Re: [obm-l] Ajuda - Limite....

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Fernando e demais
colegas desta lista,

Voce ja passou pela solucao diversas vezes, apenas nao percebeu isso.

Os limites abaixo sao para X tendendo a zero pela direita :

y=x^(tg(x^2)) => Ln(y)=tg(x^2)*ln(x)
LIM Ln(y)=LIM [tg(x^2)*Ln(x)]=LIM[ Ln(x)/(1/tg(x^2)) ]=
LIM Ln(y) = LIM[Ln(x)/cotg(x^2)]

indeterminacao da forma INF/INF. Aplicando L'Hopital :

LIM Ln(y)=LIM[ (1/x)/(-2x*cosec^2(x^2)) ]
LIM Ln(y)=-LIM [(sen^2(x^2))/(2*(x^2)) ]
LIM Ln(y)=-(1/2)LIM[(sen^2(x^2))/(x^2) ]

indeterminacao da forma 0/0. Aplicando L'Hopital :

LIM Ln(y)=-(1/2)LIM[(2*sen(x^2)*cos(x^2).2x)/(2x)]
LIM Ln(y)=-LIM[sen(x^2)*cos(x^2)]=-LIM(sen(x^2))*LIM(cos(x^2))
LIM Ln(y) = -0*1 = 0
Ln LIM(y)=0 => LIM(y)= e^0 => LIM(y)=1

Ja que voce gosta de limites, fica a questao :

Calcule :
LIM [(arcsen(x)/x)^(1/x^2)] quando x -> 0

Nota : a resposta nao e raiz quadrada de "e".

Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1035,270602

>From: "Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa" <mentus@gmx.de>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] Ajuda - Limite....
>Date: Wed, 26 Jun 2002 22:25:58 -0300
>
>         Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas não está saindo 
>de jeito algum.. É o seguinte:
>     lim [x -> 0+] x^(tan(x²)).
>
>Meus esboços:
>             x -> 0... tan(x²) -> 0.... temos 0^0...
>             Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)):
>              x^tan(x²) = exp(ln(x^tan(x²)) = exp(tan(x²).ln(x)).
>              Ficamos então com o seguinte limite:
>      lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x).
>              tan(x²) -> 0
>              ln(x) -> -infinito
>              Temos entao 0.-infinito.. indeterminação...
>              'Transformando' isso numa fração para poder usarmos 
>L'Hospital:
>a) Fazendo tan(x²).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x²))
>               lim [x-> 0+] ln(x)/(1/tan(x²))
>               ln(x) -> -infinito
>               1/tan(x²))  = cotg(x²) -> infinito
>                infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando 
>L'Hospital:
>                lim [x-> 0+] ln(x)/cotg(x²) = lim [x->0+] 
>(1/x)/-2x.cossec²(x²) =
>                lim [x-> 0+] 1/(-2x²cossec²(x²))
>                Agora temos -2x² -> 0
>                 e cossec²(x²) -> infinito...
>                0.infinito.. mais uma indeterminacao....
>                1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la 
>como sair daqui...
>
>b) Outra opcao serial fazer tan(x²).ln(x) = tan(x²)/(1/ln(x)), dai:
>                 lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x))..
>                  dai temos tan(x²) -> 0
>                   1/ln(x) -> 0
>                  0/0, indeterminação, aplicamos L'Hospital:
>                 lim [x->0+] tan(x²)/(1/ln(x)) = lim [x->0+] 
>2x.sec²(x²)/(-1/ln²(x).x) =
>                 lim [x->0+] 2x².sec²(x²).ln²(x).x
>                 2x² -> 0
>                  sec²x² -> 1
>                  ln²(x) -> infinito
>                  x -> 0...
>                  0.1.0.infinito.. epa.. outra indeterminação...
>
>c)... já esgotei todas as idéias que me vieram e ainda não consegui sair 
>disso.. alguem tem alguma luz?
>
>BTW... a resposta é 1.. Então esse limite (lim [x-> 0+] tan(x²).ln(x)) tem 
>que dar 0.
>
>
>
>"As long as a branch of science offers an abundance of problems,
>     so long it is alive."
>           David Hilbert.
>
>-
>[]'s
>Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
>mentus@gmx.de
>Estatística USP [ http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ]
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