Re: Sobre o Problema 3N+1

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes (e ao Paulo Santa Rita em particular),

Sejam a_i o termo geral de uma PA de ordem k e S_n a soma a_1 + a_2 + ... +
a_n. Temos os seguintes resultados:

a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + ... +
Delta^k a_1 binom{i-1}{k}

S_n =  a_1 binom{n}{1} +  Delta a_1 binom{n}{2} + Delta^2 a_1 binom{n}{3} +
... +
Delta^k a_1 binom{n}{k+1},

onde Delta^n a_i = sum (-1)^j  binom{n}{j} a_{i+n-j} para j = 0,1,2,...n
(para a prova, ver meu livro de Indução).

Então, para i=1, temos:

Delta^1 a_1 = Delta a_1 = a_2 - a_1
Delta^2 a_1 = a_3 - 2a_1 + a_1
Delta^3 a_1 = a_4 - 3a_3 + 3a_2 - a_1
.....

Seja a seqüência   1,3,19,61,141,271...

a_i           1            3            19             61             141
271
Delta a_i        2            16           42              80
130
Delta^2 a_i           14           26            38               50
Delta^3 a_i                   12           12              12
PA de ordem k=3

a_1 = 1    Delta a_1 = 2   Delta^2 a_1 = 14      Delta^3 a_1 = 12

a_i = 2i^3 - 5i^2 + 3i + 1

S_n = (3n^3 - 4n^2 - 3n + 10)n / 6

E todos os problemas deste tipo estão resolvidos.

>O resultado abaixo e belo :

>Se elevarmos todos os termos de uma PA de ordem K ao expoente R, teremos
uma
>PA de ordem K*R

Isto é um corolário do seguinte teorema:

Teorema:  A seqüência {a_i} é uma PA de ordem k se e somente se seu termo
geral a_i é um polinômio de grau k em i.

Prova: ver meu livro de Prog.

Portanto, o termo geral a_i do exemplo acima será um pol. de grau 3 e S_n,
um pol. de grau 4 (sem termo independente).

[ ]'s
Lu'is


-----Mensagem Original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 21:08
Assunto: Re: Sobre o Problema 3N+1


Ola Alexandre e
Colegas da Lista,

Saudacoes a Todos !

E muito boa a sua observacao... Os alunos-membros desta lista, como eu, em
geral sao estudantes serios que buscam algo mais do conhecimento, de forma
que uma boa parte de nos ja descobriu uma ou outra coisa interessante.

Eu penso que as pesquisas que fazemos como estudantes e uma forma de
entreter nossas mentes, pois as Faculdades e muitos Prof´s de faculdade
tornam os assuntos desinteressantes e mediocres, os livros adotados sao umas
porcarias, de forma que nao nos resta outro caminho senao buscar desafios
pessoais que possam satisfazer nossa curiosidade e ansia de saber.

Neste sentido, esta Lista e um refugio e um prazer !

Muitos colegas aqui sao brilhantes e ja descobriram fatos dignos de se
transformarem em artigos de revistas especializadas. De cabeca eu lembro
agora do meu amigo Bruno Leite ( Sobre sequencia harmonica e teorema de
bertrand ), do Duda ( acho que sobre numeros perfeitos ), do Benjamim
Hinricks ( equacao de Jacobi), Bruno Paleo e varios outros. Tenho certeza
que todos eles podem mostrar inovacoes e resultados interessantes, pois sao
pessoas inteligentes, serias e dedicadas.

Em atencao a sua mensagem, vou citar a primeira "descoberta" que eu fiz.
Isso ocorreu a muito tempo, ha mais de 8 anos ou 9 anos. Eu estava na 8
serie e fazia uma prova para ingressar em uma escola de nivel medio, publica
e federal. Se eu tivesse ingressado nesta escola, deveria seguir uma
carreira nao-cientifica. As ideias chegaram no momento da prova e eu acabei
a prova correndo e comecei a rabiscar na prancheta o que tinha percebido :
foi neste momento que eu percebi que nao deveria seguir a carreira a que
estaria submetido se ingressasse naquela escola ! Houveram varios outros
exames e eu so consegui me livrar no ultimo, o exame medico, quando o medico
colocou um colirio nos meus olhos e eu fingi que era um mister magoo ...
Estava livre para seguir meu coracao !

