Re: Re: Equacoes de recorrencia

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Continuando a mensagem do Nicolau.

Você tem razão, Dudasta. Nesses problemas fica subentendido que o próximo
número da
seqüência é o 31 do Nicolau. Pois se disséssemos mais o problema perderia a
graça.

Acho até que um episódio envolvendo este assunto aconteceu com o Poincaré.
Num teste
perguntaram a ele qual seria o próximo termo de uma seqüência lá.
Esperava-se como resposta
o "31" e ele disse "sei lá" ou qualquer coisa assim.

Teste 1:  ache o "31" desta seq.  3,5,7. Essa é difícil (sem brincadeira).
Alguns dirão 9. Mas 11 seria um bom candidato também.

Teste 2: ache o "31" desta seq.  2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ....  Dica: tem
uma pegadinha. Ver a D ica.

Mas a sua observação foi importante e pertinente.

[ ]'s
Lu'is

-----Mensagem Original-----
De: <dudasta@terra.com.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Quinta-feira, 10 de Maio de 2001 12:35
Assunto: Re: Re: Equacoes de recorrencia


Ola!

Queria fazer um pequeno comentario sobre o que disse o Luis Lopes. Na parte:

"...seja determinar o termo geral - a_i - da seqüência
(6,11,35,98,220,...)..."

E logo em seguida:

"...a_i = 6 + 5(i-1) + 19(i-1)(i-2)/2 + 20(i-1)(i-2)(i-3)/6..."

De fato, temos a_1=6, a_2=11, a_3=35, a_4=98 e a_5=220, mas os dados do
problema de modo algum garantem que o próximo termo vai ser dado por a_6. Na
verdade a_i não é o único polinômio que tem seus primeiros termos
(6,11,35,98,220). Basta escolher um polinômio P(i), e fazer:

b_i = a_i + (i-1)(i-2)(i-3)(i-4)(i-5)P(i)

É fácil de ver que para i entre 1 e 5, teremos b_i=a_i, pois o segundo termo
de b_i fica zero. Mas para i=0 ou i>6, podemos fazer com que nunca seja
b_i=a_i.

Só mais uma coisa:
eu já vi questões de olimpíadas similares a esta que o Luís propôs, acho que
era uma que dava um pedaço do triângulo de Pascal e pedia para encontrar
relações entre os números e completar os espaços em branco do triângulo. O
fato é que você podia completar o triângulo de qualquer modo que não estaria
errado. Essa é uma questão com falta de dados, não deveria cair em uma
olimpíada.

Muito obrigado!
Eduardo Casagrande Stabel.

>
De: Luis Lopes
Assunto: Re: equações de recorrência
Data: Tue, 08 May 2001 10:08:38 -0700


Sauda,c~oes,

Um livro motivador deste assunto - Recorrências - é o "Progressões e Mat.
Financeira"
do Morgado, Wagner e Zani, publicado pelo IMPA.

Falo também um pouco sobre isso nos meus livros de Progressão e Indução.

Para as aplicações nas Progressões Aritméticas de ordem k, podemos achar o
termo geral seguindo o exemplo do Fábio. Mas tem uma fórmula que facilita
bastante este cálculo.

Seja determinar o termo geral - a_i - da seqüência
6;   11;35;98;220; (não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois)
5,    24,63,122 .....(não está em PA/façamos a diferença dos termos dois a
dois)   Delta a_i
19,  39,59...........(PA de 3ª ordem com razão r=20)    Delta^2 a_i
20,  20,20,.....
Delta^3 a_i

Como é PA de 3ª ordem, vem (a notação assusta mas o exemplo vai esclarecer):

a_i = a_1 + Delta a_1 binom{i-1}{1} + Delta^2 a_1 binom{i-1}{2} + Delta^3
a_1 binom{i-1}{3}

a_i = 6 + 5(i-1) + 19(i-1)(i-2)/2 + 20(i-1)(i-2)(i-3)/6

Calculando a_5, resulta:

a_5 = 6 + 5*4 + 19*4*3/2 + 20*4*3*2/6 = 220.

E lembrando que podemos calcular a_0, vem:

a_0 = 6 - 5 + 19 - 20 = 0

[ ]'s
Lu'is