220.
>
>E lembrando que podemos calcular a_0, vem:
>
>a_0 = 6 - 5 + 19 - 20 = 0
>
>[ ]'s
>Lu'is
>
>-----Mensagem Original-----
>De: Fábio Arruda de Lima <fabioarruda@enter-net.com.br>
>Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Enviada em: Sexta-feira, 4 de Maio de 2001 10:02
>Assunto: Re: equações de recorrência
>
>
>Caro Henrique,
>complementando o que o Eric colocou, diria que uma recorrência linear de
>K-ésima ordem terá como função característica um polinômio de grau de K.
>Seria interessante você procurar um livro específico sobre o assunto.
>Certamente, tem no IMPA e nas edições da SBM.
>Por exemplo, a(n+3) + a(n+2) + a(n+1) + a(n)=0 terá como termo geral da
>seqüência algo do tipo A(n)=p*n^3+q*n^2+r*n+s. Lembrei-me de uma aplicação
>interessante. Chamamos Prograssão Aritmética de ordem k, aquelas
>seqüências,
>cuja diferença de seus termos está em algum momento (k-ésimo) em PA. Veja
>bem, a seqüência não está em PA, somente a diferença de seus termos ou a
>diferença da diferença,...Exemplificando, seja a seqüência abaixo:
>
>6;11;35;98;220;(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a dois)
>5,24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
>dois)
>19,39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20)
>
>Logo, o termo geral será da forma A(n)=a*n^3+b*n^2+c*n+d
>
>A(1)=a+b+c+d=6 (substituindo n=1 e igualando o A1 da sequencia original)
>A(2)=8a+4b+2c+d=11 (substituindo n=2 e.............)
>A(3)=27a+9b+3c+d=35 (n=3)
>A(4)=64a+16b+4c+d=98 (n=4)
>
>Resolvendo-se o sistema, temos:
>
>a=20/6; b= - 63/6; c=79/6 ;d=0 => A(n)= 20/6*n^3 - 63/6*n^2+79/6*n
>
>Se quisermos saber o A(5), substituindo n=5, encontramos A(5)=220.
>
>Gostaria de fazer um alerta. Quando nos é dada a seqüência em termos de uma
>equação linear envolvendo, em vez dos elementos da sequencia, na forma a
>seguir: a(n+3);a(n+2);a(n+1);a(n);a(n-1). Basta observar a variação de
>grau, neste caso é 4 (polinômio do 4º grau). No exemplo do Eric, Fibonacci,
>foi 2 (polinômio do 2º grau).
>Valeu Eric seu exemplo foi legal, um clássico.
>Um abraço
>Fábio
>
>
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