A ideia que entao me ocorreu e de como tratar de forma elegante as
progressoes aritmeticas de ordem maior que 1.

Todos conhecem a formas classica de uma PA :

An = A1 + (N-1)*R
Se notarmos que R=A2 - A1, entao :
An = A1 + (N-1)*(A2 - A1)
An = BINOM(N-1,0)*A1  +  BINOM(N-1,1)*(A2 - A1)

OBS : BINOM(N,P)=N!/(P!*(N-P)!). SE N<P ENTAO BINOM(N,P)=0

Para obter a soma :

A1 = BINOM(0,0)*A1
A2 = BINOM(1,0)*A1 + BINOM(1,1)*(A2-A1)
A3 = BINOM(2,0)*A1 + BINOM(2,1)*(A2-A1)
...
AN= BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1)

Somando membro a membro e aplicando o TEOREMA DAS COLUNAS do triangulo de
Pascal :

Sn = BINOM(N,1)*A1 + BINOM(N,2)*(A2-A1)

Ate aqui parece que apenas mudamos a roupagem de formulas tradicionais. Mas
e bem assim. Vejamos :

Uma PA de 2 ordem (PA2) é uma PA cuja diferença entre cada termo e seu
antecessor e uma PA de 1 ordem (PA1).

Entao :

A2 - A1 = a1
A3 - A2 = a2
A4 - A3 = a3
...
An - An-1 = an-1

Somando tudo :

An - A1 = a1 + a2 + a3 + ... + an-1
mas "a1 + a2 + a3 + ... + an-1" e uma PA1. Ja conhecemos as formulas dela.
Aplicando :

An - A1 = BINOM(N-1,1)*a1 + BINOM(N-1,2)*(a2-a1)

como a1=A2 -A1 e a2-a1=(A3-A2)-(A2-A1)=A3-2*A2+A1, fica :

An - A1 = BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)
An=A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)

An=BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1) + BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)

Para obter a soma :

A1 = BINOM(0,0)*A1
A2 = BINOM(1,0)*A1 + BINOM(1,1)*(A2-A1)
A3 = BINOM(2,0)*A1 + BINOM(2,1)*(A2-A1) + BINOM(2,2)*(A3-2*A2+A1)
...
AN= BINOM(N-1,0)*A1 + BINOM(N-1,1)*(A2-A1)+ BINOM(N-1,2)*(A3-2*A2+A1)

Somando tudo e aplicando o teorema das colunas do traingulo de pascal :

Sn = BINOM(N,1)*A1 + BINOM(N,2)*(A2-A1) + BINOM(N,3)*(A3-2*A2+A1)

Voce pode aplicar o mesmo raciocinio para obter as formulas para soma e
termo geral de progressoes aritmeticas de uma ordem K qualquer. O que eu fiz
naquela epoca e muito mais amplo do que o que eu estou mostrando aqui. Mas
eu precisaria escrever muito para mostrar tudo e, sobretudo, falar sobre as
vantagens de abordar os temas desta maneira em relacao as formas classicas.

Estas coisas me interessaram porque na epoca eu nao estava satisfeito com o
TEOREMA BRUCUTU, que levava-me a um maldito sistema trabalhoso :

A SOMA DOS TERMOS DE UMA PA DE ORDEM k E UM POLINOMIO DE GRAU k+1.

Eu queria saber qual a cara deste polinomio, mas nenhum livro ou prof me
ensinava como era ( talvez isso nao existisse ). Ai eu tive que partir para
a pesquisa solitaria.

O resultado abaixo e belo :

Se elevarmos todos os termos de uma PA de ordem K ao expoente R, teremos uma
PA de ordem K*R

OBS : as PA´s constante, tipo : 1,1,1, ou 2,2,2,2 são progressoes
aritmeticas de ordem zero. E preciso isso para que o teorema acima nao tenha
inconsistencia.

Vou enunciar agora um Teorema de Geometria :

O semi-perimetro de um triangulo nunca nunca e menor que a soma dos produtos
de cada lado pelo cosseno do angulo oposto.

