Re: Resultado interessante

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

Uma demostração simples, mas que usa o seguinte teorema:

Teorema: Se t/Pi é racional e cos(t) é racional então
cos(t) = 0, +- 1/2 ou +- 1.

Demostração da afirmação abaixo:

Da lei dos cossenos (a^2 = b^2 + c^2 + 2bc cos(A)) deduz-se
que os cossenos dos ânguloes de um triângulo de lados racionais
são também racionais. Pelo teorema acima, se os ângulos são
racionais em graus, os cossenos são 1/2, 0 ou -1/2,
correspondendo a ângulos de 60, 90 ou 120 graus.
Como a soma dos ^angulos internos é 180, os três ângulos
são iguais a 60 graus e o triângulo é equilátero.

Demostração do Teorema (curta, mas usa matemática mais avançada).

Se t/Pi é racional então exp(t i) e exp(-t i) são inteiros algébricos.
Assim 2 cos(t) também é um inteiro algébrico. Como é racional,
segue que 2 cos(t) é inteiro, donde 0, +-1 ou +-2.

Este John Conway é mesmo o professor de Princeton?
Que lista é essa onde ele escreve?
[]s, N.

On Tue, 15 May 2001, Paulo Santa Rita wrote:

> Ola Pessoal,
> 
> O fato abaixo, trazido a Lista pelo nosso estimado colega Luis Lopes, é 
> realmente interessante ... aproveito o ensejo para registrar que John Conway 
> ( Catedra John Von Newman - Universidade de Princeton ) tem um livro legal ( 
> deve ter muitos outros, que eu não conheço ). É o "Livro dos Números".
> 
> Alguem prova o fato ?
> 
> 
> >
> >    In fact ANY non-equilateral triangle whose angles are rational
> >numbers of degrees must have at least one irrational side.
> >
> >                    John Conway
> 
> _________________________________________________________________________
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