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Valeu pela resolução David e demais
companheiros de lista.
Eu gostaria de propor mais duas:
1)Seja f:R==>R,não identicamente nula,tal
que
f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para
todos os números reais x e y.
a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e
f(4)=1.
b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x
real.
c)Existe de fato tal função.
É fácil verificar o item a,mas não consegui o b e o
c.
2)Seja p(x)=x^3+ax^2+bx+c um polinômio com
coeficientes inteiros.Suponha que a equação p(x)-0 tem raízes inteiras
distintas.Mostre que a equação p(x)-1=0 não admite nenhuma raiz
inteira.
3)Dada uma equação do segundo grau, com
coeficientes inteiros,mostre que seu discriminante não pode ser igual a
23.
Essa eu acho que consegui fazer.Como eu não tenho
muita prática em problemas de olimpíada,vou esboçar minha resolução.Quem vir
alguma besteira,pode comentar se quiser.
Fiz y=ax²+bx+c (com a,b e c nas condições do
enunciado)
Observei que todo quadrado perfeito termina em
0,1,4,5,6 ou 9 e que os múltiplos de 4 terminam em
0,2,4,6 ou 8.
Daí verifiquei o algarismo das unidades de
delta=b²-4ac admitindo b² terminando em 0,1,4,5,6 ou 9.
As possibilidades de 3 ser o algarismo das unidades
de delta apareceram para b² terminando em 1 e b² terminando em 9.
Para b² terminando em 1,temos que b termina em 1 ou
9.Daí b pertence {+-1,+-9,+-11,+-19,...}.
Esses números são da forma 4k+ -1,k
inteiro.
(4k+ -1)²=16k²+-8k+1
Como delta =b²-4ac,fiz delta igual a
23:
16k²+-8k+1-4ac=23 ==> 2(k²+-2k-ac)=11 ==> 11
é múltiplo de 2(absurdo)
Para b² terminando em 5,temos b múltiplo ímpar de
5.Pondo b=5(2k+1):
delta=25(4k²+4k+1)-4ac
Fazendo delta=23,resulta 25k²+25k-ac=(-1/2).Mas
sendo k,a e c inteiros isso não pode acontecer.
Delta nunca é igual a 23.
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