Isto e : p >= a*cos(A) + b*cos(B) + c*cos(C)

Em homenagem a um professor, eu batizei esta desigualdade de "DESIGUALDADE
WAGNER".

Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1800,09052001










>From: "Alexandre F. Terezan" <aleterezan@wnetrj.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>Date: Wed, 9 May 2001 17:17:03 -0300
>
>Seria interessante que vcs compartilhassem idéias e descobertas na lista,
>para que possamos todos contribuir...
>
>----- Original Message -----
>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Quarta-feira, 9 de Maio de 2001 12:45
>Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
>
>
>Ola Rui e Colegas da Lista,
>Tudo Legal ?
>
>Eu avancei bastante na compreensao deste problema, desde que o Prof Nicolau
>o apresentou. Mas desde entao não me ocupei mais com ele. Se voce quiser,
>nos podemos trabalhar nele juntos.
>
>Consegui o seguinte :
>
>1) Mapear todos os numeros que com certeza atendem a conjetura, associando
>a
>cada um uma sequencia finita de numeros naturais.
>2) Para cada sequencia, conseguo determinar o expoente ^que faz com que
>S^p(N)=1
>3) Associar a este mapeamente uma rede bastante complicada.
>
>Aqui eu parei.
>
>Minha intuicao :
>
>Se existe um numero tal que não existe p com S^p(N)=1, isto implica que as
>sucessivas aplçicaçoes de S conduzirao a uma sequencia infinita. A ideia e
>mostrar que isto e impossivel.
>
>Como fazer esta prova :
>
>Estudando as propriedades topologicas da rede ( voce chama de arvore ).
>
>
>
>Eu terminei me desinteressando pela questao, pois me envolvi com outras
>temas tambem emocionantes ( acredito que descobri as colunas ocultas do
>triangulo de Pascal, o que me permite falar em sequencias aritmeticas de
>ordem racional. Isto esta diretamente ligado a serie de euler :
>
>1  +  1/4  +   1/9 + ... = (pi)^2/6
>
>agora entendo que a formulacao correta - Tio Euler nao viu isso - e :
>
>1  +  1/4  +  1/9  +  ... = (1/3!)*(1 - 1/3 + 1/5 ...)*(1  -  1/3  +  1/5
>... ). É o teorema das colunas generalizado.
>
>posso portanto pensar em encontrar o valor de :
>
>1  +  1/2^r  +  1/3^r  + ...
>
>A partir daqui surge a funcao :
>
>F(r) = 1  +  1/2^r  +  1/3^r  + ...
>
>Ora, esta funcao e um plano vertical cortando a funcao mais geral :
>F(z) = 1  +  1/2^z  +  1/3^z  + ...
>
>E isto esta ligado a Conjectura de Riemnam. )
>
>Voce deve ser novo na Lista. Nao me lembro de nenhuma mensagem sua
>anteriormente. Se assim for, seja bem vindo.
>
>Eu sou "abandonante" ( realmente : abandonante = abandonando ) de
>Engenharia
>migrando para Matematica. Se voce quer discutir Matematica, sem frescura e
>estrelismos, vai ser legal a nossa correspondencia.
>
>Um Grande abraco pra voce
>Paulo Santa Rita
>4,0944,09052001
>
>
> >From: "Rui Viana" <ruilovlist@hotmail.com>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >Subject: Re: Sobre o Problema 3N+1
> >Date: Tue, 08 May 2001 19:43:25 -0300
> >
> >Oi Paulo,
> >
> >Eu soh queria dizer que esse problema do 3N+1 eh um dos que mais me
>fascina
> >na matematica. Assim como o ultimo teorema de Fermat, ele tem uma
> >formulacao
> >bem simples e ainda estah em aberto. A diferenca eh que esse problema
>naum
> >eh tao famoso quanto o de Fermat e eh isso que me fascina nele.
> >Eu realmente naum sei quais as implicacoes matematicas de uma possivel
> >solucao ou contra-prova, mas ainda assim de vez em quando eu dou uma
