Re: O próximo número é ...

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Jul 20, 2001 at 10:01:12AM -0400, Euraul@aol.com wrote:
>        Bom dia a todos !!
> 
>        Agradeço pela atenção dada a questão e gostaria de entender melhor 
> porque devemos repudiar esse tipo de questão. Eu entendi o exemplo dado pelo 
> Bruno de como completar 4, 6, 8, 10 com números diferentes de 12 e seguindo 
> uma "regra". Mas será que completando com um número diferente de 12 vc não 
> estaria "criando uma regra" que não estava completamente definida 
> anteriormente ?
>        Hoje recebi como resposta da seqüência 80, 84, 72, 27 a alternativa c 
> ( -81 ) e não descobri nenhuma regra. Tentei o site indicado pelo prof. 
> Nicolau mas obtive como resposta : "I am sorry, but the terms 80, 84, 72, 27, 
> do not match anything in the table."
>        Desculpe se insisto em algo banal, mas gostaria de mais explicações de 
> como essa questão é ridícula pois terei que explicá-la para alguns alunos que 
> me perguntaram.
>        Obrigado pela atenção,
>              Raul

Uma possibilidade é interpolar por um polinômio, o que,
com a ajuda do maple, nos daria a resposta:

 > P:=interp([1,2,3,4], [80, 84, 72, 27], z);
                                   3      2
                      P := - 17/6 z  + 9 z  - 19/6 z + 77

 > subs(z=5,P);
                                      -68

E a resposta fica sendo -68.

Outra possibilidade é observar que

80 = 3^0 * 80
84 = 3^1 * 28
72 = 3^2 *  8
27 = 3^3 *  1

Então vamos supor que a seqüência é da forma 3^(n-1)*P(n)
onde P é um polinômio. Teríamos:

 > P:=interp([1,2,3,4], [80, 28, 8, 1], z);
                                 3       2
                    P := - 19/6 z  + 35 z  - 809/6 z + 183

 > subs(z=5,P);
                                      -12


e a resposta seria -12*81 = -972.

Outra possibilidade é olharmos para diferenças sucessivas:

80 - 84 = -4; 84 - 72 = 12; 72 - 27 = 45;

Agora observamos que estes números são múltiplos de 1, 2 e 5,
que são números de Catalan! Dividindo temos -4, 6, 9 que é
claramente uma PG, exceto pelos sinais. Assim a próxima *diferença*
seria +- 14*27/2 = +- 189 e o próximo termo pode ser ou
27 + 189 = 216 ou 27 - 189 = -162.
O padrão de sinais está mais difícil, temos apenas -, +, +.
Eu conjecturo que isto tem a ver com a expansão decimal de pi:

3 1 4 1 5 9 2 ...

- + + + - + - ...

Os sinais de + aparecem abaixo dos algarismos que são quadrados perfeitos
e portanto eu tendo a favorecer a resposta 216.

                
Desculpem pelo besteirol. Estou só tentando dar uma idéia de que uma
seqüência pode ser continuada de infinitas maneiras.
Para uma seqüência tão curta quanto este então...

[]s, N.