Re: [obm-l] Axiomas de Peano

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Tue, Jun 18, 2002 at 03:29:47PM -0300, Vinicius José Fortuna wrote:
> Na Eureka 3, p. 26,  há um artigo de Elon Lages Lima chamado "O Princípio da
> Indução", onde o autor afirma que o conjunto N dos números naturais é
> caracterizado pelas seguintes propriedades:
> 
> A) Existe função s: N -> N, que associa a cada n pertencente a N um elemento
> s(n) pertecente a N, chamado o sucessor de n.
> 
> B) A função s: N-> N é injetiva.
> 
> C) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 != s(n) para todo n
> pertencente a N.
> 
> D) Se um subconjunto X contido em N é tal que 1 pertence a N e s(X) está
> contido em X.
> 
> As afirmações A, B, C e D são os axiomas de Peano.

A pergunta é o que significa "caracterizado". A resposta é que se A é um
conjunto com um elemento especial a1 e f é uma função f: A -> A
que satisfazem as seguintes condições:

B') f é injetora;

C') a imagem de f é A - {a1};

D') para todo subconjunto X de A, se a1 pertence a X e f(X) está contido
    em X então X = A;

então existe uma única função bijetora g: N -> A com
g(1) = a1 e g(s(n)) = f(g(n)) para todo N.

Podemos pensar em g como uma identificação entre N e A.
Assim A não precisa ser o conjunto dos naturais, podemos ter
A = Z se definirmos

f(n) = -n-1 se n >= 0
     = -n   se n < 0

> 
> Agora vem a minha dúvida. Imagine o conjunto de números:
> V = {0, 1, 2, 3, ...} U {a}, onde o elemento 'a' não pertence a {0, 1, 2, 3,
> ...}
> e a função injetiva s: V -> V onde:
> s(x) = a, se x=a; senão s(x) = x+1

Este seu exemplo não satisfaz D', tome X = {0,1,2,...}.
Temos que 0 pertence a X, s(X) está contido em X mas X != V.

> 
> Temos, então, o conjunto V e a função s que satisfazem os axiomas de Peano.
> Dessa forma, podemos dizer que V é o conjunto dos número naturais, mas não
> é!!!!!
> Qual o problema aí???
> 
> Alguém pode esclarecer a minha dúvida?

Espero que não haja dúvida aqui quanto a se 0 é ou não natural,
uma questão puramente de definição/notação. Parece que o próprio
Peano em uma versão excluiu 0 (como o Elon fez) e em outra incluiu 0
(como a maioria dos textos modernos de teoria dos conjuntos ou lógica fazem).

[]s, N.
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