> >pensada
> >nele.
> >
> >A sua ideia eh bem natural , e faz sentido. Resta saber quao dificil saum
> >as
> >demonstracoes do buraco. Um outro jeito de olhar eh contruindo uma arvore
> >que comeca no 1 e vai descendo assim :
> >                1
> >                2
> >                4
> >                8
> >                16
> >           32        5
> >           64        10
> >                .....
> >
> >Dai tentar achar algum padrao na posicao de cada numero..... sei lah...
> >
> >
> >Seria muito legal se a lista se envolvesse nesse problema, apresentando
> >material relativo ao problema, ideias, solucoes......
> >
> >[]'s
> >Rui Viana
> >
> >
> >>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>Subject: Sobre o Problema 3N+1
> >>Date: Mon, 07 May 2001 14:10:47
> >>
> >>Ola Pessoal !
> >>
> >>Pelo que me lembro, o "problema 3N+1" foi apresentado a esta lista pelo
> >>Prof
> >>Nicolau. Este problema tambem e conhecido como "problema de Siracura",
> >>dentre outras designacoes. Ele pode ser enunciado como segue :
> >>
> >>Seja F:N -> N uma funcao, tal que
> >>F(n) = 3n+1, se "n" e impar
> >>F(n) = n/2, se "n" e par.
> >>
> >>Se definirmos : F^p(n)=F(F(F(F(...(p)...)))), isto e, F^p(n) e a
> >>composicao
> >>de F com ela mesma "p" vezes, entao :
> >>
> >>CONJECTURA : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
> >>F^p(n)=1.
> >>
> >>Este conjectura, pelo que sei, esta "em aberto". Muitos Matematicos de
> >>Escol
> >>tentaram prova-la, sem sucesso. Claramente que isso nao significa que
> >>qualquer um de nos tambem nao tera sucesso ...
> >>
> >>Aqui nos DISCUTIMOS PROBLEMAS. Nao significa que sempre precisamos
> >>apresentar uma solucao pronta. Podemos inicia-la, podemos clarificar
> >>alguns
> >>aspectos ou apenas apresentar ideias : e a discussao !
> >>
> >>O problema acima leva-nos a lembrar dos BLACK HOLE ( Buraco Negro ) ou
> >>SORVEDOUROS ... Com efeito, se para algum "n" impar aplicarmos F(n)=3n+1
>e
> >>o
> >>resultado por uma potencia de 2, entao a ulterior aplicacao de F(n)=n/2
> >>ira
> >>nos conduzir fatalmente a 1. Isto mostra que a sequencia
> >>2,4,8,16,...,2^p,... funciona como um BLACK HOLE  ou SORVEDOURO, de
>forma
> >>que podemos refornular a conjectura da seguinte maneira :
> >>
> >>CONJECTURA1 : Para todo "n" natural, existe um "p" natural tal que
> >>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
> >>
> >>Quais sao os numeros tais que F(n) = 2^r ?
> >>
> >>PROPOSICAO : Se F(n)=2^r entao "r" e par e "n" e da forma (4^s - 1)/3.
> >>
> >>Suponha um natural "n" da forma n=(4^s - 1)/3. Ele e evidentemente impar
> >>e,
> >>portanto, F(n)=3n+1=4^s=2^(2s). Por outro lado, se "n" e impar e
>3n+1=2^r
> >>entao : n=(2^r - 1)/3. Se "r" for impar entao : r=2q+1 e ficara :
> >>n=(2.2^2q
> >>- 1 )/3= (2^2q)/3 + (2^2q - 1)/3 um absurdo, pois "n" e natural. Assim,
> >>nao
> >>pode ser r=2q+1.
> >>
> >>Aqui descobrimos algo interessante... Os numeros da forma n=(4^s - 1)/3
> >>sao
> >>tais que F(n)=2^r (r=2s) e, reciprocamente, se F(n)=2^r entao
> >>n=(4^s - 1)/3 (r=2s). Isto mostra que a sequencia n=(4^s - 1)/3, "DE
>CERTA
> >>FORMA" pode ser vista como "PARALELA" ao SORVEDOURO 2,4,8,16,32,...
> >>
> >>Pois se "n" nao for da forma "2^r" e tambem nao for da forma (4^s - 1)/3
> >>entao, supondo correta a CONJETURA 3N+1, "n" devera necessariamente
> >>assumir
> >>a forma (4^s - 1)/3 antes de cair no SORVEDOURO ou BLACK HOLE. Tudo
>sucede
> >>como se a sequencia n=(4^s - 1)/3 fosse um "ESTADO" no qual todo numero
> >>natural devera se transformar antes de cair no SORVEDOURO
>2,4,8,16,32,...
> >>
> >>Bom. Ate aqui, o que conseguimos ?  Podemos, sem duvida, reformular a
> >>conjectura de Siracusa e apresenta-la na forma :
> >>
> >>CONJECTURA2:Para todo "n" natural que nao e potencia de 2 e nao e da
>forma
> >>(4^s - 1)/3, existe um "p" natural tal que
> >>F^p(n)=2^r, r um natural qualquer.
> >>
> >>OBS : Pois ja sabemos que 2^r e (4^s - 1)/3 necessariamente sao tais que
> >>F^p(n)=1, para algum p.
> >>
> >>A Imagem de "SEQUENCIAS PARALELAS" pode nos conduzir a belas
> >>simplificacoes.
> >>Para vermos como e possivel fazermos isso, vamos tentar entender quem
> >>desemboca em (4^s - 1)/3.
> >>
> >>Claramente que sendo (4^s - 1)/3 impar, serao "n" pares que apos F(n) se
> >>transformarao em (4^s - 1)/3. Serao, portanto, todos os numeros pares da
> >>forma :
> >>
> >>PAR = (2^q)*( (4^s - 1)/3 )
> >>
> >>Assim, fixado "s", existe uma infinidade de naturais ( todos eles ) "q"
> >>que
> >>formam uma sequencia Aq=(2^q)*( (4^s - 1)/3 ) para a qual
> >>F(Aq) "cai" ou "converge" para (4^s - 1)/3. A imaginacao nos leva a
>pensar
> >>na sequencia Aq como uma "linha orientada" apontando para
> >>(4^s - 1)/3, na qual marcamos os Aq indo para o infinito.
> >>
> >>Claramente que para todo "s" de (4^s - 1)/3 ha uma linha desse tido.
> >>
> >>Poderiamos agora esclarecer alguns aspectos sobre estas linhas, como,
>por
> >>exemplo, se elas se cruzam ou nao, isto e, se existem q1#q2 e s1#s2 tais
> >>que
> >>:
> >>
> >>(2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ) = (2^q1)*( (4^s1 - 1)/3 ).
> >>
> >>Mas por brevidade vamos deixar isso de lado, por enquanto. O que e
> >>importante e que, fixado "s", existe uma infinidade de "q" ( todos os
> >>naturais ) tais que (2^q)*( (4^s - 1)/3 ) se transforma em (4^s - 1)/3.
> >>
> >>Podemos transformar esta ideia num par : (s,q). Assim, a todo par (s,q)
> >>associamos o numero (2^q)*( (4^s - 1)/3 ). Isto significa que alguns
> >>numeros
> >>terao uma sequencia (s,q) associada, garantindo assim que ele atende ou
> >>satisfaz a CONJECTURA DE SIRACUSA.
> >>
> >>O MAPA
> >>
> >>Eu acho que aqui consegui explicar a essencia da minha ideia para atacar
>o
> >>problema 3N+1. Algumas coisas acessorias sao importantes e precisam ser
> >>provadas ( O problema do cruzamento das linhas acima e simples, porem
> >>muito
> >>importante ... ). A ideia e mapear os numeros que satisfazem a
>conjectura,
> >>associando a cada um deles uma sequencia finita de numeros naturais. A
> >>extensao das sequencias caracteriza, de certa forma, o quanto o numero
> >>esta
> >>"distante" do SORVEDOURO. Essa distancia pode ser medida com o numero de
> >>iteracoes da forma 3N+1.
> >>
> >>A ideia e mostrar que nenhum numero natural escapa a este mapeamento.
> >>
> >>E entao :
> >>
> >>1) Alguem preenche as lacunas e conclui a demonstracao ?
> >>2) Alguem apresentar uma ideia melhor ?
> >>3) Alguem quer criticar ?
> >>
> >>OBS : Eu nao vou ficar chateado se alguem quiser criticar e dizer que e
> >>uma
> >>ideia de Mongo, Jaba ou coisa parecida.
> >>
> >>Um abraco
> >>Paulo Santa Rita
> >>2,1110,07052001
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
> >>
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